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几何变换



第4章 索引

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4.1 几何变换的数学基础
4.1.1 点和向量

4.1.2 向量的加法 4.1.3 向量标量乘
4.1.4 向量的标量积 4.1.5 向量的向量积

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第四章

图形变换

4.1 几何变换的数学基础

4.1.1 点和向量

y2 P y OB 坐标系B y1 P1 x1

?

2 ? v ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

? ? (x ? x ) ? ( y ? y )i? v ?
2 1 2 2 1

P2

OA

x

坐标系A

o

x2

P点在两个坐标系中的位置

? cos? ? ( x2 ? x1 ) / v ? cos? ? ( y2 ? y1 ) / v

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第四章 图形变换

4.1 几何变换的数学基础

? 在三维空间中,点的坐标为(x,y,z),向量 ? v?P 1P 2 ? P 2 ?P 1
? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

? (vx , vy , vz )
? ? 向量 v 的大小(长度) ? 2 2 v ? vx ? v2 ? v y z

? 方向余弦分别为 ? cos? ? vx / v

? cos ? ? vy / v

? cos? ? vz / v
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第四章 图形变换

4.1 几何变换的数学基础

4.1.2 向量的加法

v1 +v2 v2 v1

v1 ? v2 ? (v1x ? v2 x , v1y ? v2 y , v1z ? v2 z )

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第四章 图形变换

4.1 几何变换的数学基础

4.1.3 向量标量乘

av ? (avx , avy , avz )
av

v

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第四章 图形变换

4.1 几何变换的数学基础

4.1.4 向量的标量积
? 向量的标量积(scalar product)也称为点积(dot product)或内积(inner product)

v1 ? v2 ? v1xv2 x ? v1y v2 y ? v1z v2 z
? v1 v2 cos?
v1 v2

?
v1 cos?

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第四章 图形变换

4.1 几何变换的数学基础

4.1.5 向量的向量积
? 向量的向量积(vector product)又称为叉积(cross product)
i v1 ? v2 ? v1x v2 x j v1 y v2 y k v1z v2 z

? (v1y v2 z ? v1z v2 y , v1z v2 x ? v1xv2 z , v1xv2 y ? v1y v2 z )

? v1×v2的长度为
v1 ? v2 ? v1 v2 sin ?

v1×v2 v2

?
v1

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4.2 二维几何变换
4.2.1 几何变换的概念和作用 4.2.2 齐次坐标系表示 4.2.3 其它常用的二维几何变换 4.2.4 二维组合变换

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

4.2.1 几何变换的概念和作用 ? 几何变换提供了构造和修改图形的一种方法, 可以修改图形的
位置 方向

尺寸
形状

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? 几何变换的基本方法是把变换矩阵作为一个 算子,作用到图形一系列顶点的位置矢量, 从而得到这些顶点在几何变换后的新顶点序 列,连接新的顶点序列即可得到变换后的图 形. ? 几何变换是在同一坐标系进行的,因此,这 时坐标系是静止的,而图形是变动的.

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

4.2.2 齐次坐标系表示
? 1. 平移变换 ? 将二维平面上的点P(x,y)移动一段距离,x方向的位 移量为tx,y方向的位移量为ty,到达新位置P’(x’,y’), 那么有: P’
x' ? x ? t x ,

y' ? y ? t y

ty

? 写成矩阵运算的形式为:
? x' ? ? y'? ? ? ? ? x ? ?t x ? ? y ? ? ?t ? ? ? ? y? ? x? P?? ? ? y?
(1)

y P

tx
x

o

? 定义列向量

? x'? P' ? ? ? ? y '?
P' ? P ? T

?t x ? T ?? ? ?t y ?

