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上海市十三校2016届高三(上)12月联考数学试卷(解析版)


2015-2016 学年上海市十三校高三(上)12 月联考数学试卷
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格 4 分. 1.已知集合 A={x|0<x<3},B={x|x2≥4},则 A∩B= .

2.函数 f(x)=sinxcosx 的最大值是



3.已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1+a9=18,a4=7,则 S10=



4.已知函数 f(x)=1+logax,(a>0,a≠1),若 y=f﹣1(x)过点(3,4),则 a=



5.已知函数 f(2x﹣1)的定义域是(﹣1,2],求函数 f(x)的定义域是



6.某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储费用为 2x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨.

7.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x),则

=



2 2 8. + =9 上的两点 P, Q 关于直线 x+my+4=0 对称, 已知圆 C: (x+1) (y﹣3) 那么 m=



9.设 F1、F2 是双曲线 x2﹣ 的周长 .

=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△ PF1F2

10.等比数列{an}前 n 项和为 Sn=a+( )n,n∈N*,则

(a1+a3+a5+…+a2n﹣1)=



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11.已知数列{an}满足 a1=a2=1,an+2= S2n= .

,则 a5+a6=

; 前 2n 项和

12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 π,且图象过点( 函数 g(x)=f(x)f(x﹣ )的单调递增区间 .

, ),

13.已知 f(x)= 的取值范围是 .

,不等式 f(x+a)>f(2a﹣x)在[a,a+1]上恒成立,则 a

14.对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常数),对 任给的正数 m,存在相应的 x0∈D,使得当 x∈D 且 x>x0 时,总有 ,则

称直线 l:y=kx+b 为曲线 y=f(x)和 y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为 D={x|x>1}的四组函 数如下: ①f(x)=x2,g(x)= ; ; ;

②f(x)10﹣x+2,g(x)= ③f(x)= ④f(x)= ,g(x)=

,g(x)=2(x﹣1﹣e﹣x) .

其中,曲线 y=f(x)和 y=g(x)存在“分渐近线”的是

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每小题 5 分. 15.已知 sin( A. B. )= ,那么 sin2x 的值为( C. D. )

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16.双曲线 x2﹣my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于( A. B. C.2 D.4



17.如果函数 y=f(x)图象上任意一点的坐标(x,y)都满足方程 lg(x+y)=lgx+lgy,那么正确的 选项是( )

A.y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,且 x+y≤4 B.y=f(x)是区间(1,+∞)上的增函数,且 x+y≥4 C.y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数,且 x+y≥4 D.y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数,且 x+y≤4

18.设等比数列{}的公比为 q,其前 n 项的积为 Tn,并且满足条件 a1>1,a99a100﹣1>0, .给出下列结论: ①0<q<1; ②a99?a101﹣1>0; ③T100 的值是 Tn 中最大的; ④使 Tn>1 成立的最大自然数 n 等于 198 其中正确的结论是( A.①③ B.①④ ) C.②③ D.②④

三、解答题(本大题共 5 分,满分 74 分) 19.已知命题 m 的范围. ,命题 q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m<0),且 p 是 q 的必要条件,求实数

20.已知△ ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC=7,AC=5,求△ ABC 的面积 S.



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21.(2013?北京)已知 A,B,C 是椭圆 W:

上的三个点,O 是坐标原点.

(Ⅰ)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

22.已知函数



(1)求函数 f(x)的定义域 D,并判断 f(x)的奇偶性; (2)如果当 x∈(t,a)时,f(x)的值域是(﹣∞,1),求 a 与 t 的值; (3)对任意的 x1,x2∈D,是否存在 x3∈D,使得 f(x1)+f(x2)=f(x3),若存在,求出 x3;若不 存在,请说明理由.

23.对于各项均为正数的无穷数列{an},记 bn=

(n∈N*),给出下列定义:

①若存在实数 M,使 an≤M 成立,则称数列{an}为“有上界数列”; ②若数列{an}为有上界数列,且存在 n0(n0∈N*),使 a 列”; ③若 bn+1﹣bn<0,则称数列{an}为“比减小数列”. (Ⅰ)根据上述定义,判断数列{ }是何种数列? (Ⅱ)若数列{an}中,a1= ,an+1= ,求证:数列{an}既是有上界数列又是比减小数列; =M 成立,则称数列{an}为“有最大值数

(Ⅲ)若数列{an}是单调递增数列,且是有上界数列,但不是有最大值数列,求证:?n∈N*,bn+1﹣ bn≤0.

