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第六节 简单的三角恒等变换



[知识能否忆起] 半角公式(不要求记忆)
1.用cos α表示sin ,cos ,tan . 2 2 2
1-cos α 1+cos α 1-cos α 2α 2α sin = ;cos = ;tan = . 2 2 2 2 2 1+cos α







/> α α α 2.用cos α表示sin ,cos ,tan . 2 2 2 1-cos α 1+cos α α α sin =± ;cos =± ; 2 2 2 2
α tan =± 2 1-cos α . 1+cos α

α 3.用sin α,cos α表示tan . 2
1-cos α α sin α tan = = . 2 1+cos α sin α

[小题能否全取]
1 α 1.(教材习题改编)已知 cos α= ,α∈(π,2π),则 cos 等 3 2 于 ( )

6 A. 3 3 C. 3

6 B.- 3

3 D.- 3 ? 1 α ?π 解析:∵cos α= ,α∈(π,2π),∴ ∈?2,π?, 3 2 ? ?

α ∴cos =- 2

1+cos α =- 2

1 1+ 3 6 =- . 答案:B 2 3

2.已知函数f(x)=cos

2

?π ? ? ? ?π ? 2π ? +x?-cos ? -x?,则f? ?等于 ?4 ? ?4 ? ?12?

1 A. 2 3 C. 2
解析: f(x)=cos π 1 =-sin =- . 6 2
2?π

1 B.- 2 3 D.- 2
? ? ? π? 2? +x?-sin x+ ?=-sin 4? ?4 ? ?

(

)

?π? 2x, ?12? ∴f ? ?

答案:B

cos 2α+sin 2α+1 1 3.已知tan α= ,则 等于 2 cos2α

(

)

A.3 C.12

B.6 3 D. 2

cos 2α+sin 2α+1 2cos2α+2sin α· α cos 解析: = cos2α cos2α =2+2tan α=3.

答案:A

sin 20° 20° cos 4. =________. cos 50°

1 1 sin 40° sin 40° 2 sin 20° 20° 2 cos 1 解析: = = = . cos 50° cos 50° sin 40° 2
1 答案: 2

1+tan α 1 5.若 =2 013,则 +tan 2α=________. cos 2α 1-tan α
1+sin 2α ?cos α+sin α?2 1 解析: +tan 2α= = cos 2α cos 2α cos2α-sin2α cos α+sin α 1+tan α = = =2 013. cos α-sin α 1-tan α

答案:2 013

三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式:一是化简;二是求值; 三是三角恒等式的证明. (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、

同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解.
(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值,对 条件求值问题要充分利用条件进行转化求解.

(3)三角恒等式的证明,要看左右两侧函数名、角之间的关
系,不同名则化同名,不同角则化同角,利用公式求解变形即 可.

三角函数式的化简

[例1]

1 2cos x-2cos x+ 2 化简 ?π ? ?π ?. 2tan? -x?sin2? +x? ?4 ? ?4 ?
4 2

1 -2sin xcos x+ 2 [自主解答] 原式= ?π ? ? ? 2 π 2sin? -x?cos ? -x? ?4 ? ?4 ? ?π ? cos? -x? ?4 ? 1 1 2 2 ?1-sin 2x? cos 2x 2 2 = ?π ? ?π ?= ?π ? 2sin? -x?cos? -x? sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ?
2 2

1 = cos 2x. 2

三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间 的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用 公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从

而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我 们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.

α? ? ? 1 α? ? α-tan 2 ? ? 1.化简? 1+tan α· tan ?. ?· 2? tan ? ? 2 ? α? ? α? ? α sin ? ?cos2 sin2 ? ? 2 sin α ? 解:法一:原式=? α - α?·1+cos α· α? ? sin cos ? ? cos ? 2? ? 2? ? 2 α α 2α 2α cos -sin cos αcos +sin αsin 2 2 2 2 = α α · α sin · cos cos αcos 2 2 2
2cos = · α sin α cos αcos 2
? α? cos?α-2 ? α ? ?