? 那么公式(1)可以改写成

平移向量 (Translation 上一页 Vector)下一页

第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

2. 缩放
? 将二维平面上的点P(x,y)作缩放,x方向的缩放因子 (scaling Factor)为sx,y方向的缩放因子为sy,到达新 xS x P’ 位置P’(x’,y’),那么有:
x' ? sx x,

y' ? s y y

y P

yS y
x

? 写成矩阵运算形式为:
? x'? ?sx 0? ? x ? ? y'? ? ?0 S ? ? ? y ? y ? ? ? ? ? ?
o

(2)

?令

?sx S?? ?0

0? sy ? ?
P' ? S ? P

缩放矩阵(Scaling Matrix)

? 公式(2)可以改写成

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

3. 旋转变换 ? 将二维平面上的点P(x,y)绕着坐标原点旋转角 度θ ,到达新的位置P’(x’,y’).假设向量OP的长 度为r,与x轴形成的方向角为φ ,那么有:
x ? r cos? y ? r sin ?

(3)

P’(x’,y’)

? 旋转后,向量OP’的长度仍为 y ? r,与x轴开成的方向角为φ +θ o 因此有: x' ? r cos(? ? ? ) ? r cos? cos? ? r sin ? sin ?
y' ? r sin(? ? ? ) ? r cos? sin ? ? r sin ? cos?

r

?

r
x

P(x,y)

将公式(3)代入上式得

x' ? x cos? ? y sin ? y' ? x sin ? ? y cos?
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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

x' ? x cos? ? y sin ? y' ? x sin ? ? y cos?

? 写成矩阵形式
? x'? ?cos? ? sin ?? ? x ? ? y'? ? ?sin ? cos? ? ? ? y ? ? ? ? ? ? ?
( 4)
P’(x’,y’)

?令
?cos? R?? ? sin ? ? sin ? ? cos? ? ?

旋转矩阵 (Rotation Matrix)

r
y o

?

?

r
x

P(x,y)

? 公式(4)可以改写成
P' ? R ? P
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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? 平移、缩放、旋转变换的矩阵表示分别为:

P' ? P ? T P' ? S ? P

P' ? R ? P
? 采用齐次坐标(Homogeneous Coordinates)技术,上 述三种基本二维变换都可以统一表示为矩阵的乘法 ? 二维平面上点(x,y)的齐次坐标为(xh,yh,h)

(3,2,1)
规范化齐次坐标

(6,4,2) (3,2)

(1.5,1,0.5)

h为不为0的数

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? 一般化

( x1 , x2 ,..., xn )
有n个分量的向量

(?x1 , ?x 2 ,..., ?x n , ?)
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子

( x1 , x2 ,..., xn , ? )

( x1 / ? , x2 / ? ,..., xn / ? )

齐次坐标表示不是唯一的
? ? 1 规格化的齐次坐标

? 无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示
? ? 0时,齐次坐标 ( x1 , x2 ,..., xn , ? )表示一个n维的无穷远点
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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? 平移变换的矩阵表示变成

?令

?1 0 t x ? ? T ?? 0 1 t y? ? ? ?0 0 1 ? ?

? x ' ? ?1 0 t x ? ? x ? ? y '? ? ?0 1 t ? ? ? y ? y? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?0 0 1 ? ? ? ?1 ? ?

(5)

P' ? T (t , t ) ? P ? 那么公式(5)可以改写成 ? T(tx,ty)的逆矩阵为T(-tx,-ty) x'? ? s ? 缩放变换的矩阵表示现在变成 ? ? ? ?
x y
x

0 sy 0

?令

?sx S (sx , s y ) ? ? ?0 ? ?0

0 sy 0

0? 0? ? 1? ?

? y '? ? ? 0 ? ?1? ? ? ?0

0? ? x ? ? y? 0? ? ? ? ? 1? ? ? ?1 ? ?

( 6)

逆矩阵
0? 0? ? 1? ?

0 ?1 / s x S (1/ sx ,1/ s y ) ? ? 0 1 / s y ? ? 0 ? 0

P' ? S (sx , s y ) ? P
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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? a 0 0? ? ? S ( a, a ) ? ? 0 a 0? ? ?0 0 1? ?