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2015-2016 学年上海市十三校高三(上)12 月联考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格 4 分. 1.已知集合 A={x|0<x<3},B={x|x2≥4},则 A∩B= {x|2≤x<3} . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;不等式的解法及应用. 【分析】根据题意,B 为一元二次不等式的解集,解不等式可得集合 B;又由交集的性质,计算可 得答案. 【解答】解:由已知得:B={x|x≤﹣2 或 x≥2}, ∵A={ x|0<x<3}, ∴A∩B={x|0<x<3}∩{ x|x≤﹣2 或 x≥2}={x|2≤x<3}为所求. 故答案为:{x|2≤x<3}. 【点评】本题考查交集的运算,解题的关键在于认清集合的意义,正确求解不等式.

2.函数 f(x)=sinxcosx 的最大值是



【考点】二倍角的正弦;复合三角函数的单调性. 【专题】计算题. 【分析】利用二倍角的正弦函数公式将函数解析式变形,根据正弦函数的值域,即可得到函数 f(x) 的最大值. 【解答】解:f(x)=sinxcosx= sin2x, ∵﹣1≤sin2x≤1, ∴﹣ ≤ sin2x≤ , 则 f(x)的最大值为 . 故答案为: 【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握公式是解本 题的关键.
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3.已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1+a9=18,a4=7,则 S10= 100 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】方程思想;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,∵a1+a9=18,a4=7, ∴ ,解得 d=2,a1=1. =100.

则 S10=10+ 故答案为:100.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.

4.已知函数 f(x)=1+logax,(a>0,a≠1),若 y=f﹣1(x)过点(3,4),则 a= 2 . 【考点】反函数. 【专题】方程思想;转化思想;试验法;函数的性质及应用. 【分析】利用互为反函数的性质即可得出. 【解答】解:∵y=f﹣1(x)过点(3,4), ∴原函数 f(x)经过点(4,3), ∴3=1+loga4, 解得 a=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查了互为反函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

5.已知函数 f(2x﹣1)的定义域是(﹣1,2],求函数 f(x)的定义域是 (﹣3,3] . 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】由复合函数的定义域的求法知﹣3<2x﹣1≤3,从而解得. 【解答】解:∵函数 f(2x﹣1)的定义域是(﹣1,2],
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∴﹣1<x≤2, ∴﹣3<2x﹣1≤3, ∴函数 f(x)的定义域是(﹣3,3]; 故答案为:(﹣3,3]. 【点评】本题考查了复合函数的定义域的求法,属于中档题.

6.某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储费用为 2x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 30 吨. 【考点】根据实际问题选择函数类型. 【专题】应用题. 【分析】因每次购买的次数相同,所以货物总吨数除以每次购买的数量应为整数,用购买次数乘以 每次的运费加上总存储费用即为一年的总运费与总存储费用之和,然后利用基本不等式求最小值. 【解答】解:设公司一年的总运费与总存储费用之和为 y 万元. 买货物 600 吨,每次都购买 x 吨,则需要购买的次数为 因为每次的运费为 3 万元,则总运费为 3× 所以 y= 则 当且仅当 (0<x≤600). . ,即 x=30 时取得最小值. 万元. 次,

所以,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 30 吨. 故答案为 30. 【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型,考查了利用基本不等式求最值,解答此题注意两 点:一是实际问题要有实际意义,二是利用基本不等式求最值的条件,即“一正、二定、三相等”.是 中档题.

7.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x),则 【考点】函数的周期性;函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】计算题.

=



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【分析】由题意得

=f(﹣ )=﹣f( ),代入已知条件进行运算.

【解答】解:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x), ∴ =f(﹣ )=﹣f( )=﹣2× (1﹣ )=﹣ ,

故答案为:﹣ . 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值.