2cos α 2 = · α=sin α. sin α cos αcos 2

cos

α 2

1-tan 法二:原式=



α tan 2 α α cos αcos +sin αsin 2 2 2 = · α tan α cos αcos 2 α cos 2 2cos α 2 = · = . α sin α sin α cos α· cos 2

α? ? sin αsin ? 2 2? ? ·1+ α? ? cos αcos ? 2? ?

三角函数式的求值

sin 47° -sin 17° 30° cos [例 2] (1)(2012· 重庆高考) =( cos 17° 3 1 A.- B.- 2 2

)

1 C. 2

D.

3 . 2

3 4 ? ? ?α+β?=- ,则 2α (2)已知 α、β 为锐角,sin α= ,cos? ? 5 5 +β=________.

[自主解答]

sin?30° +17° ?-sin17° 30° cos (1)原式= cos 17°

sin 30° 17° cos +cos 30° 17° sin -sin 17° 30° cos = cos 17° sin 30° 17° cos 1 = =sin 30° . = cos 17° 2 ? 3 π? (2)∵sin α= ,α∈?0, ?, 5 2? ?

4 ∴cos α= , 5 4 ∵cos(α+β)=- ,α+β∈(0,π), 5

3 ∴sin(α+β)= , 5 ∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin 3 ? 4? 4 3 αsin(α+β)= ×?- ?+ × =0. 5 ? 5? 5 5
? 3π? 又2α+β∈?0, ?. 2? ?

αcos(α+β)+cos

∴2α+β=π.

[答案] (1)C

(2)π

三角函数求值有三类

(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从
表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总 有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公

式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求 另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其

角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角 的某一函数值,再求角的范围,确定角.

2.(2012· 广州一测)已知函数
?π ? (1)求f? ?的值; ?9 ?

? π? f(x)=tan?3x+4 ?. ? ?

? ?α π? ? 3π? π? (2)设α∈?π, ?,若f? + ?=2,求cos?α- ?的值. 2? 4? ? ?3 4 ? ?

π π tan +tan ?π? ?π π? 3+1 3 4 ? ?=tan? + ?= 解: (1)f 9 = =-2- 3 4? π π 1- 3 ? ? ? 1-tan tan 3 4 3.

(2)因为

?α π? ? 3π π? f?3+4 ?=tan?α+ 4 +4 ?=tan(α+π)=tan ? ? ? ?

α=2,

sin α 所以 =2,即 sin α=2cos α. cos α



又 sin2α+cos2α=1, ② 1 2 由①②解得 cos α= . 5 ? 3π? 5 2 5 ?π, ?,所以 cos α=- 因为 α∈ ,sin α=- . 2? 5 5 ? ? π? π π 5 2 ?α- ? =cos αcos +sin αsin =- 所以 cos × + 4? 4 4 5 2 ?
? 2 5? ? ? × - ? 5 ? ? ?

2 3 10 =- . 2 10

三角恒等变换的综合应用

[例 3]

(2011· 四川高考)已知函数

? 7π? f(x)=sin?x+ 4 ?+ ? ?

? 3π? cos?x- 4 ?,x∈R. ? ?

(1)求f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)= ,cos(β+α)=- ,0<α<β≤ , 5 5 2
求证:[f(β)]2-2=0.

[自主解答]

? ? ? 7π π π? (1)∵f(x)=sin?x+ 4 -2π?+cos?x-4-2 ? ? ? ? ?

? ? ? π? π? π? =sin?x-4 ?+sin?x-4?=2sin?x-4 ?, ? ? ? ? ? ?

∴T=2π,f(x)的最小值为-2.

4 (2)证明:由已知得cos βcos α+sin βsin α= , 5 4 cos βcos α-sin βsin α=- . 5 两式相加得2cos βcos α=0. π π π ∵0<α<β≤ ,∴β= .∴[f(β)]2-2=4sin2 -2=0. 2 2 4

在本例条件不变情况下,求函数f(x)的零点的集合. ? π? 解:由(1)知f(x)=2sin?x-4 ?, ? ?
? π? π ?x- ?=0,∴x- =kπ(k∈Z), ∴sin 4? 4 ?

