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2014年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试(数学文科答案))


2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 数学(文科)答案
一、选择题: A 卷答案:1-5 CBBAC 6-10 CCBDB 11-12AD

B 卷答案:1-5 DBBAD 6-10 DDBCB 11-12AC 二、填空题:

(0, ?
13.

1 ) 16

14.

0

15.14 ? 16. 4 6 三、解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案,学生除标准答案的其他解法,参照标准 酌情设定,且只给整数分)

ì ? a12 q = 2, ? í 2 5 ? a1 q = 32, {a } ? 17 解: (Ⅰ)设等比数列 n 的公比为 q ,由已知得 ? ……………2 分 ì a1 = 1 , ? ? í ? a > 0 q> 0 ? q = 2, 又∵ 1 , ,解得 ? ………………3 分


an = 2n- 1

;…………………5 分 得,

(Ⅱ)由

Sn = n2

S n- 1 = (n - 1)

2

, ,………………7 分 , ( n ? N )……………8 分,
*

∴当 n …2 时, 当 n = 1 时, ∴

bn = Sn - Sn- 1 = 2n - 1
符合上式,∴

b1 = 1

bn = 2n - 1

an ?bn

(2n - 1) 2n- 1 ,
5 ?22 3?2
2

Tn = 1 + 3?21 2Tn = 1?2

L + (2n - 1) 2n- 1 5 ?2
3



L + (2n - 3)?2n- 1

(2n - 1) 2n ,………………10 分
- (2n - 3)?2 n 3


两式相减得 ∴

- Tn = 1 + 2 (2 + 22 + L + 2n- 1 )- (2n - 1)?2 n
n

Tn = (2n - 3) 2 + 3

.……………………12 分

18.证明: (Ⅰ)由题意得: ∴

A1B ?

面 ABC ,

A1B ? AC

,

------2 分

AB ? A1B ? B 又 AB ? AC ,
∴ AC ? 面 ∵ AC ? 面

AB1B

, ∴平面

------3 分

1 ; 平面 (Ⅱ)在三棱锥 P ? ABC 中,因为 AB ? AC ,

A1 AC



A1 AC ?

AB B

------5 分

所以底面 ABC 是等腰直角三角形,

1 1 1 4 V ? S ? h ? ? AC ? AB ? h ? P ? ABC ? ABC h ? A1 B =2 , 所 以 3 3 2 3 . 又因为点 P 到底面的距离
------6 分

由(Ⅰ)可知 AC ? 面 因为点 P 在

AB1B



B1C1

的中点,

所以点 P 到平面 AA1 B1 B 距离 h2 等于点 C1 到平面 AA1 B1 B 的距离的一半,即

h2 ? 1 .------8 分

1 1 1 4 VP? AA1B1B ? S四边形 AA1B1B ? h2 ? AB ? A1 B ? h2 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 3 3 3 3, 所以三棱锥 P ? ABC 与四棱锥 P ? AA1 B1 A1 的体积之比为 1:1.
19. 解: (Ⅰ)东城区的平均分较高. (结论正确即给分)……………………5 分 (Ⅱ)从两个区域各选一个优秀厂家, 则所有的基本事件共 15 种,………………7 分 满足得分差距不超过 5 的事件(88,85) (88,85) (89,85) (89,94) (89,94) (93,94) (93,94) (94,,94) (94,,94)共 9 种.……………10 分 所以满足条件的概率为 20.解: (Ⅰ)依题意 e ?

------10 分 ------12 分 东 西

9

9 8

7 8 9

2 1

9 3 4 5

9 8 8 4 3

3 .………………12 分 5


4 4

c 3 ? a 2

过焦点F与长轴垂直的直线x=c与椭圆
2

x2 y2 ? ?1 a2 b2
M

y

P

2b =1,……………2 分 a x2 ? y2 ? 1 所以椭圆的方程 4 .………………4 分
联立解答弦长为 (Ⅱ)设P(1,t)

N A B

x

k PA ?

t ?0 t t 直线 l PA : y ? ( x ? 2) ? 1? 2 3 , 3 ,联立得:

t ? y ? ( x ? 2), ? ? 3 ? 2 ? x ? y 2 ? 1. ? ?4

即 4t ? 9 x ? 16t x ? 16t ? 36 ? 0 ,
2 2 2 2

?

?

16t 2 ? 36 18 ? 8t 2 ? 2 x ? , 可知 所以 xM ? 2 M 4t 2 ? 9 4t ? 9
? 18 ? 8t 2 x ? , ? ? M 4t 2 ? 9 则? ……………………6 分 ? y ? 12t . ? M 4t 2 ? 9 ?