8.已知圆 C:(x+1)2+(y﹣3)2=9 上的两点 P,Q 关于直线 x+my+4=0 对称,那么 m= ﹣1 . 【考点】圆的标准方程. 【专题】直线与圆. 【分析】由题意可得,圆心(﹣1,3)在直线 x+my+4=0 上,把圆心坐标代入直线方程即可求得 m 的值. 【解答】解:由题意可得,圆心(﹣1,3)在直线 x+my+4=0 上, ∴﹣1+3m+4=0,解得 m=﹣1, 故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,属于基础题.

9.设 F1、F2 是双曲线 x2﹣ 的周长 24 . 【考点】双曲线的简单性质.

=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△ PF1F2

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10,再由 3|PF1|=4|PF2|,运用双曲线的定义,求出|PF1|=8, |PF2|=6,由此能求出△ PF1F2 的周长. 【解答】解:双曲线 x2﹣ =1 的 a=1,c= =5,

两个焦点 F1(﹣5,0),F2(5,0), 即|F1F2|=10, 由 3|PF1|=4|PF2|,设|PF2|=x,则|PF1|= x,
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由双曲线的定义知, ∴|PF1|=8,|PF2|=6, |F1F2|=10,

x﹣x=2,解得 x=6.

则△ PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+6+10=24. 故答案为:24. 【点评】本题考查双曲线的定义和性质的应用,考查三角形周长的计算,属于基础题.

10.等比数列{an}前 n 项和为 Sn=a+( )n,n∈N*,则 【考点】等比数列的前 n 项和.

(a1+a3+a5+…+a2n﹣1)= ﹣



【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 先求出数列的前 3 项, 由等比数列的性质求出首项和公比, 由此能求出
﹣1

(a1+a3+a5+…+a2n

).

【解答】解:∵等比数列{an}前 n 项和为 Sn=a+( )n,n∈N*, ∴a1=S1=a+ , a2=S2﹣S1=[a+( )2]﹣(a+ )=﹣ , a3=S3﹣S2=[a+( )3]﹣[a+( )2]=﹣ ,

∴(﹣ )2=(a+ )(﹣

),解得 a=﹣1,

,q=

= ,



=(﹣2)





(a1+a3+a5+…+a2n﹣1)=



)=

=﹣ .

故答案为:﹣ . 【点评】本题考查数列的前 2n 项中奇数项和的极限的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等 比数列的性质的合理运用.

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11.已知数列{an}满足 a1=a2=1,an+2=

,则 a5+a6= 7 ; 前 2n 项和 S2n=

. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【专题】点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】由数列递推式得到数列{an}的所有偶数项构成以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,数列 {an}的所有奇数项构成以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列,然后分别利用等差数列和等比数列的 通项公式求得 a5+a6,用等差数列和等比数列前 n 项和公式求得前 2n 项和 S2n. 【解答】解:由 an+2= ,

可得,数列{an}的所有偶数项构成以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 数列{an}的所有奇数项构成以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列, ∴a5=a1+2d=1+2×1=3, , ∴a5+a6=7; 前 2n 项和 S2n=S 奇+S 偶= = .

故答案为:7;



【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了等差数列和等比 数列的前 n 项和,是中档题.

12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 π,且图象过点( 函数 g(x)=f(x)f(x﹣ )的单调递增区间 [ ﹣ , + ],k∈Z .

, ),

【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得 ω 的值可得函数的解析式,再利用二倍角公式、诱导公 式化简,利用正弦函数的单调性求得函数的增区间.
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【解答】解:函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 再根据图象过点 ( =cos2x. 函数 g(x)=f(x)f(x﹣ 令 2kπ﹣ ≤4x≤2kπ+ ﹣ , )=cos2xcos2(x﹣ ﹣ ≤ x≤ + )=sin2xcos2x= sin4x. , 故函数的增区间为[ ﹣ , ), 可得 sin(2? +φ)= ,∴2? +φ= ,∴φ=

=π,∴ω=2. =sin(2x+ ,f(x) )

, 求得 +



+

k∈Z. ],

故答案为:[

],k∈Z.

【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性,二倍角公式、诱导公式的应用,属于基础题.

13.已知 f(x)= 的取值范围是 (﹣∞,﹣2) .