π ∴x=kπ+ (k∈Z). 4
? ? ? π 故函数f(x)的零点的集合为?x?x=kπ+4 ? ? ? ? ? ,k∈Z? ? ?

三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函 数的性质相结合,通过变换把函数化为y=Asin(ωx+ φ)的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构

等特征,注意利用整体思想解决相关问题.

3.已知函数f(x)=2cos

? π? xcos?x- ?- 6? ?

3sin2x+sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)当α∈[0,π]时,若f(α)=1,求α的值.
解:(1)因为f(x)=2cos
? π? xcos?x-6 ?- ? ?

3sin2x+sin xcos x

= 3cos2 x+sin xcos x- 3sin2x+sin xcos x = 3cos 2x+sin
? π? 2x=2sin?2x+3?, ? ?

所以最小正周期T=π.

(2)由 f(α)=1,得

? π? 2sin?2α+ 3?=1, ? ?

π ?π 7π? 又 α∈[0,π],所以 2α+ ∈?3 , 3 ?, 3 ? ? π 5π π 13π 所以 2α+ = 或 2α+ = , 3 6 3 6 π 11π 故 α= 或 α= . 4 12

解决这一类问题的基本途径,同求解其他函数最 值一样,一方面应充分利用三角函数自身的特殊性?如 有界性等?,另一方面还要注意将求解三角函数最值问

题转化为求一些我们所熟知的函数?二次函数等?最值问
题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.

1.配方转化策略 对能够化为形如y=asin2x+bsin x+c或y=acos2x

+bcos x+c的三角函数最值问题,可看作是sin x或
cos x的二次函数最值问题,常常利用配方转化策略来 解决.

[典例1] 求函数y=5sin x+cos 2x的最值.
[解]
? =-2?sin ?
? 2 ? y=5sinx+??1-2sin x??=-2sin2x+5sin x+1

5?2 33 x- ? + . 4? 8

π ∵-1≤sin x≤1,∴当 sin x=-1,即 x=2kπ- , 2 k∈Z 时, 81 33 ymin=-2× + =-6;当 sin x=1,即 x=2kπ 16 8 π 1 33 + ,k∈Z 时,ymax=-2× + =4. 2 16 8

[题后悟道]

这类问题在求解中,要注意三个方

面的问题:其一要将三角函数准确变形为sin x或cos x
的二次函数的形式;其二要正确配方;其三要把握三 角函数sin x或cos x的范围,以防止出错,若没有特别 限制其范围是[-1,1]. 2.有界转化策略

对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y=
Asin(ωx+φ)等形式的,常常可以利用三角函数的有界 性来求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的 策略之一.

[ 典 例 2]
? π? 4cos?ωx-6 ?sin ? ?

(2012· 庆 高 考 改 编 ) 设 函 数 f(x) = 重 ωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0.

求函数 y=f(x)的最值.

[解]

? f(x)=4? ? ?

? 3 1 ? cos ωx+ sin ωx?sin ωx+cos 2ωx 2 2 ?

=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin 2ωx+1, 因为-1≤sin 2ωx≤1, 所以函数 y=f(x)的最大值为 3+1,最小值为 1- 3.

[题后悟道]

求解这类问题的关键是先将所给的三

角函数化为一个角的三角函数问题,然后利用三角函数
的有界性求其最值. 3.单调性转化策略 借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转 化策略.对于三角函数来说,常常是先化为y=Asin(ωx +φ)+k的形式,再利用三角函数的单调性求解.

