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2014年12月考高一数学试题及答案



2014—2015 学年第一学期 12 月考

高一年级数学试卷
【参考公式】圆柱体的侧面积: S圆柱侧 ? 2?rl 体积: V圆柱 ? sh . 锥体的侧面积: S圆锥侧 ? ?rl ,体积: V 球的表面积: S
球 锥体

1 ? Sh . 3

? 4? R2 ,体积: V



4 ? ? R3 3

一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题意) 1.已知全集 U ? {1 , 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {1,3} , B ? {3, 4,5} ,则集合 Cu ( A ? B) ? A. {3} B. {4,5} C. {3, 4,5} D. {1, 2, 4, 5}

2.已知 a , b 是异面直线,直线 c //直线 a ,则 c 与 b A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

3. 若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形,俯视图是圆,则这个几何 体可能是 A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.球体

4.下列各式错误的是 A. 30.8 ? 30.7 C. log0.5 0.4 ? log0.5 0.6 B. 0.75?0.1 ? 0.750.1 D. log2 3 ? log3 2

5.已知正方形的直观图是有一条边长为 4 的平行四边形,则此正方形的面积是 B.64 C.16 或 64 1 ? lg?x ? 5? 的定义域是 6.函数 f ?x ? ? x?2 A. (?5, 2) C. ?? ?,2? ? ?2,??? B. ?? 5,??? D. ?? 5,2? ? ?2,???
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A.16

D.都不对

7. 如图,一个简单的几何体的三视图,其主视图与左视图是边长为 2 的正三角 形,俯视图为正方形,则其体积是

主视图

左视图

俯视图

A.

8 3

B.

4 2 3

C.

3 6

D.

4 3 3

? 1 ?log 2 x ? x ? 0 ? 8.已知函数 y ? ? x ,若 f ? a ? ? ,则实数 a 的值是 2 ? ?2 ? x ≤ 0 ?

A. ?1 或 2

B. ? 1 或 2

C. ?1

D. 2

9.已知 m , n 是两条不重合的直线, ?,?,? 是三个两两不重合的平面,给出 下列四个命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则 ? // ? ; ④若 m , n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则 ? // ? .其中真命题是 A.①和② B.①和③ C.①和④ D.③和④ 10 .定义在 ? ?1,1? 上的函数 f ? x ? 是奇函数,且在 ? ?1,1? 上是减函数,则满足

f (1 ? a) ? f 1 ? a 2 ? 0 的实数 a 的取值范围是
A. ? 0,1? B. ?0,1? C. ? ?2,1? D. ??2,1?

?

?

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11.过两点 M (?2, a), N (a,4) 的直线的斜率为 ?
1 ,则 a = 2



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1 1 3 ?2 0 2 (2 ) ? ( ? 9.6) ? (3 ) 3 ? (1.5) ?2 = 12.计算: 4 8



13.在 Rt ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所形 成的几何体的表面积为 . 14.已知定义在 R 上的奇函数 f ?x ? ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? x ?1 ,那么 x ? 0 时,

f ?x ? ?

.

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 15. (本题满分 12 分) 已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | 2 x ? 3 ? x?,集合 B ? ?x | log2 x ? 1? ; (1)求集合 A 、 B ; (2)求 A ? ?CU B ? .

16. (本题满分 12 分) 直线 l1 经过点 M (m,1), N (?1, m) ,直线 l 2 经过点 P(1,2),Q(?5,0) , 当直线 l1 与

l 2 :(1)平行;(2) 垂直时,分别求 m 的值.

17. (本题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? c ,且 f ?1? ? 0 , f ? 3? ? 0 . (1)求函数 f ? x ? 的解析式以及 f ? ?1? 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间,并求函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,3? 的值域.

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20.(本题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? EFG 中, AC =3,BC =4,AB =5 , BF ? 4 , 点D是AB的中点, (1) 求证: AE // 平面BFGC ; (2) 求证: AC ? BG ; (3)求三棱锥 C ? DBF 的体积.
C A D B E G F

19. (本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? log2 ?1 ? x ? ? log2 ?1 ? x ? . (1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由; (2)若 f ? x ? ? log2 h ? x ? ,判断函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上的单调性,并用定义加以证 明.

20.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面ABCD 是正方形,侧棱
PD ? 底面ABCD , PD=DC , E 是 PC 的中点.

P E C D A B

求证:(1) PA // 平面BDE ; (2) 平面BDE ? 平面PBC .

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2014—2015 学年第一学期 12 月考

高一年级数学试题答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) D C A B C D D B C A 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11.10; 12.
1 2

13. 36?

14. ? x 2 ? x ? 1

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 15. 解:由 2 x ? 3 ? x 得, x ? 3 ;所以 A= {x | x ? 3} ………………3 分 由 log2 x ? 1得, x ? 2 ;所以 B ? {x | x ? 2} ………………6 分 由(1)得 B ? {x | x ? 2} , Cu B ? {x | x ? 2} ………………9 分 所以 A ? ?CU B ? = {x | x ? 2} 16 . 解 : 经 过 M , N 的 直 线 的 斜 率 k MN ? ………………12 分
1? m , 经 过 P, Q 的 直 线 的 斜 率 m ?1

k PQ ?