,不等式 f(x+a)>f(2a﹣x)在[a,a+1]上恒成立,则 a

【考点】函数恒成立问题;分段函数的应用. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出分段函数的图象,由图象得到函数 f(x)的单调性,然后把不等式 f(x+a)>f(2a ﹣x)在[a,a+1]上恒成立转化为不等式 a>2(a+1)求解. 【解答】解:作出分段函数 f(x)= 的图象如图,

要使不等式 f(x+a)>f(2a﹣x)在[a,a+1]上恒成立, 则 x+a<2a﹣x 在 x∈[a,a+1]上恒成立, 即 a>2x 在 x∈[a,a+1]上恒成立, ∴a>2(a+1),解得:a<﹣2.
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故答案为:(﹣∞,﹣2). 【点评】本题考查了恒成立问题,考查了分段函数的应用,解答此题的关键是把恒成立问题转化为 含 a 的不等式,是中档题.

14.对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常数),对 任给的正数 m,存在相应的 x0∈D,使得当 x∈D 且 x>x0 时,总有 ,则

称直线 l:y=kx+b 为曲线 y=f(x)和 y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为 D={x|x>1}的四组函 数如下: ①f(x)=x2,g(x)= ; ; ;

②f(x)10﹣x+2,g(x)= ③f(x)= ④f(x)= ,g(x)=

,g(x)=2(x﹣1﹣e﹣x)

其中,曲线 y=f(x)和 y=g(x)存在“分渐近线”的是 ②④ . 【考点】函数的值域. 【专题】新定义;函数的性质及应用. 【分析】题目给出了具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常数),对任给的正数 m,存在相应的 x0∈D,使得当 x∈D 且 x>x0 时,总有 ,则称直线 l:y=kx+b 为曲线 y=f(x)和 y=g(x)的“分渐近线”.当给 定的正数 m 无限小的时候,函数 f(x)的图象在函数 h(x)=kx+b 的图象的上方且无限靠近直线, 函数 g(x)的图象在函数 h(x)=kx+b 的图象的下方且无限靠近直线,说明 f(x)和 g(x)存在 分渐近线的充要条件是 x→∞时,f(x)﹣g(x)→0.对于第一组函数,通过构造辅助函数 F(x) =f(x)﹣g(x)= ,对该函数求导后说明函数 F(x)在(1,+∞)上是增函数,不满足 x→∞

时,f(x)﹣g(x)→0;对于第二组函数,直接作差后可看出满足 x→∞时,f(x)﹣g(x)→0; 对于第三组函数,作差后得到差式为 >1 时,为 ,结合函数 y=x 和 y=lnx 图象的上升的快慢,说明当 x

为负值且逐渐减小;第四组函数作差后,可直接看出满足 x→∞时,f(x)﹣g(x)

→0.由以上分析可以得到正确答案.
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【解答】解:f(x)和 g(x)存在分渐近线的充要条件是 x→∞时,f(x)﹣g(x)→0. 对于①f(x)=x2,g(x)= 由于 ①不存在; 对于②f(x)=10﹣x+2,g(x)= f(x)﹣g(x)= = , ,当 x>1 时,令 F(x)=f(x)﹣g(x)= ,所以 h(x)为增函数,不符合 x→∞时,f(x)﹣g(x)→0,所以

因为当 x>1 且 x→∞时,f(x)﹣g(x)→0,所以存在分渐近线; 对于③f(x)= f(x)﹣g(x)= 当 x>1 且 x→∞时, 与 ,g(x)= , = 均单调递减,但 的递减速度比 快,

所以当 x→∞时 f(x)﹣g(x)会越来越小,不会趋近于 0, 所以不存在分渐近线; 对于④f(x)= f(x)﹣g(x)= ,g(x)=2(x﹣1﹣e﹣x),当 x→∞时,

=

=

→ 0,

因此存在分渐近线. 故存在分渐近线的是②④. 故答案为②④. 【点评】本题从大学数列极限定义的角度出发,仿造构造了分渐近线函数,目的是考查学生分析问 题、解决问题的能力,考生需要抓住本质:存在分渐近线的充要条件是 x→∞时,f(x)﹣g(x)→0 进行作答,是一道好题,思维灵活,要透过现象看本质.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每小题 5 分. 15.已知 sin( )= ,那么 sin2x 的值为( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用诱导公式把要求的式子化为 cos(2x﹣ 【解答】解:∵已知 sin( = , ),再利用二倍角公式求得它的值. )=1﹣2 =1﹣2×

)= ,∴sin2x=cos(2x﹣

故选 B. 【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用,属于中档题.

