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江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期阶段练习四数学试题



泰兴市第一高级中学 2015 年春学期阶段练习四

高 三 数 学
命题:吴光亮 审题:尹家新、印金凤 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 ........

(?R M) I N= 1. 已知集合 M ? x | x2 ? 2x ? 0 , N

? ? x | x ? 1? ,则
2.如果 a ? 1 ? bi 与 -b ? i 互为共轭复数( a, b ? R, i 为虚数单位) ,则 | a ? bi | = 3. 下图是某算法流程图,则程序运行后输出的结果是 4. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?)(? ? 0, 且 | ? |? .

?

?

. .

?
2

) 的部分图像如图所示, f (0) 的值为

.

s ? 0, n ? 1

第 3 题图

第 4 题图

5. 连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a,b,则函数 f ( x) ? ax2 ? bx 在 x ? 1 处取得最值的概 率是 .

6. 在 ?ABC 中 , “ 角 A, B, C 成 等 差 数 列 ” 是 “ sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B ” 成 立 的 __________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必 要”之一) 7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 9 , a4 ? a6 ? 2 . 当 Sn 取最大值时, n ? .

2 ? 2? 8. 已知 cos4 ? ? sin 4 ? ? ,? ? (0, ) ,则 cos(2? ? ) ? . 3 2 3 9. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 又是周期为 2 的周期函数, 当 x ?[0,1) 时, f ( x) ? 2x ? 1 ,
则 f (log 0.5 6) 的值为_____.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的 a 2 b2 一条渐近线分为弧长为 1 : 2 的两部分,则双曲线的离心率为 . 2 2 11. 已知圆 ( x ? 1) ? y ? 9 与直线 y ? tx ? 3 交于 A, B 两点,点 P (a, b) 在直线 y ? 2 x 上,且 PA ? PB ,则 a 的取值范围为 . BA BC 3 BD 12. 在四边形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? BC , ,则四边形 ABCD 的面积 ? ? BA BC BD
10. 已知双曲线 是 .

13.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a , b, c 成等比数列,则 14. 已知对于一切 x,y∈R,不等式 x ?
2

sin B 的取值范围是 sin A



81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0 恒成立,则实数 a 2 x x

的取值范围是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求 C ; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a ? b 的取值范围.

16. 在正四棱锥 S ? ABCD 中,底面边长为 a ,侧棱长为 2a , P 为侧棱 SD 上的一点.

SP 6a 3 时,求 的值; PD 18 (2)在(1)的条件下,若 E 是 SC 的中点,求证: BE // 平面APC
(1)当四面体 ACPS 的体积为

S P A B C D

17. 如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD ,其中 AB, CD, DA 都是线段, 曲线段 BC 是抛物线 的一部分,且点 B 是该抛物线的顶点, BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量, AB ? 2 米, AD ? 3 米, AB ? AD ,点 C 到 AD, AB 的距离 CH , CR 的长均为 1 米.现要用这块边 角料裁一个矩形 AEFG (其中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上,点 E 在线段 AD 上,点 G 在 线段 AB 上). 设 BG 的长为 x 米,矩形 AEFG 的面积为 S 平方米. D (1)将 S 表示为 x 的函数; (2)当 x 为多少米时, S 取得最大值,最大值是多少?

C F

H E

B

G

R

A

第 17 题

18.已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ,并且椭圆经过点 (1,1) ,过原点 O 的直 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点,椭圆上一点 M 满足 MA ? MB . (1)求椭圆 C 的方程; 1 1 2 (2)证明: 为定值; ? ? 2 2 OA OB OM 2 y (3)是否存在定圆,使得直线 l 绕原点 O 转动时, 若存在, 求出该定圆的方 AM 恒与该定圆相切, 程,若不存在,说明理由. B
O

x

A
第 18 题图

19. 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? ax ( a ? R ) . (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;
1 (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

(3)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, 0),B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 , 求证: f ?(
x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2

20. 设数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=

an a2 n+1+ a2 n+1

(n≥1,n∈N ),令 bn ?
*

an ?1 . 1 an ? an

(1) 求证:数列 {bn } 是常数列; (2) 求证:当 n≥2 时, 2 ? an 2 ? a2n?1 ? 3 ; (3) 求 a2 015 的整数部分.