?1 0 0 ? ? ?? 0 1 0 ? ? ? ?0 0 1 / a ? ?
? sin ? cos? 0
0? 0? ? 1? ?

? 旋转变换的矩阵表示现在变成
? x'? ?cos? ? y '? ? ? sin ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 0 0? ? x ? ? y? 0? ?? ? 1? ?? ?1 ? ?
(7 )

?令

?cos? R(? ) ? ? ? sin ? ? ? 0

? sin ? cos? 0

逆矩阵

?cos(?? ) ? sin(?? ) 0? ? ? R(?? ) ? ? sin(?? ) cos(?? ) 0? ? 0 1? ? 0 ? ? cos? ?? ?? sin ? ? ? 0 sin ? cos? 0 0? 0? ? 1? ?

? 公式(7)可以改成

P' ? R(? ) P

? R(? )T

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

4.2.3 其它常用的二维几何变换

? 1.对称变换(symmetry)(反射变换或镜像变换)
① 相对于y轴对称
y

几何 关系 矩阵 形式

? x' ? ? x ? ? y' ? y
? x'? ?? x ? ? y '? ? ? y ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?1? ?
o x

对称变换(1)

?-1 0 0 ? ? x ? ? ? y? ?? 0 1 0 ? ?? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?1 ? ?
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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

② 相对于x轴对称
几何 关系 矩阵 形式
? x' ? x ? ? y' ? ? y
y

o

x

? x'? ? x ? ? y '? ? ?? y ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?1? ?

对称变换(2)

?1 0 0 ? ? x ? ? ? y? ?? 0 -1 0 ? ?? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?1 ? ?

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

③ 相对于原点对称
几何 关系 矩阵 形式
? x' ? ? x ? ? y' ? ? y

y

o

x

? x'? ? ? x ? ? y '? ? ?? y ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?1? ?

对称变换(3)

?-1 0 0 ? ? x ? ? ? y? ?? 0 -1 0 ? ?? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?1 ? ?

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

④ 相对于直线y=x对称
几何 关系 矩阵 形式
? x' ? y ? ? y' ? x
o y

y=x

x

? x'? ? y '? ? ? ? ?1? ?

? y? ? ?? x ? ? ? ?1 ? ?
?0 1 0 ? ? x ? ? ? y? ?? 1 0 0 ? ?? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?1 ? ?

对称变换(4)

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换
y

⑤ 相对于直线y=-x对称
y=-x

几何 关系 矩阵 形式

? x' ? ? y ? ? y' ? ? x

o

x

? x '? ?? y ? ? y '? ? ? ? x ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?1? ?

对称变换(5)

?0 -1 0 ? ? x ? ? ? y? ?? -1 0 0 ? ?? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?1 ? ?

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? 2.错切变换(shear)
①沿 x 轴方向关于 y 轴错切

? 将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的 倾斜线,而保持y坐标不变。
几何关系
令 a ? ctg? 代入(8)得
? x' ? x ? ?x ? y' ? y ?

(8)

y

有 ?x ? yctg?

? ay
?
△x

y

? x ' ? x ? ay ? ? y' ? y
? x'? ? x ? ay ? ?1 a 0 ? ? x ? ? y '? ? ? y ? ? ? ? y? ? 0 1 0 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1? ? ? ? 1 ? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?1 ? ?

x

矩阵形式

错切变换(1)

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? 将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成 ? 角 的倾斜线,而保持x坐标不变。
几何关系
令 b ? ctg? 代入(9)得
? x' ? x (9) ? y ' ? y ? ? y ?
y

②沿 y 轴方向关于x 轴错切

有 ?y ? xctg? ? bx
? x' ? x ? ? y ' ? y ? bx
? x'? ? x ? ?1 0 0 ? ? x ? ? y '? ? ? y ? bx? ? ? ? y? ? b 1 0 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1? ? ? ? 1 ? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?1 ? ?