16.双曲线 x2﹣my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于( A. B. C.2 D.4



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线的标准方程即可得出 a 与 b 的关系,即可得到 m 的值. 【解答】解:双曲线 x2﹣my2=1 化为 ,∴a2=1, ,

∵实轴长是虚轴长的 2 倍,∴2a=2×2b,化为 a2=4b2, 故选 D.

,解得 m=4.

【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键.

17.如果函数 y=f(x)图象上任意一点的坐标(x,y)都满足方程 lg(x+y)=lgx+lgy,那么正确的 选项是( )

A.y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,且 x+y≤4 B.y=f(x)是区间(1,+∞)上的增函数,且 x+y≥4 C.y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数,且 x+y≥4 D.y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数,且 x+y≤4 【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用.
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【分析】由给出的方程得到函数 y=f(x)图象上任意一点的横纵坐标 x,y 的关系式,利用基本不等 式求出 x+y 的范围,利用函数单调性的定义证明函数在(1,+∞)上的增减性,二者结合可得正确 答案.

【解答】解:由 lg(x+y)=lgx+lgy,得



由 x+y=xy 得: 解得:x+y≥4. 再由 x+y=xy 得: 设 x1>x2>1, 则 因为 x1>x2>1, 所以 x2﹣x10,x2﹣1>0. 则 (x≠1).



=



,即 f(x1)<f(x2).

所以 y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数, 综上,y=f(x)是区间(1,+∞)上的减函数,且 x+y≥4. 故选 C. 【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明,考查了利用基本不等式求最值,训练了利用单调性 定义证明函数单调性的方法,是基础题.

18.设等比数列{}的公比为 q,其前 n 项的积为 Tn,并且满足条件 a1>1,a99a100﹣1>0, .给出下列结论: ①0<q<1; ②a99?a101﹣1>0; ③T100 的值是 Tn 中最大的; ④使 Tn>1 成立的最大自然数 n 等于 198
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其中正确的结论是( A.①③ B.①④

) C.②③ D.②④

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确.利用等比数列的性质及不等式 的性质判断出②正确. 利用等比数列的性质判断出③错误.利用等比数列的性质判断出④正确,从而得出结论. 【解答】解:①∵a99a100﹣1>0,∴a12?q197>1,∴(a1?q98)2>1. ∵a1>1,∴q>0. 又∵ ,∴a99>1,且 a100<1.∴0<q<1,即①正确;

②∵

,∴0<a99?a101 <1,即 a99?a101﹣1<0,故②错误;

③由于 T100=T99?a100,而 0<a100<1,故有 T100<T99,故③错误;

④中 T198=a1?a2…a198=(a1?a198)(a2?a197)…(a99?a100)=(a99?a100)×99>1,

T199=a1?a2…a199=(a1?a199)(a2?a198)…(a99?a101)?a100<1,故④正确. ∴正确的为①④, 故答案为 B. 【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质:若 m+n=p+q 则有 am?an=ap?aq.其中根据已知条件 得到 aa99>1,a100<1,是解答本题的关键,属于基础题.

三、解答题(本大题共 5 分,满分 74 分) 19.已知命题 m 的范围. 【考点】其他不等式的解法;必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法. 【专题】计算题;转化思想.
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,命题 q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m<0),且 p 是 q 的必要条件,求实数

【分析】解分式不等式求出命题 p,二次不等式求出 q,利用 p 是 q 的必要条件得到不等式组,求出 m 的范围即可. 【解答】解:由命题 <10. 命题 q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m<0),解得 1+m≤x≤1﹣m; 因为 p 是 q 的必要条件,即任意 x∈q?x∈p 成立, ,所以,不等式化为 ,解得 p:﹣2≤x

所以

,解得﹣3≤m<0;

实数 m 的范围是:﹣3≤m<0. 【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件,解题时要认真审题,仔细解答,注意不等式组 的合理运用.