班 级_________ 姓 名_________ 考试号_________

数学附加题(春第四次阶段练习)
?1 2? ?5 8 ? ??? ?. ?3 4? ?4 6?

1. 若二阶矩阵 M 满足: M ? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ;

(Ⅱ)若曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得到曲线 C ? ,求曲线
2 2

C ? 的方程.

2. 已知点 P(?1 ? 2 cos ? , 2 sin ? ) (其中 ? ? ?0, 2? ?) ,点 P 的轨迹记为曲线 C1 ,以坐标原点 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 Q 在曲线 C2 : ? ? (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? 时,求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标.
1 2 cos(? ?

?
4

上.
)

3. 如 图 , 在 斜 三 棱 柱 ??C ? ?1?1C1 中 , 侧 面 ?CC1?1 与 侧 面 C??1C1 都 是 菱 形 ,

? ? ? 求证: ??1 ? CC1 ; ? ?? ? 若 ??1 ? 6 ,求二面角 C ? ??1 ? ?1 的平面角
的余弦值.

??CC1 ? ?CC1?1 ? 60 , ?C ? 2 .

4.已知 an ? (1 ? 2)n (n ? N*) (1)若 an ? a ? b 2(a, b ? Z ) ,求证 a 是奇数; (2)在(1)的条件下,求证对于任意 n ? N * ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ?1 ? k .

座号

高三数学阶段练习四参考答案
1 15 ? 2 2 3 1 6. 充 分 不 必 要 7. 5 8. ? 9. ? 10. 6 3 12 2 5 ?1 5 ?1 , ) 14. a ? (??, 6] 11. ?? 1,0? ? (0,2) 12. 2 3 13. ( 2 2 15.解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) , …………………4 分 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). …………………6 分 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? ; …………………7 分 3 (2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a ? b ? (sin A ? sin B) ? sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? 3 cos ? , 3 3 3 ? ? 1 ?a?b? 3. …………………14 分 ? ? ? ? , ? cos ? ? 1 , 2 3 3 2 2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) , 法二: a ? b ? sin A ? sin B ? sin A ? sin( 3 2 2 6 2? ? ? 5? , 0? A? , ? A? ? 3 6 6 6 1 ? 3 ? ? sin( A ? ) ? 1,? ? a ? b ? 3 . …………………14 分 2 6 2 16.解: (1)设 PD ? x ,设 P 作 PH ? BD 于 H , 平面SBD ? 平面ABCD 且 BD 为交线, 则 PH ? 平面 ABCD ,又 SO ? 平面ABCD ? PH // SO , ………………2 分
1. ? 0,1? 2. 5 4. ? 3 5. 在 Rt ?SOB 中, SO ?

6 a ,…………………4 分 2 6 x? a PH PD PD ? SO 3 2 ? ? PH ? ? x, SO SD SD 2a 2 SB 2 ? BO 2 ?

1 1 6 3 6 3 ?VSPAC ? VS ? ACD ? VP ? ACD ? ? ( ? a ? a)( a? x) ? a , ………6 分 3 2 2 2 18 SP 2 2 ? ? 2 .…………………8 分 解得 x ? a? PD 1 3 (2)取 SP 中点 Q ,连结 QE, BQ , 则 EQ / / PC, EQ ? 平面PAC,PC ? 平面PAC,? EQ / / 平面PAC , 则 BQ / / PO, BQ ? 平面PAC,PO ? 平面PAC,? BQ / / 平面PAC , 而 EQ与BQ 为平面 BEQ 内的两条相交直线,?平面BEQ // 平面PAC , 而 BE ? 平面BEQ ,? BE // 平面APC .…………14 分
17.解: (1)以点 B 为坐标原点, BA 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系.

设曲线段 BC 所在抛物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 将点 C (1,1) 代入,得 2 p ? 1 , 即曲线段 BC 的方程为 y ?