17π? 2 ? π? 3 ? [典例 3] 函数 f(x)= sin?x+4 ?- 在?π, 12 ?上的 2 ? ? 2 ? ? 最大值为________,最小值为________. 17π 5π π 5π [解析] 由 π≤x≤ ,得 ≤x+ ≤ . 12 4 4 3 5π? 2 ? π? 3 ? 因为 f(x)= sin?x+4 ?- 在?π, 4 ?上是减函数, 在 2 ? ? 2 ? ? ?5π 17π? ?17π? 5π ? , ? ? ? 所以当 x= 时, 且 4 12 ?上是增函数, f(π)>f ? 12 ?, 4 ? 2 ?5π π? 3 2 3 f(x)有最小值为 sin? 4 + 4?- =- - . 2 2 2 ? ? 2 当 x=π 时,f(x)有最大值-2. 2 3 [答案] -2 - - 2 2

[题后悟道]

这类三角函数求最值的问题,主要的求

解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式,然

后再借助于函数的单调性,确定所求三角函数的最值.
4.数形结合转化策略
b-sin x 对于形如y= 的三角函数最值问题来说,常 a-cos x b-sin x 常利用其几何意义,将y= 视为定点(a,b)与单 a-cos x 位圆上的点(cos x,sin x)连线的斜率来解决.

-sin x [典例 4] 求函数 y= (0<x<π)的最小值. 2-cos x
[解] 0-sin x 将表达式改写成 y= ,y 2-cos x

可看成连接点 A(2,0)与点 P(cos x,sin x)的直线的斜率.由于点(cos x,sin x) 的轨迹是单位圆的上半圆(如图), 所以求 y 的最小值就 是在这个半圆上求一点,使得相应的直线斜率最小.

设过点 A 的直线与半圆相切于点 B,则 kAB≤y<0. 5π 3 可求得 kAB=tan =- . 6 3 π? 3? 所以 y 的最小值为- ?此时x=3 ?. 3? ?

[题后悟道]

这类三角函数的最值问题,求解策略

就是先将函数化为直线斜率的形式,再找出定点与动

点满足条件的图形,最后由图形的几何意义求出三角
函数的最值.

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1 1 1.求证:tan α+ ? = . π α? cos α tan?4+2 ? ? ?
?π α? cos?4+2 ? sin α ? ? 证明:左边= + ? cos α π α? sin?4+2 ? ? ?

?π α? ?π α? ? + ?+cos αcos? + ? sin αsin 4 2 ? ? ?4 2? = ?π α? cos αsin?4+2 ? ? ? ?π α ? cos?4+2-α? ? ? = ?π α? cos αsin?4+2 ? ? ? ?π α? cos?4-2 ? ? ? = ?π α? cos αsin?4+2 ? ? ? ?π α? sin?4+2 ? 1 ? ? = = =右边. ?π α? cos α cos αsin?4+2 ? ? ?

故原式得证.

2.已知

? 1 ?1+ f(x)= tan ?

? ? π? ? π? 2 ?sin x-2sin?x+ ?· ?x- ?. x? 4 ? sin? 4? ?

(1)若tan α=2,求f(α)的值; ?π π? (2)若x∈? , ?,求f(x)的取值范围. ?12 2? ? ? π? π? 2 解:(1)f(x)=(sin x+sin xcos x)+2sin?x+4 ?· ?x+4 ? cos
? ? ? ? ? 1-cos 2x 1 π? = + sin 2x+sin?2x+2 ? 2 2 ? ? 1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2

由 tan α=2,

2sin αcos α 2tan α 4 得 sin 2α= 2 = = . sin α+cos2α tan2α+1 5 cos2α-sin 2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 = =- . 5 sin α+cos2α 1+tan2α 1 1 3 所以 f(α)= (sin 2α+cos 2α)+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2
π? 1 2 ? = sin?2x+4 ?+ . 2 ? ? 2 ?π π? 5π π 5 由 x∈?12,2 ?,得 ≤2x+ ≤ π. 12 4 4 ? ?
? 2+1 π? 2 ?2x+ ?≤1,则 0≤f(x)≤ 故- ≤sin , 4? 2 2 ?

所以

? f(x)的取值范围是?0, ?

2+1? ?. 2 ?



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