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山西省山西大学附属中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 理



山西大学附中 2015--2016 学年高二第二学期 3 月(总第七次)模块诊断数学试 题(理)
(考试时间:100 分钟) 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,请把答案写在答题纸上) 1. 已知函数 f ( x ) ? sin x ? cos x 且 f ' ( x0 ) ? f ( x0 )( x0 ?[0,? ]) ,则 x0

? ( A. 0 B. )

? D. ? 2 2.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数, 且 f ( ? x ) ? ? f ( x ) 恒成立, 若 f ?( ? x0 ) ? k ? 0 则 f ?( x0 ) ?( 1 1 A. k B. ? k C. D. ? k k 2 2 2 3.若 a ? ? 2 x dx , b ? ? xdx , c ? ? log 2 xdx ,则 a , b, c 的大小关系是( )
? 4
C.
1 1 1



A. c ? b ? a
2

B. b ? c ? a B. (0, ??)

C. c ? a ? b

D. a ? b ? c

4.若函数 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 在 (?1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是( A. [0, ??) C. ( , ??)



1 2

D. [ , ??)

1 2

5.已知 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,如果 f ?( x) 是二次函数, f ?( x) 的图象开口向上,顶点坐标为 (1, 3) , 那么曲线 y ? f ( x) 上任意一点处的切线的倾斜角 ? 的取值范围是( )

? ? ? ? 2? ? A. (0 , ] B. [ , ) C. ( , ] D. [ , ?) 3 2 2 3 3 3 3 2 2 6.若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为
A. (3,?3) B. (?4,11) C. (3,?3) 或 (?4,11)





D.不存在

7. 已知函数 y ? f ( x ) 的图像在点 (1, f (1) 处的切线方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 ,若 g ( x ) ? ( A. )

x ,则 g ' (1) ? f ( x)

1 2

B.

1 4

C.

1 9
) C.

D.2

8.定积分 A.

? ?4 ? ?1 D. 4 4 2 2 9.若 f ( x) 的 定义域为 R , f ?( x) ? 2 恒成立, f (?1) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 解集为( A. (?1,1) B. (??, ??) C. (?1, D. (??, ?1) ? ?)
? ?2
B.

?(
0

2

1 ? ( x ? 1) 2 ? x )dx 等于 (

?

?4



10. 若二次函数 y ? x ? 2 x ? 2 与 y ? ? x ? ax ? b(a ? 0, b ? 0) 在它们的一个交点处的切线互相垂直, 则
2 2

5 25 25 C. D. 4 8 16 a a ? 2e 1? c ? ? 1 ,其中 e 是自然对数的底数,则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的最小 11.已知实数 a, b, c, d 满足 b d ?1
B. 值为( A.8 ) B.10 C.12 D.18
1

ab 的最大值为( 5 A. 2



12.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满 足 xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,当 0 ? a ? b ? 1 时,下面选项中最大的一项是 ( )
b b A. a ? f a

? ?

a a B. b ? f b

? ?

C. loga b ? f ? loga b ?

D. logb a ? f ? logb a ?

二. 填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案写在答题纸上) 13.已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 + x ? 6在(??, ??) 上既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围为 14.若两曲线 y ? x 2 与 y ? cx3 (c ? 0) 围成图形的面积是 15.若函数 f ( x ) ?
x

2 ,则 c 的值为 3

1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是__________ e ?x?m 1 3 ? 1 , g ( x) ? x2 ? 2bx ? 4 ,若对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ?[1, 2] ,使 16.已知函数 f ( x ) ? ln x ? x ? 4 4x f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 b 的取值范围是

三.解答题(本大题共 5 个小题,共 48 分.要求写出必要的演算过程和推理步骤) 17.(8 分)求曲线 y ? x ( x ? 0) 在点 A( 2,4) 的切线与该曲线以及 x 轴所围成的图形的面积.
2

3 18.(8 分)若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 4 .当 x ? 2 时,函数 f ( x) 取得极值 ?