20.已知△ ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC=7,AC=5,求△ ABC 的面积 S. 【考点】余弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 【专题】解三角形. 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得 (Ⅱ)在△ ABC 中,利用余弦定理求得 AB 的值,再由 果. 【解答】解:(Ⅰ)∵ ∵sinA≠0,∴ ∵0°<A<180°,∴A=60°.… (Ⅱ)在△ ABC 中,∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°,BC=7,AC=5, ∴49=AB2+25﹣5AB, ∴AB2﹣5AB﹣24=0,解得 AB=8 或 AB=﹣3(舍),…. ,∴ ,…. .∴



,可得 A=60°. ,运算求得结

,….

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.…

【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用,属于中档题.

21.(2013?北京)已知 A,B,C 是椭圆 W:

上的三个点,O 是坐标原点.

(Ⅰ)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(I)根据 B 的坐标为(2,0)且 AC 是 OB 的垂直平分线,结合椭圆方程算出 A、C 两点 的坐标,从而得到线段 AC 的长等于 时菱形 OABC 的面积; (II)若四边形 OABC 为菱形,根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解,算出 A、C 的横坐标满足 =r2 .再结合 OB 的长为 2 并利用菱形的面积公式,即可算出此

﹣1,从而得到 A、C 的横坐标相等或互为相反数.再分两种情况加以讨论,即可得到当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能为菱形. 【解答】解:(I)∵四边形 OABC 为菱形,B 是椭圆的右顶点(2,0) ∴直线 AC 是 BO 的垂直平分线,可得 AC 方程为 x=1 设 A(1,t),得 ∴A 的坐标为(1, 因此,|AC|= ,解之得 t= (舍负) ) ;

),同理可得 C 的坐标为(1,﹣

,可得菱形 OABC 的面积为 S= |AC|?|B0|=

(II)∵四边形 OABC 为菱形,∴|OA|=|OC|, 设|OA|=|OC|=r(r>1),得 A、C 两点是圆 x2+y2=r2 与椭圆 的公共点,解之得 =r2﹣1

设 A、C 两点横坐标分别为 x1、x2,可得 A、C 两点的横坐标满足 x1=x2= ? ? ? ,或 x1= ? 且 x2=﹣ ? ,

①当 x1=x2= ②若 x1=

时,可得若四边形 OABC 为菱形,则 B 点必定是右顶点(2,0); 且 x2=﹣ ? ,则 x1+x2=0,
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可得 AC 的中点必定是原点 O,因此 A、O、C 共线,可得不存在满足条件的菱形 OABC 综上所述,可得当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能为菱形.

【点评】本题给出椭圆方程,探讨了以坐标原点 O 为一个顶点,其它三个顶点在椭圆上的菱形问题, 着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.

22.已知函数



(1)求函数 f(x)的定义域 D,并判断 f(x)的奇偶性; (2)如果当 x∈(t,a)时,f(x)的值域是(﹣∞,1),求 a 与 t 的值; (3)对任意的 x1,x2∈D,是否存在 x3∈D,使得 f(x1)+f(x2)=f(x3),若存在,求出 x3;若不 存在,请说明理由. 【考点】函数的定义域及其求法;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)直接由真数大于 0,解分式不等式可得函数的定义域,利用定义判断函数的奇偶性; (2)给出的函数是对数型的复合函数,经分析可知内层分式函数为减函数,外层对数函数也为减函 数,要保证 当 x∈(t,a)时,f(x)的值域是(﹣∞,1),首先应有(t,a)?(﹣1,1),且当 x∈(t,a) 时, ∈(a,+∞),结合内层函数图象及单调性可得 t=﹣1,且 ,从而求出 a 和 t 的值;

(3)假设存在 x3∈D,使得 f(x1)+f(x2)=f(x3),代入对数式后把 x3 用 x1,x2 表示,只要能够 证明 x3 在定义域内即可,证明可用作差法或分析法. 【解答】解:(1)要使原函数有意义,则 所以,函数 f(x)的定义域 D=(﹣1,1) f(x)是定义域内的奇函数.
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,解得﹣1<x<1,

证明:对任意 x∈D,有

所以函数 f(x)是奇函数. 另证:对任意 x∈D, 所以函数 f(x)是奇函数. (2)由 知,函数 在(﹣1,1)上单调递减,

因为 0<a<1,所以 f(x)在(﹣1,1)上是增函数 又因为 x∈(t,a)时,f(x)的值域是(﹣∞,1),所以(t,a)?(﹣1,1) 且 故 由 所以 在(t,a)的值域是(a,+∞), 且 t=﹣1(结合 g(x)图象易得 t=﹣1) 得:a2+a=1﹣a,解得 ,t=﹣1 或 a= (舍去).