△y

?

x

矩阵形式

错切变换(2)

上一页

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

4.2.4 二维组合变换 ①相对于任意点(x0 , y0)的比例变换 ? 对任意点比例变换的步骤:
1.平移变换 2.相对于原点的比例变换 3.平移变换
当(x0 , y0)为图形重心的坐标 时,这种变换实现的是相对 于重心的比例变换。
(x0,y0) (x2,y2) (x3,y3)

(x1,y1) (x4,y4)

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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

?1 0 ? x0 ? ? T1 ? ? 0 1 ? y 0 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?S x S?? ?0 ? ?0 0 Sy 0 0? 0? ? 1? ?

? x1 ? ?y ? ? 1? ? ?1? ?

平移

?1 0 T2 ? ? ?0 1 ? ?0 0

x0 ? y0 ? ? 1? ?

? x2 ? ?1 0 ? x0 ? ? x1 ? ? y ? ? ?0 1 ? y ? ? y ? 0 ?? 1? ? 2? ? ? ?1? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?1? ?
缩放

T ? T2 ST1
故有:

? x ' ? ? x4 ? ? x1 ? ? y '? ? ? y ? ?y ? ? S T T 4 2 1 ? 1? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ? ? ?1? ? ? x1 ? ? ? ? ?T? y ? 1? ? ?1? ?

? x3 ? ? S x ?y ? ? ? 0 ? 3? ? ? ?1? ? ? ?0
平移

0 Sy 0

0 ? ? x2 ? ?y ? 0? ?? 2 ? 1? ?? ?1? ?

? x4 ? ?1 0 ? y ? ? ?0 1 ? 4? ? ? ?1? ? ? ?0 0

x0 ? ? x3 ? ?y ? y0 ? ?? 3 ? 1? ?? ?1? ?

上一页 下一页 任意点比例变换示意图

第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

② 绕任意点(x0, y0)的旋转变换 ? 绕任意点旋转变换的步骤: 1. 平移变换 2. 对图形绕原点进行旋转变换 3. 平移变换
y

(x4,y4) (x1,y1)

(x3,y3) (x0,y0)

θ

θ
O

(x2,y2)
x

相对于任意点(x0,y0)的旋转变换 上一页 下一页

第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

?1 0 ? x0 ? ? T1 ? ? 0 1 ? y 0 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?cos ? R?? ? sin ? ? ? 0 ? sin ? cos ? 0 0? 0? ? 1? ?

? x1 ? ?y ? ? 1? ? ?1? ?

平移

?1 0 T2 ? ? ?0 1 ? ?0 0

x0 ? y0 ? ? 1? ?
? x1 ? ? ? ? T2 R T1 ? y1 ? ?1? ? x1 ? ? ? ? ?T? y ? 1? ? ?1? ?

? x2 ? ?1 0 ? x0 ? ? x1 ? ? y ? ? ?0 1 ? y ? ? y ? 0 ?? 1? ? 2? ? ? ?1? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?1? ?
旋转
? x3 ? ?cos ? ? sin ? 0? ? x2 ? ? y ? ? ? sin ? cos ? 0? ? y ? ? 3? ? ?? 2 ? ? 0 1? ?1? ? ? ? 0 ?? ?1? ?

故有: ? x'? ? x4 ?
? y '? ? ? y ? ? ? ? 4? ? ?1? ? ? ?1? ?

T ? T2 RT1

平移

? x4 ? ?1 0 ? y ? ? ?0 1 ? 4? ? ? ?1? ? ? ?0 0

x0 ? ? x3 ? ?y ? y0 ? ?? 3 ? 1? ?? ?1? ?