4 . 3

(1)求函 数的解析式; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [?3,3] 上的最值.

19. (10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,函数 g ( x) ? 2t ln x, t ? 1 .
2

(1)如果函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 x ? 1 处的切线均为 l ,求切线 l 的方程及 t 的值; (2)讨论函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点个数.

20. (10 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 .
x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值.

2

21. (1 2 分)已知函数 f ? x ? ? e x , g ? x ? ? ln x ? m . (1)当 m ? ?1 时,求函数 F ? x ? ?

f ? x? x

? x ? g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的极值;

(2)若 m ? 2 ,求证:当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ( x ) ? g ( x ) ?

, ln 3 ? 1.099) (参考数据: ln 2 ? 0.693

1 . 10

3

山西大学附中 2015--2016 学年高二第二学期 3 月(总第七次) 模块诊断数学试题评分细则(理) 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,请把答案写在答题纸上) CAADB,BCDCD,AD 二. 填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案写在答题纸上) 13. a ?

1 且a ? 0 3

14.

1 2

15. m ? ?1

16. [

17 , ?? ) 8

三.解答题(本大题共 5 个小题,共 48 分.要求写出必要的演算过程和推理步骤) 17. (8 分)解:求导: f ' ( x) ? 2 x ,则曲线在点 A?2,4? 处的切线斜率为: k ? 2 ? 2 ? 4 . 由点斜式知切线方程为: y ? 4 x ? 4 -----------------------------4 分 切线与 x 轴的交点为 A?1,0? ,故所求图形面积为:

?x
0

1

2

dx ? ? [ x 2 ? (4 x ? 4)]dx ?
1

2

2 ------8 分 3

18.(8 分)解: (1) f ' ( x) ? 3ax2 ? b , 由题知: f ' (2) ? 0 且 f (2) ? ? 则代入有 f ' (2) ? 12a ? b ? 0 且 f (2) ? 8a ? 2b ? 4 ? ? 则函数解析式为: f ( x) ?

4 . 3

4 , 3 1 解得 a ? , b ? 4 3

1 3 x ? 4 x ? 4 .------3 分 3 (2)由(1)知: f ' ( x) ? x 2 ? 4 , 令 f ' ( x) ? 0 解得 x ? 2 或 x ? ?2
当 x ? (?3,?2) 时, f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (?3,?2) 上单调递增. 当 x ? (?2,2) 时, f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (?2,2) 上单调递减. 当 x ? (2,3) 时, f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (2,3) 上单调递增. 则 f ( x) 在 x ? ?2 处取极大值,在 x ? 2 处 取极小值.

28 4 , f (2) ? ? 3 3 28 4 ? 则 f ( x) 在 ?? 3,3? 上的最大值为 ,最小值为 ? .---------------------8 分 3 3 2t ' 19.(10 分)解: (1)? f ( x) ? 2 x , g '( x ) ? , ( x ? 0). x ' ' 由题意,得切线 l 的斜率 k ? f (1) ? g (1) .即 k ? 2t ? 2 ,解得 t ? 1 . 又? 切点坐标为 (1,0) .所以切线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ; -----------------2 分
又?

f (?3) ? 7 , f (3) ? 1 , f (?2) ?

(2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ? 2t ln x, ( x ? 0) .
2

2t 2 x 2 ? 2t ? .-----------------------------------3 分 x x ' ①当 t ? 0 时,由 x ? (0,??) ,得 h ( x) ? 0 . 所以 h( x) 在 x ? (0,??) 上单调递增. 又因为 h(1) ? 0 ,所以 y ? h( x) 有且仅有一个零点。 ------------------4 分 ' ②当 t ? 1 时,当 x 变化时, h ( x) 与 h( x) 的变化情况如下表所示: x 1 (1,??) (0,1)
则 h '( x) ? 2 x ? ﹣ 0 + h ' ( x) ↘ 极小值 ↗ h( x ) 所以 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 ?1,??? 上单调递增, 当 x ? 1 时, h( x)min ? h(1) ? 0 故 y ? h( x) 有且仅有一个零点 x ? 1 . ------------------6 分
' ③当 0 ? t ? 1 时,令 h ( x) ? 0 ,解得 x ? t .

