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确定一次函数解析式常见题型



确定一次函数解析式常见题型
众所周知,一次函数 y ? kx ? b (k≠0)的图象是一条直线,其中 k 决定直线的上升或 下降(k 称为斜率)——当 k>0 时,直线经过一、三象限,图象自左向右逐渐上升;当 k <0 时,直线经过二、四象限,图象自左向右逐渐下降.而 b 决定直线与 y 轴交点的位置(b 称为截距)——当 b>0 时,直线交于 y 轴的正半轴;当 b=0 时,直线经过原点;当 b<0 时, 直线交于 y 轴的负半轴. 熟练掌握以上性质对于下列各类一次函数解析式的求解有着十 分重要的指导意义—— (一)过坐标系中两已知点 例 1.已知一次函数的图像经过点 A(-1,1)和 B(1,-5) ,求此一次函数解析式. 解:设所求函数关系式为 y ? kx ? b ,将 A、B 两点坐标代入关系式得

??k ? b ? 1 ?k ? ?3 ,解之得 ? ,所以所求函数关系式为 y ? ?3x ? 2 . ? ?b ? ?2 ?k ? b ? ?5 评析:本例采用了待定系数法.对于一次函数 y ? kx ? b (k≠0) ,只要找到两个条件,
列出关于 k、b 的方程组,即能将函数关系式确定下来.此法对于正比例函数及反比例函数 (以后将要学习)问题仍然适用,但不同的是正比例函数 y ? kx (k≠0)及反比例函数 (y?

k (k≠0) )只需一个条件即可确定其函数关系式. x

(二)与已知一次函数对称 例 2.已知某一次函数的图像与直线 y ? 2 x ? 4 关于 x 轴对称,求此一次函数解析式. 解:由于两一次函数图像关于 x 轴对称,则直线 y ? 2 x ? 4 上的点 A(x,y)关于 x 轴的 对称点 A′(x,-y)必在所求函数的图像上,即两函数自变量取值相同时,函数值恰好互为 相反数,故所求函数解析式为 ? y ? 2 x ? 4 ,整理得 y ? ?2 x ? 4 . 评析:由一次函数图像的特征可知,若两函数 y1 ? k1 x ? b1 及 y2 ? k2 x ? b2 的图像关于 x 轴对称,则必有 y1 ? ? y2 ,仿照此法,也可以求两函数的图像关于 y 轴对称时的解析式. (三)由已知函数平移所得 例 3.将直线 y ? 3x ? 2 向上平移 5 个单位,求所得图像的解析式. 解:设所求函数关系式为 y ? kx ? b ,因为平移后两函数图像互相平行,故有 k=3,而 b=-2+5=3,故所求函数解析式为 y ? 3x ? 3 . 评析:一般地,对于一次函数 y ? kx ? b (k≠0) ,若将其向上平移 k 个单位,则所得 函数解析式为 y ? kx ? b ? k ; 若将其向下平移 k 个单位, 则所得函数解析式为 y ? kx ? b ? k (特别,当 k=b 时平移后的函数图象将通过原点而转变成正比例函数) . (四)过一点且与直线平行 例 4.已知直线 y ? kx ? b 与直线 y ? ?2 x 平行,且过点 A(-2,6) ,试求此一次函数 解析式. 解:由例 3 可知,所求函数解析式可设为 y ? ?2 x ? b .将 A(-2,6)代入解析式得

6 ? ?2 ? (?2) ? b ,解之得 b ? 2 ,故所求函数解析式为 y ? ?2 x ? 2 . 评析:对于直线 y1 ? k1 x ? b1 和 y2 ? k2 x ? b2 ,若它们互相平行,则必有 k1=k2.
(五)过一点且与 y 轴相交 例 5.已知一次函数的图像与 y 轴相交于点(0,-2) ,且经过点(2,2) ,试求此一次函 数的关系式. 解:由题意知,该一次函数在 y 轴上的截距为 b=-2,故可设所求一次函数关系式为 y ? kx ? 2 ,将点(2,2)代入此式得 2 ? 2k ? 2 ,解之得 k=2,故所求函数解析式为

y ? 2x ? 2 .
评析:一般地,若一次函数 y ? kx ? b 与 y 轴交于点(0,m) m 为常数)则所求函数关 ( 系式即可设为 y ? kx ? m ,这样只需代入一个点的坐标就能快速将所求函数关系式确定下

来.



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