上一页 下一页 任意点旋转变换示意图

第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? 对任意直线的对称变换 ? 设任意直线的方程为AX+BY+C=0,直线在X 轴和Y轴上的截距分别为–C/A和–C/B,直线 与X轴的夹角为α,α =arctg(–A/B)。对任意直 线的对称变换由以下几个步骤来完成: ①平移直线,使其通过原点(可以沿X轴平移, 也可以没Y轴平移,这里以沿X轴平移为例), y 变换矩阵为:
?1 0 C / A? ? 0 ? T1t = ?0 1 ? ? 1 ? ?0 0 ?

-C/B α=arctg(-A/B) x -C/A
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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

②绕原点旋转-α,使直线与X坐标轴重合,变 换矩阵为:
T2r
?cos(?? ) ? sin(?? ) 0? ? cos? ? ? ? = ? sin(?? ) cos(?? ) 0? ? ?? sin ? ? 0 1? ? 0 ? ? ? 0 sin ? cos? 0 0? 0? ? 1? ?

③对X坐标轴对称变换,其变换矩阵为:
T3m
?1 0 0 ? ? ? = ?0 ? 1 0 ? ? ?0 0 1 ? ?

y α x
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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

④绕原点旋转使直线回到原来与X轴成α角的位 置,变换矩阵为:
?cos? ? T4r = ? sin ? ? ? 0 ? sin ? cos? 0 0? 0? ? 1? ?

⑤平移直线,使其回到原来的位置,变换矩阵 为:
?1 0 ? C / A ? ?0 1 ? 0 T5t = ? ? ? 1 ? ?0 0 ?
y α -C/A
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x
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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? 通过上述5个步骤,即可实现图形对任意直线 的对称变换,其组合变换矩阵为:
T = T5t × T4r × T3m × T2r ×T1t

?cos 2? sin 2? (cos2? ? 1) ? C A? ? ? ? ? sin 2? ? cos 2? sin 2? ? C A ? ? ? 0 1 ? 0 ?

? 综上所述,复杂变换是通过基本变换的组合 而成的。由于矩阵的乘法不适用于交换律, 即:[A][B]≠[B][A],因此,组合的顺序一般是 不能颠倒的,顺序不同,则变换的结果亦不 同。
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第四章 图形变换

4.2 二维几何变换

? 下图显示了对三角形ABC进行不同顺序的基 本变换的组合变换结果。
y C” 40 30 B” 20 10 0 A A’ C’ B 10 C” B C B” 0 10 20 30 x y

A

A”

C
20

C’ B’ x 30

A’

B’ A”

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4.3 三维几何变换
4.3.1 三维基本几何变换

4.3.2 三维几何复合变换

4.3.3 投影变换

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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

? 三维齐次坐标
a.(x,y,z)点对应的齐次坐标为

? xh ? ?y ? ? h? ? zh ? ?h? ? ?

xh ? hx, yh ? hy, zh ? hz, h ? 0

b. 标准齐次坐标(x,y,z,1)

z

? 右手坐标系
y
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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

4.3.1 三维基本几何变换 ? 1. 平移变换
? x ? Tx ? ?y ?T ? y? ? ? z ? Tz ? ? ? ? 1 ? ?1 ?0 ?? ?0 ? ?0
?1 ?0 T ?? ?0 ? ?0
0 1 0 0 0 1 Tx ? Ty

0

0

? ? Tz ? ? 1 ?

?x? ? y? ? ? ?z? ? ? ?1 ?

0 1 0 0

0 Tx ? 0 Ty ? ? 1 Tz ? ? 0 1?
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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

? 2. 缩放变换

? xS x ? ? yS ? ? y? ? zS z ? ? ? ? 1 ? ? xS ? ? yS ? ? ? ? zS ? ? ? ?1?

? Sx ?0 ?? ?0 ? ?0 ?S ?0 ?? ?0 ? ?0

0

0

0 0

Sy 0 0 0

Sz 0 0 1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?x? ? y? ? ? ?z? ? ? ?1 ? ?x? ? y? ? ? ?z? ? ? ?1 ?