D y

x (0 ? x ? 1) . …………2 分 又由点 C (1,1), D(2,3) 得线段 CD 的方程 为 y ? 2 x ? 1(1 ? x ? 2) . 而 GA ? 2 ? x , ? x (2 ? x), 0 ? x ? 1, ? 所以 S ? ? …………………6 分 ? ?(2 x ? 1)(2 ? x), 1 ? x ? 2.
(2)①当 0 ? x ? 1 时,因为 S ? 所以 S ? ? x
? 1 2

F

C

H E A

B

G R

x

x (2 ? x) ? 2 x ? x ,

1 2

3 2

3 1 2 ? 3x 2 ,由 S ? ? 0 ,得 x ? , ? x2 ? 3 2 2 x

当 x ? (0, ) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递增;

2 3

2 4 6 时, Smax ? ;……10 分 3 9 5 2 9 ②当 1 ? x ? 2 时,因为 S ? (2 x ? 1)(2 ? x) ? ?2( x ? ) ? , 4 8 5 9 所以当 x ? 时, S max ? ; …………………12 分 4 8
当 x ? ( ,1) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递减,所以当 x ?

2 3

综上,因为

5 9 9 4 6 ,所以当 x ? 米时, S max ? 平方米. ………………14 分 ? 4 8 8 9

? b2 2 , ? 1? 2 ? ? a 2 解得 a2 ? 3, b2 ? 3 , 18. (1)由题设: ? 2 ? 1 ? 1 ? 1, 2 2 ? b ? a
? 椭圆 C 的方程为

x2 2 y 2 ? ? 1; 3 3

………………4 分

(2)①直线 l 的斜率不存在或为 0 时,

1 1 2 2 2 2 4 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ;…5 分 2 2 2 OA OB OM a b 3 3 ②直线 l 的斜率存在且不为 0 时,设直线 l 的方程为 y ? kx(k ? 0) , 1 则 MA ? MB ,? 直线 OM 的方程为 y ? ? x , k ? y ? kx 3 由? 2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 3 ,? xA2 ? xB 2 ? ,…………8 分 2 1 ? 2k 2 ?x ? 2 y ? 3

3k 2 , k2 ? 2 1 1 1 2 ? 2 ? ? ? 2 2 OA OB O M (1 ? k 2 ) ?
同理? xM 2 ?

3 3 (1 ? k 2 ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2(1 ? 2k 2 ) 2( k 2 ? 2) ? ? 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) ? 2,

?

1

? (1 ?

2 1 3k 2 ) ? k2 k2 ? 2

?

1 1 2 ? ? ? 2 为定值; 2 2 OA OB OM 2

…………………11 分

(3)由(2)得: ①直线 l 的斜率不存在或为 0 时,
1 1 1 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 1 ;……12 分 2 2 OA OM a b 3 3

②直线 l 的斜率存在且不为 0 时, 1 1 1 1 1 ? 2k 2 k2 ? 2 ? ? ? ? ? ?1 1 3k 2 OA2 OM 2 (1 ? k 2 ) ? 3 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) (1 ? 2 ) ? 2 1 ? 2k 2 k k ?2
? 原点 O 到直线 AM 的距离 d ? ? 直线 AM 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切,

OA ? OM OA2 ? OM 2

?

1 1 1 ? OA2 OM 2

?1,

即存在定圆 x ? y ? 1,使得直线 l 绕原点 O 转动时, AM 恒与该定圆相切.……16 分 2 19.解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? 2 x , f ?( x) ? ? 2 x ? 2 ,切点坐标为 (11) ,, x ? 切线的斜率 k ? f (1) ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 .…………4 分
2 2

(2) g ( x) ? 2ln x ? x 2 ? m ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e g ( x ) g (1) ? m ? 1 . …………………6 分 故 在 x ? 1 处取得极大值 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e 2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e 2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e

所以,

g ? x?

