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2013-2014高一数学期末试题及答案



2013-2014 学年第一学期第二学段 一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是 A 三点确定一个平面 B 两条直线确定一个平面 C 过一条直线的平面有无数多个 则在直线 l 上的点是 A (1, 3 ) 3, A 圆锥 B D 两个相交平面的交线是一条线段 C 四棱柱

2. 若过坐标原点的直线 l 的斜率为 ?

( 3,1)
B

(? 3,1)

D

(1,? 3)

3.某建筑物的三视图如图所示,则此建筑物结构的形状是 C 从上往下分别是圆锥和四棱柱 D

从上往下分别是圆锥和圆柱 A.(1,1) B.(?1,?1) C. (1,?1) D.(?1,1)

4. 直线 x ?

y ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标是

5. 已知两个球的表面积之比为 1 : 9 ,则这两个球的半径之比为 A. 1 : 3 6.已知过点 A. 7.圆 x
2

B. 1:

3

C. 1 : 9

D. 1: 81

A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为
B. 0 C. 2 D. 10 A. (3,0),9 B. (3,0),3 C. (?3,0),9 D. (?3,0),3

-8

? y 2 ? 6x ? 0 的圆心坐标和半径分别是

8.直线 l1 A 9. 圆 x

: kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0和l2 : (k ? 1) x ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 k 的值是
B 0 C 0 或-3 D 0或1 B.1 B. C.3 C. 3 D.4 D. 4

-3 或 1
2

? y 2 ? 1上的动点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为 A. 2
y ? 4 ? 0 被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 截得的弦长等于 A. 12 2

10.直线 x ?

2 2

2

2

11.设 m, n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题:



? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?
其中,真命题是



? ? ?? ??m? ? m // ? ?
)A.①④
2



m ??? ? ?? ? ? m // ? ?
B.②③



m // n ? ? ? m // ? n ???
D.②④ 在圆上 B 在圆外 C 在圆内 D 都不可能



C. ①③

12.若直线 ax ? by ? 1 与圆 x

? y 2 ? 1 相交,则点 P( a, b) 与圆的位置关系是 A

二、填空题.本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.一个圆锥的母线长是 20cm,母线与轴的夹角为 30 ,则圆锥的底面半径是 14.圆心在直线 y=2x 上,且与 x 轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是 .
0

cm.

15.一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其底角为 45 ,腰和上底均为 1. 如图,则平面图形的实际面积为 .

16.空间四个点 P、A、B、C 在同一球面上,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC= a ,那么这个球的半径是 第 1 页 共 4页



三、解答题.本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.

V
17、 (12 分)如图,正四棱锥 V- ABCD 中, AC与BD交于点M,VM 是棱锥的高 ,若

AC ? 6cm , VC ? 5cm ,求正四棱锥 V - ABCD 的体积.
D A M B C

P
20. (12 分)如图,在三棱锥 P—ABC 中,PC⊥底面 ABC,AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的中点.(1)求证:DE∥平面 PAC;(2)求证:AB⊥PB;

E C A D B
(第 20 题)

21.(12 分)如图,A、B、C、D 是空间四点,在△ABC 中, AB=2,AC=BC= (Ⅰ)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求三棱锥 D 请证明你的结论.

2 ,等边△ADB 所在的平面以 AB 为轴可转动.

ABC 的体积; (Ⅱ)当△ADB 转动过程中,是否总有 AB⊥CD?
D

A C

B

第 2 页 共 4页

22. (本小题满分 14 分) 已知圆 O:x 2 由圆 O 外一点 P ( a, b) 向圆 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1),

y
2

O 引切线 PQ,切点为 Q,

且满足 PQ ? PA . (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求半径取最小值时

A
0 2

x P

圆 P 的方程.

Q

第 3 页 共 4页

2013-2014 学年第一学期第二学段 高一数学模块检测 参考答案 一、CDDAA ABABB CB

二、13

10

14

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

15

2? 2

16

3 a 2

三、解答题

ABCD 中,ABCD 是正方形, 1 1 1 …4 分 ? MC ? AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 1 1 且 S ABCD ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm2). ……6 分 2 2
17.解

正四棱锥 V -

VM 是棱锥的高 ,

? Rt△VMC 中,
VM ? VC2 ? MC2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).
………8 分

V

?









V



ABCD









D A M B

C

1 1 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3). ………………12 分 3 3
18 解: (1) 点 O(0,0) ,点 C(1,3) ,

?

OC 所在直线的斜率为 kOC ?

3?0 ? 3. 1? 0

………………4 分

(2)在

OABC 中, AB // OC ,
CD⊥AB,? CD⊥OC.

?

CD 所在直线的斜率为 kCD ? ?

1 . 3

………………8 分

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1), 即x ? 3 y ?10 ? 0 .………………12 分
19 解 显然 x 另设

1 3

? 2 为所求切线之一;………………2 分

y ? 4 ? k ( x ? 2), kx ? y ? 4 ? 2k ? 0


4 ? 2k
2

3 ? 2, k ? ,3x ? 4 y ? 10 ? 0 4 k ?1

? x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 为所求。…………12 分

第 4 页 共 4页

20.(1)证明:因为 D,E 分别是 AB,PB 的中点, 所以 DE∥PA. 因为 PA ? 平面 PAC,且 DE ? 平面 PAC, 所以 DE∥平面 PAC.…………6 分 (2)因为 PC⊥平面 ABC,且 AB ? 平面 ABC, 所以 AB⊥PC.又因为 AB⊥BC,且 PC∩BC=C. 所以 AB⊥平面 PBC. 又因为 PB ? 平面 PBC, 所以 AB⊥PB.…………12 分 21.解: (Ⅰ)设 AB 的中点为 O,连接 OD,OC, 由于△ADB 是等边为 2 的三角形, OD

P

E C A D B
(第 20 题)

? AB 且 OD =

3 ,………………2 分

平面 ADB⊥平面 ABC,? OD ⊥平面 ABC…………………………4 分

三棱锥 D -

ABC 的体积 V ?

1 3 .…………6 分 S ABC ? OD ? 3 3
AB, OC ? AB ,……………8 分

(Ⅱ)当△ADB 以 AB 为轴转动过程中,总有 OD ? 即有

AB ? 面 DOC , DC ? DOC

? 总有 AB⊥CD……………………………10 分

当平面 ABD 与平面 ABC 重合时,由平面几何知;AB⊥CD……………………11 分 于是,当△ADB 转动过程中,总有 AB⊥CD。………………………………12 分 22. 解: (1)连 OP,
2 2 2

Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有
2

y

PQ ? OP ? OQ .
又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .
2 2

A
O
即: (a
2

2

? b ) ?1 ? (a ? 2) ? (b ?1)
2 2 2

2

x P

.

Q

化 简 得 实 数

a 、 b

间 满 足 的 等 量 关 系 为 :

2a ? b ? 3 ? 0 .

…………4 分

(2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

第 5 页 共 4页

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? 5 5
故当 a ?

.

2 2 6 时, PQ 5. …………8 分 ? 5. 即线段 PQ 长的最小值为 min 5 5 5

(3)设圆 P 的半径为 R , 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .



6 9 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? , 5 5
6 3 时, OP ? 5. …………12 分 min 5 5

故当 a ? 此时,

3 3 , Rmin ? 5 ?1 . 5 5 6 3 3 得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( 5 ? 1) 2 . 5 5 5 b ? ?2a ? 3 ?

…………14 分

第 6 页 共 4页



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