4

当 x 变化时, h' ( x) 与 h( x) 的变化情况如下表所示:

x

?0, t ?

t
0 极小值

? t ,???
?

h ( x) ﹣
'

h ( x) ↘



所以 h( x) 在 (0, t ) 上单调递减,在 ( t , ??) 上单调递增, 所以当 x ? t 时, h( x)min ?? h( t ) . 因为 h(1) ? 0 , 又因为存在 e
1 ? 2t

t ? 1 ,且 h( x) 在 ( t , ??) 上单调递增,所以 h( t ) ? h(1) ? 0 .
? 1 ? 1 ? 1 ? 1

? (0,1) , h(e 2t ) ? e t ? 1 ? 2t ln e 2t ? e t ? 0 , 所以存在 x0 ? ?0,1?使 得 h( x0 ) ? 0 . 所以函数 y ? h( x) 存在两个零点 x0 ,1 . 综上,当 t ? 1 或 t ? 0 时,曲线 y ? h( x) 有一个零点, 当 0 ? t ? 1 时,曲线 y ? h( x) 有两个零点.-------------------------10 分 20. (10 分)解: (1)由题意 a ? 0, f ' ( x) ? e x ? a ,由 f ' ( x) ? e x ? a ? 0 得 x ? ln a ,
当 x ? (??, ln a) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (ln a,??) 时, f ' ( x) ? 0 . ∴ f ( x) 的单调递减区间为 (??, ln a) ,单调递增区间为 (ln a,??) .--------4 分 (2) f ( x) ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,即在 x ? R 上, f ( x)min ? 0 . 由(1)知 f ( x ) 在 x ? ln a 处取得极小值,且为最小值,其最小值为

f (ln a) ? eln a ? a ln a ?1 ? a ? a ln a ?1 .
设 g (a) ? a ? a ln a ? 1 ,所以 g (a) ? 0 ,由 g ' (a) ? 1 ? ln a ? 1 ? ? ln a ? 0 得 a ? 1 , ∴ g (a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1,??) 上单调递减,∴ g (a ) 在 a ? 1 处取得极大值 g (1) ? 0 ,因 此 g (a) ? 0 的解为 a ? 1 , ∴ a ? 1. 21. (12 分)解: (1) F ( x ) ? -------- -----------------10 分
x

e ? x(ln x ? 1) , x ? F ( x ) 在(0,1)单调减,在 (1,??) 单调增, ? 极小值为 F (1) ? e ? 1 ,无极大值;

? F ' ( x) ?

ex ( x ? 1) ? ln x , x2

--------4 分
x

x (2)构造函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ? ln x ? 2 ,? h ?( x ) ? e ?

1 在 (0,??) 单调增, x

1 1 ? h ?( ) ? e ? 2 ? 0 , h?(ln 2) ? 2 ? ?0, ln 2 2 1 1 ? h ?( x ) 在 (0,??) 上有唯一零点 x0 ? ( , ln 2) ,? e x0 ? x0 ,即 x0 ? ? ln x0 , 2 且当 x ? (0, x0 ) 时 h( x) 单调递减,当 x ? ( x0 ,??) 时 h( x) 单调递增 1 x ? x0 ? 2 , 故有 h( x ) ? h( x0 ) ? e 0 ? ln x0 ? 2 ? x0 1 1 构造函数 ? (t ) ? t ? ? 2 在(0,1)上单调减,? x0 ? ( , ln 2) , 2 t 1 1 1 ?? ( x0 ) ? ? (ln 2) ? ln 2 ? ? 2 ? 0.13 ? ,即 h ( x 0 ) ? , ln 2 10 10 1 ? f ( x) ? g ( x) ? -------------------------12 分 10
5



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