1 ,………4 分 3
1? m 1 1 ? ,解得 m ? . m ?1 3 2

(1)由 l1 // l 2 得, 所以,当 m ?

………………7 分

1 时, l1 // l 2 ; 2

………………8 分

(2) 由 l1 ? l2 得,

1? m 1 ? ? ?1 ,解得 m ? ?2 .………………11 分 m ?1 3

所以,当 m ? ?2 时,直线 l1 ? l2 .………………12 分

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b?c ??1 ? 17.解: (1)由 f ?1? ? 0 , f ? 3? ? 0 得, 3b?c ??9 ,………………3 分
解得: b

? ?4,c ? 3 ………………4 分

所以 f ? x ? ? x2 ? 4x ? 3 ………………5 分
2 f ??1? ? ??1? ? 4 ? (?1) ? 3 ? 8 ………………6 分

(2) f ? x ? ? x2 ? 4x ? 3 = ?x ? 2? ? 1 ………………8 分
2

函数 f ? x ? 开口向上,对称轴为 x ? 2 ,最小值是-1………………9 分 所以函数 f ? x ? 的单调增区间为 ?2, ? ?? ,单调减区间为 ?-?, 2? ………11 分 因为函数 f ? x ? 最小值是-1, f ?? 1? ? 8 , f ? 3? ? 0 .………………13 分 所以函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,3? 的值域 ? ?1,8? ………………14 分 18.证明: (1)∵三棱柱 ABC ? EFG 是直三棱柱 ∴ AE // CG ……………… 2 分
AE ? 平面BFGC

G E

F

∵ CG ? 平面BFGC ∴ AE // 平面BFGC

…………… 5 分

C D …………………… 6分 A

B

(2)在直三棱柱 ABC ? EFG 中, AC ? CG
AC 2 ? BC 2 ? 9 ? 16 ? 25 ? AB 2

? AC ? BC. ……………… 7 分

又 GC ? BC ? C , GB ? 面GBC ,
(3) S ?CDB ?

? AC ? 面GBC. ………………………… 9 分

? AC ? BG.

……………………………… 10 分

1 3? 4 S?ABC ? ?3 …………………………………… 12 分 2 4 1 3? 4 ?VC ? DBF ? VF ?CDB ? S ?CDB ? FB ? ? 4. ………………… 14 分 3 3
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19.解:(1)依题意得:

?

1? x ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 . 1? x ? 0

所以 f ? x ? 的定义域为 {x | ?1 ? x ? 1} . ………………………… 3 分 任取 ? 1 ? x ? 1 ,都有

f ?? x? ? log2 ?1 ? x? ? log2 ?1 ? x? ? f ?x?
所以函数 f ? x ? 是偶函数;

……………………… 6 分 …………………………7 分

(2)因为 f ? x ? ? log2 ?1 ? x ? ? log2 ?1 ? x ? ? log2 1 ? x 2 , f ? x ? ? log2 h ? x ? , 所以 h?x ? ? ? x 2 ? 1 . 任取 x1 , x2 ? ? 0,1? ,且 x1 ? x 2 ,有 …………………… 8 分 ………………………… 9 分

?

?

2 2 2 2 h?x2 ?-h?x1 ? ? ? x2 ? 1 ? ? x1 ? 1 ? x1 ? x2 ? ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? …… 11 分

?

? ?

?

因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 所以 x1 ? x2 ? 0 x1 ? x2 ? 0 , 所以 h?x2 ?-h?x1 ? ? 0, 即 h?x2 ? ? h?x1 ? 所以 h ? x ? ? ? x2 ? 1在 ? 0,1? 上单调递减. ………………………… 13 分 ………………………… 14 分

20.证明: (1)连接 AC,设 AC 与 BD 交点为 O,连接 OE,………1 分 ∵ 底面ABCD 是正方形, ∴ AO ? CO ∵ PA ? 平面BDE , OE ? 平面BDE ………………3 分 ∴ OE 是△PCA 的中位线. ∴PA∥OE, ……………… P 4分 ∴ PA // 平面BDE .………………6 分 (2)∵ PD ? 底面 ABCD, CB ? 平面ABCD ∴PD⊥CB, ………………7 分 又∵BC⊥DC, DC∩PC=C ∴BC⊥平面 PDC, ………………9 分
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E C D B

o
A

∵ DE ? 平面PDC ∴BC⊥DE. ………………10 分 ∵在△PDC 中, PD=DC ,E 是 PC 的中点, ∴DE⊥PC, ………………11 分 ∵BC∩PC=C ∴DE⊥平面 PCB, ………………13 分 ∵DE ? 平面 DEB, ∴平面 BDE⊥平面 PBC. ………………14 分

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