? 8t 2 ? 2 x ? , ? ? N 4t 2 ? 1 同理得到 ? ? y ? 4t . ? N 4t 2 ? 1 ………………8 分 ?
由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴, 不妨设这个定点为Q 又

?m,0? ,………………10-分

4t 12t 2 9 4t 2 ? 1 , , k MQ ? 4t ? k NQ ? 2 2 8t ? 2 18 ? 8t ?m ?m 4t 2 ? 1 4t 2 ? 9 kMQ ? k NQ ? 8m ? 32 ? t 2 ? 6m ? 24 ? 0 m ? 4 .……………12 分 , , ' 21.解: (Ⅰ)若 a ? 0 , f ( x) ? x ln x ? x ? 1 , f ( x) ? ln x
x ? (0,1), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为减函数, x ? (1, ??), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为增函数.………………4 分
(Ⅱ) x ln x ? ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? 0, 在

?1, ?? ? 恒成立.

10 若 a ? 0 , f ( x) ? x ln x ? x ? 1 , f ' ( x) ? ln x ,
x ? (1, ??), f ' ( x) ? 0,? f ( x) 为增函数. ? f ( x) ? f (1) ? 0 , 即 f ( x) ? 0 不成立; ?a ? 0 不成立.……………………6 分 ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ln x ? ? 0, ?1, ?? ? 0 x 2 ? x ? 1, 在 恒成立, ( x ? 1)(ax ? a ? 1) h( x) ? ln x ? , x ? ?1, ?? ? x 不妨设 ,

? x ? 1? (ax ? a ? 1) ax 2 ? x ? a ? 1 ?? 2 x ? ?1, ?? ? x x2 , ………………8 分 1? a h' ( x) ? 0, x1 ? 1, x2 ? a , 1? a x2 ? ?1 a 若 a ? 0 ,则 ,
h ' ( x) ? ?

x ? 1 , h ( x) ? 0 , h( x) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 0 (不合题意) ; 1 0?a? 2, 若 1? a x ? (1, ) ' a , h ( x) ? 0 , h( x) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 0 (不合题意) ; 1 a? ' 2 , x ? (1, ??) , h ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, h( x) ? h(1) ? 0 (符合题意). 若
'

……………11 分 综上所述若 x ? 1 时, f ( x) ? 0 恒成立,则 ∵AE 是⊙O1 的切线,切点为 A, ∴∠FAC=∠ABC,.……………1 分 ∵∠FAC=∠DAE, ∴∠ABC=∠DAE,∵∠ABC 是⊙O2 内接四边形 ABED 的外角, ∴∠ABC=∠ADE,……………2 分 ∴∠DAE=∠ADE.………………3 分 ∴EA=ED,∵ EA ? EB ? EC ,
2

a?

1 2 .………………12 分

22.解:(Ⅰ)连接 AB,在 EA 的延长线上取点 F,如图①所示.

∴ ED

2

? EB ? EC .………………5 分

(Ⅱ)当点 D 与点 A 重合时,直线 CA 与⊙O2 只有一个公共点, 所以直线 CA 与⊙O2 相切.……………6 分 如图②所示,由弦切角定理知:

M P O1 A O2 E

?PAC ? ?ABC ?MAE ? ?ABE 又?PAC ? ?MAE 因?ABC ? ?ABE ? 1 ? 180 ? 2

C

B
图(2)

∴AC 与 AE 分别为⊙O1 和⊙O2 的直径.…………8 分 ∴由切割线定理知:EA2=BE· CE,而 CB=2,BE=6,CE=8 ∴EA =6×8=48,AE= 4 3 .故⊙O2 的直径为 4 3 .………………10 分 23.解: (Ⅰ)? ? ? cos? ,
2

? 2 ? ? cos ?

…………………2 分

x2 ? y2 ? x 1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ? 1 (Ⅱ)设 P( 2 cos? , 2 sin ? ), C 2 ( ,0) 2
2

.…………………4 分

1? ? PC2 ? ? 2 cos ? ? ? ? 2? ? ? 4 cos 2 ? ? 2 cos ? ? ? 2 cos 2 ? ? 2 cos ? ?
…………………6 分

2

?

2 sin ?

?

2

1 ? 2sin 2 ? 4 9 4

1 ? cos ? ? , , PC2 2
PQ min ?

min

?

7 ,…………………8 分 2

7 ?1 .……………………10 分 2

24.解:(Ⅰ)当 a=1 时,

f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 ? x

当x ? 2时 ,解得 x ? 3 ;
当 1 ? x ? 2 时,解得 x ? 1 ,?无解

当x ? 1时 ,解得 x ? 1;……………………………3 分
综上可得到解集 {x x (Ⅱ)依题意, 则

? 1或x ? 3}

.……………………5 分

对?x ? R, 都有f ( x) ? 3 ,
,……………8 分

f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a ? ?ax ? 2? ? ?ax ? a ? ? a ? 2 ? 3

a ? 2 ? 3或a ? 2 ? ?3 ? a ? 5或a ? ?1(舍)

?a ? 5 …………………10 分



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