在 ? , e ? 上的最小值是 e

? g ?1? ? m ? 1 ? 0 1 ? ?1 ? ,解得 1 ? m ? 2 ? 2 g ? x ? 在 ? , e ? 上有两个零点的条件是 ? ? 1 ? 1 e ?e ? ? g ? e ? ? m ? 2 ? e2 ? 0 ? ? ? 1? ? 所以实数 m 的取值范围是 ?1, 2 ? 2 ? . ……………10 分 e ? ? (3)因为 f ? x ? 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A ? x1 ,0? , B ? x2 ,0?
?2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 ? 所以方程 2ln x ? x ? ax ? 0 的两个根为 x1 , x2 ,则 ? ,两式相减得 2 ? ?2 ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0
2

?1 ?

? ?

g ? e?

………………8 分

a ? ? x1 ? x2 ? ?

下证

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? x2 ? x1 ? x x 4 ,即证明 ? ? 0 (*) ? ln 1 ? 0, t ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x2

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 2 ,又 f ? x ? ? 2 ln x ? x ? ax, f ? ? x ? ? ? 2 x ? a ,则 x x1 ? x2 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 4 ?x ?x ? f ?? 1 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ………………12 分

0 ? x1 ? x2 ,?0 ? t ? 1, 即证明 u ? t ? ?

2 ?1 ? t ? ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立…14 分 t ?1
2

?2 ? t ? 1? ? 2 ?1 ? t ? 1 1 ? t ? 1? 又 0 ? t ? 1 ,所以 u? t ? 0 4 因为 u? ? t ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 (t ? 1) t t (t ? 1) t (t ? 1)2 2 ? x2 ? x1 ? x 所以, u ? t ? 在 ? 0,1? 上是增函数,则 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,从而知 ? ln 1 ? 0 x1 ? x2 x2 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 ?x ?x ? 故 ? ? 0 ,即 f ? ? 1 2 ? ? 0 成立…………………16 分 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ?
an?a2 n+1+1? 20.解:(1) 易知,对一切 n≥1,an≠0,由 an+2= ,得 a2 n+1 依次利用上述关系式,可得 an+1 an-1 an a2 2 = = =…= = =1, 1 1 1 1 1 an+ an-1+ an-2+ a1+ 1+ an a1 1 an-1 an-2 ? an+1 ? ? ? 1 ?是常数列.………………4 分 从而数列? a+ ? ? n an? ? 1 (2) 由(1)得 an+1=an+ . an 1 又 a1=1,∴可知数列{an}递增,则对一切 n≥1,有 an≥1 成立,从而 0< 2≤1. an 1 2 1 当 n≥2 时,a2 ) =a2 n= (an ?1 ? n-1+ 2 +2, a n-1 a
n ?1

an+1 = . 1 an+1+ an+ an an+1 1

an+2

1 2 于是 a2 n-an-1= 2 +2, an-1 2 ∴2<a2 n-an-1≤3. ………………10 (3) 当 n≥2



1 1 1 2 2 2 时,a2 n=an-1+ 2 +2,∴an= 2 +…+ 2+a1+2(n-1). a1 an-1 an-1

2 a2 1=1,a2=4,则当 n≥3 时, 1 1 2 a2 n= 2 +…+ 2+a1+2(n-1) a1 an-1 1 1 = 2 +…+ 2+1+1+2(n-1) a2 an-1



1 1 1 1 +…+ 2+2n. a 2 2015 ? 2 ? ... 2 ? 2 ? 2015 ? 4030 ? 632 ,…… 12 分 a a2 - 2 n 1 a 2014 a2 1
2

1 ? 2(2015 ? 1) ? 1 a 2014 a12 1 1 1 1 1 ) >4 029+ 2+…+ =4 030+ ( ? ... ? 2 a1 4 6 2 ? 2014 a2014 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ) ? ? ... ? )+ ( =4 030+ ( ? ? .... ) + ( 2 2 3 2014 39 2 40 41 199 2 200 201 1 1 1 1 ?160 ? ?1815) <4 096=642. <4 030+ ( ? 38 ? 2 2 40 200 ∴63< a2015 <64,即 a2015 的整数部分为 63. ………………16 分
又 a20152 ?

? ... ?