?S x ?0 R?? ?0 ? ?0
?S ?0 R?? ?0 ? ?0 ?1 ?0 R?? ?0 ? ?0 0 S 0 0 0 1 0 0

0 Sy 0 0
0 0 S 0 0 0 1 0

0 0 Sz 0
0? 0? ? 0? ? 1? 0 ? 0 ? ? 0 ? ? 1/ S ?
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0? ? 0? 0? ? 1?

0 S 0 0

0 0 S 0

0 0 0 1

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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

? 3. 对称变换 ? 三维对称变换包括对原点、对坐标轴和对坐 标平面的对称,常用的是对坐标平面的变换, 我们对此加以讨论: z ①对xoy平面的对称变换 (x,y,z)
? x ? ?1 ? y ? ?0 ? ??? ?? z ? ? 0 ? ? ? ? 1 ? ?0
0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1

? ? ? ? ? ?

?x? ? y? ? ? ?z? ? ? ?1 ?

y
x

o (x,y,-z)

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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

②对xoz平面的对称变换
z
(x,y,z) y

? x ? ?1 ?? y ? ? 0 ? ? ?? ? z ? ?0 ? ? ? ? 1 ? ?0

0 -1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

? ? ? ? ? ?

?x? ? y? ? ? ?z? ? ? ?1 ?

(x,-y,z)

o

x

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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

③对yoz平面的对称变换
z

? ? x ? ? -1 ? y ? ?0 ? ? ?? ? z ? ?0 ? ? ? ? 1 ? ?0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

? ? ? ? ? ?

?x? ? y? ? ? ?z? ? ? ?1 ?

(-x,y,z)

y (x,y,z) x

o

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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换
z y (x,y’,z’) (x,y,z) ? r r ? o x

? 4. 旋转变换 ①绕x轴旋转
? y ? r cos? ? ? z ? r sin ?
? y' ? r cos(? ? ? ) ? ? z ' ? r sin(? ? ? ) ? y' ? r cos? cos? ? r sin ? sin ? ? ? z ' ? r sin ? cos? ? r cos? sin ? ? y' ? y cos? ? z sin ? ? ? z ' ? y sin ? ? z cos?
? x' ? x ? ? y ' ? y cos? ? z sin ? ? z ' ? y cos? ? z sin ? ?

x ? x'? ? ? ?1 0 0 ? y '? ? y cos? ? z sin ? ? ? 0 cosθ -sinθ ? ? ?? ??? ? z ' ? ? y sin ? ? z cos? ? ? 0 sinθ cosθ ? ? ? ? ? 1 ?1? ? ? ?0 0 0
0 ?1 ?0 cos? Rx (? ) ? ? ?0 sin ? ? 0 ?0 0 ? sin ? cos? 0 0? 0? ? 0? ? 1?

0 0 0 1

? ? ? ? ? ?

?x? ? y? ? ? ?z? ? ? ?1 ?

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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

② 绕y轴旋转
? cos ? ? 0 Ry ( ? ) ? ? ?? sin ? ? ? 0 0 sin ? 1 0 0 cos ? 0 0
z

0? 0? ? 0? ? 1?

y x

o

③ 绕z轴旋转
y

?cos? ? sin ? Rz (? ) ? ? ? 0 ? ? 0

? sin ? cos? 0 0

0 0 1 0

0? 0? ? 0? ? 1?

x z

o

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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

0 ?1 ?0 cos? Rx (? ) ? ? ?0 sin ? ? 0 ?0
? cos ? ? 0 Ry ( ? ) ? ? ?? sin ? ? ? 0

0 ? sin ? cos? 0
0 sin ? 1 0 0 cos ? 0 0

0? 0? ? 0? ? 1?
0? 0? ? 0? ? 1?

?cos? ? sin ? Rz (? ) ? ? ? 0 ? ? 0

? sin ? cos? 0 0

0 0 1 0

0? 0? ? 0? ? 1?