(3)假设存在 x3∈(﹣1,1)使得 f(x1)+f(x2)=f(x3) 即





解得



下面证明 证明:法一、 由



. ∵x1,x2∈(﹣1,1),∴ ,
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,即

,∴



所以存在 法二、 要证明 ,即证

,使得 f(x1)+f(x2)=f(x3).

,也即

. ∵x1,x2∈(﹣1,1),∴ ∴ ,∴ ,



所以存在

,使得 f(x1)+f(x2)=f(x3).

【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,考查了复合函数的单调性,考查了复合函数的值域, 体现了数学转化思想方法,训练了存在性问题的证明方法,该题综合考查了函数的有关性质,属有 一定难度的题目.

23.对于各项均为正数的无穷数列{an},记 bn=

(n∈N*),给出下列定义:

①若存在实数 M,使 an≤M 成立,则称数列{an}为“有上界数列”; ②若数列{an}为有上界数列,且存在 n0(n0∈N*),使 a 列”; ③若 bn+1﹣bn<0,则称数列{an}为“比减小数列”. (Ⅰ)根据上述定义,判断数列{ }是何种数列? (Ⅱ)若数列{an}中,a1= ,an+1= ,求证:数列{an}既是有上界数列又是比减小数列; =M 成立,则称数列{an}为“有最大值数

(Ⅲ)若数列{an}是单调递增数列,且是有上界数列,但不是有最大值数列,求证:?n∈N*,bn+1﹣ bn≤0. 【考点】数列与函数的综合;数列递推式.
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【专题】等差数列与等比数列.

【分析】(Ⅰ)由



=

,得 bn+1﹣bn>0,an=

,由此得到数列{ }既是有上

界数列,又是有最大值数列. (Ⅱ)先用数学归纳法证明 ,再证明 an+1>an. =﹣(an﹣2)

(an+1).然后证明

,由此得到数列{an}既是比减少数列又是有上界数列.

(Ⅲ)假设对于?n∈N*,bn+1>bn,由此推导出无穷数列{an}不是有上界数列,与已知矛盾,假设不 成立,从而得到对于数列{an},?n∈N*,bn+1﹣bn≤0.

【解答】解:(Ⅰ)由题意知



=



bn+1﹣bn= an=

=

>0,

,且存在 n=1,a1=1,

所以数列{ }既是有上界数列,又是有最大值数列.… (Ⅱ)数列{an}中,a1= 下面用数学归纳法证明 ① ,命题; , , , 所以,当 n=k+1 时,命题成立,即 下面证明 an+1>an. =﹣(an﹣2)(an+1). 因为 ,所以 ,即 an+1>an.
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,an+1=

, ,

②假设 n=k 时命题成立,即 当 n=k+1 时,

. =







两式相除得:

=

,an+1>an,

所以



,(

)2﹣

=(



>0,

即(

)2>



下面证明



即需证明(2+an+1)an<(2+an)an+1,即需证明 2an<2an+1, 而 2an<2an+1 已证明成立, 所以 = ,

即 bn+1<bn,bn+1﹣bn<0, 所以,数列{an}既是比减少数列又是有上界数列.… (Ⅲ)用反证法,假设对于?n∈N*,bn+1>bn, 即 ,

因为无穷数列{an}各项为正且单调递增,所以 t>1. >tn﹣1,

所以

.当

时,

an>M,所以无穷数列{an}不是有上界数列,与已知矛盾,假设不成立, 因此,对于数列{an},?n∈N*,bn+1﹣bn≤0.… 【点评】 本题考查数列{ }是何种数列的判断, 考查数列{an}既是有上界数列又是比减小数列的证明, 考查?n∈N*,bn+1﹣bn≤0 的证明,解题时要注意数学归纳法和反证法的合理运用.

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