高三数学阶段练习四(附加)参考答案
? ?2 1 ? 1 2 ?1 2? ?1 ? ?2 , ? A ? ? 3 1. 解 : ( 1 ) 设 A ? ? , 则 A? , 1? ? ? ? 3 4 3 4 ? ? ? ?2 2?
? ?2 1 ? ?5 8 ? ? ? ? ? 2 1? ………………5 分 ?M ? ? 3 1 ? ? ? ? 4 6 ? ? ? ? ?1 1? ?2 2?
(2)

? x ? ? x? ? ? x ? ? x? ? ? 1?1 ? ? x? ? M ? ? ? ? ? ? ? ? ? M ?1 ? ? ? ? ?? ? , ? y ? ? y?? ? y ? ? y ? ? ? ? 1 2 ? ? y ??
即?

? x ? x? ? y?, ? y ? ? x? ? 2 y?,
2 2

代入 x ? 2 xy ? 2 y ? 1可得

? x? ? y ? ?

2

? 2 ? x? ? y? ?? ? x? ? 2 y? ? ? 2 ? ? x? ? 2 y? ? ? 1 ,即 x?2 ? 4x?y? ? 5 y?2 ? 1 ,
2

故曲线 C ? 的方程为 x ? 4 xy ? 5 y ? 1.
2 2
2 2

………………10 分

2.解:(Ⅰ)曲线 C1 : ( x ? 1) ? y ? 2 ,极坐标方程为 ? 2 ? 1 ? 2? cos? , 曲线 C2 的直角坐标方程为 y ? x ? 1 ; ………………5 分
3? ) .………… 10 分 2

(Ⅱ) 曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的坐标为 (0, ?1) ,极坐标为 (1,

3.解: (Ⅰ)证明:连 AC1,CB1,则 △ACC1 和△B1CC1 皆为正三角形. 取 CC1 中点 O,连 OA,OB1,则 CC1⊥OA,CC1⊥OB1,则 CC1⊥平面 OAB1,则 CC1⊥AB1. …4 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,OA=OB1= 3,又 AB1= 6, 所以 OA⊥OB1.如图所示,分别以 OB1,OC1,OA 为正方向建立空间直角坐标系, 则 C(0,-1,0),B1( 3,0,0),A(0,0, 3), …5 分 设平面 CAB1 的法向量为 m=(x1,y1,z1), 因为=( 3,0,- 3),=(0,-1,- 3), ? ? 3×x1+0×y1- 3×z1=0, 所以? 取 m=(1,- 3,1). …7 分 ?0×x1-1×y1- 3×z1=0, ? 设平面 A1AB1 的法向量为 n=(x2,y2,z2), 因为=( 3,0,- 3),= (0,2,0), 所以取 ?

? ? 3 x2 ? 0 y2 ? 3 z2 ? 0 n=(1,0,1). 0 x ? 2 y ? 0 z ? 0 ? ? 2 2 2

…8 分

m·n 2 10 则 cos ?m,n?= = = ,因为二面角 C-AB1-A1 的平面角为钝角, 5 |m||n| 5× 2 10 所以二面角 C-AB1-A1 的余弦值为- . …10 分 5

0 1 2 3 n 4.解: (1)由二项式定理得 an ? Cn ? Cn 2 ? Cn ( 2)2 ? Cn ( 2)3 ? … +Cn ( 2)n , 0 2 4 2 4 所以 a ? Cn ? Cn ( 2)2 ? Cn ( 2)4 ? … ? 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? …,为奇数.……… 4 分

(2)由(1) ,设 an ? (1 ? 2)n ? a ? b 2(a, b ? Z )

(1 ? 2)n ? a ? b 2(a, b ? Z )
所以 a2 ? 2b2 ? (a ? b 2)(a ? b 2) ? (1 ? 2)n (1 ? 2)n ? (1 ? 2)n ? (?1)n . 当 n 为偶数时, a ? 2b ? 1 ,存在 k ? a ,
2 2 2

使得 an ? a ? b 2 ?

a 2 ? 2b 2 ? k ? k ? 1 ;………8 分 a 2 ? 2b 2 ? k ? 1 ? k ;

2 2 2 当 n 为奇数时, a ? 2b ? 1 ,存在 k ? 2b ,使得 an ? a ? b 2 ?

综上,对于任意 n ? N * ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ?1 ? k .………………10 分



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