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第四章 图形变换

z

4.3 三维几何变换 z

? 5.错切变换

x

x

y

y

沿x含y错切
z

沿x含z错切
z

x

x

y

y

沿y含x错切
z

沿y含z错切
z

x

x

y

y

沿z含x错切 三维错切变换

沿z含y错切

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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

4.3.2 三维几何复合变换
? 与二维组合变换一样,通过对三维基本变换矩阵的 组合,可以实现对三维物体的复杂变换。 ? 作为一个例子,我们用三维组合变换的方法来解 决绕任意轴旋转的问题。
Z

设空间一般位置的旋转轴是 AA' , A的坐标是(xA,,yA,zA),A'的坐标 是(x'A,y'A,z'A) ,空间一点 P(x ,y, z)绕AA'轴旋转θ角到P'(x',y,,z'), ? x'? ? x? 即:
? y '? ? y? ? ? ? TAR ? ? ? z'? ?z? ? ? ? ? 1 ? ? ?1 ?

A’ θ P X

P’

A O Y

TAR 为绕任意轴的旋转变换 矩阵,它是由基本变换矩阵 组合而成,我们的任务就是 上一页 下一页 要构造矩阵 TAR

第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

① 将点P与旋转轴AA'一直起作平移变换,使旋转轴 AA'过原点,A与原点重合,其变换矩阵为:
?1 ?0 T 1t ? ? ?0 ? ?0 0 1 0 0 0 ? xA ? 0 ? yA? ? 1 ? zA ? ? 0 1 ?

A’(x'A,y'A,z'A)

z

A(xA,yA,zA)

x y

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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

②令AA‘轴首先绕X轴逆时针旋转α角,使其与XOZ平 面共面,然后再绕Y轴顺时针旋转β角,使其与Z轴 重合,该变换矩阵为:
? cos(? ? ) ? 0 T 2 rxy ? ? ?? sin(? ? ) ? 0 ? 0 sin(? ? ) 1 0 0 cos(? ? ) 0 0 0? 0? ? 0? ? 1?
0 ?1 ?0 cos? ? ?0 sin ? ? 0 ?0 0 ? sin ? cos? 0 0? 0? ? 0? ? 1?

? 其中,α和β角可通过旋转轴的两个端点的坐标计算 得到。 z A’(x' ,y' ,z' )
A A A

绕Y轴旋转β角

绕X轴旋转α角

?

A(xA,yA,zA) ?

x
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y

第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

③ 将P点绕Z轴(即AA’轴)旋转θ角,变换矩阵 为: ?cos? ? sin ? 0 0?
T3r z ? sin ? ?? ? 0 ? ? 0 cos? 0 0 0 0? ? 1 0? ? 0 1?

④ 对步骤②作逆变换,将AA'旋转回到原来的 位置,变换矩阵为:
T4ryx
0 0 ?1 ?0 cos(?? ) ? sin(?? ) ? ? ?0 sin(?? ) cos(?? ) ? 0 0 ?0 0? 0? ? 0? ? 1? ? cos ? ? 0 ? ?? sin ? ? ? 0 0 sin ? 1 0 0 cos ? 0 0 0? 0? ? 0? ? 1?
A’(x'A,y'A,z'A)

z

?

A(x ,y ,z ) ? A A A

x

y
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第四章 图形变换

4.3 三维几何变换

⑤ 对步骤①作逆变换,将旋转轴平移回到原来的位置, 变换矩阵为:
?1 ?0 T5t ? ? ?0 ? ?0 0 1 0 0 0 0 1 0 xA ? yA ? ? zA ? ? 1?
z

? 上述五步连起来,便组成绕任意轴的旋转变换矩阵:
A’(x'A,y'A,z'A)

TAR ? T5t T4r y xT3r zT2r xyT1t
A(xA,yA,zA)

x

y
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