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广东省汕头市潮南区2015届高三5月高考模拟数学(文)试题 Word版含答案



2014-201 学年度高三潮南区模拟考试 数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷为第 1 页至第 2 页,第 Ⅱ卷为第 3 页至第 4 页 .满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷

(选择题,共 50 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的学

校、班级、姓名、座号、序号写在答题纸上 2.考生必须在答题纸的指定位置作答,不能答在试题卷上. 3.考试结束后,只交答题纸。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求) 1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N =( A.[1,2) B.[1,2] C.( 2,3] D.[2,3] ) C.第三象限 D.第四象限 ) )

2. 在复平面内,复数 A.第一象限 3. 设 a ? log 1
3

1 ? 2i 对应的点位于( 1? i
B.第二象限

1 2 4 , b ? log 1 , c ? log3 , 则a, b, c 的大小关系是( 2 3 3 3

A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. b ? c ? a

? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0, 4. 已知函数 f ( x) ? ? 则 f ( f (5)) = ?3 ? x, x ? 0,
A.0
2 2
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) D.1 )

B.—2
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C.—1
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5. 圆 x ? y ? 1 上的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最小值是( A 6 B 4 C 5 D 1
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6. 在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 =( A.12 B.14 C.16 D.18

)

主视图

侧视图

7. 一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则此几何体的表面积是 A. 4 ? 4 3 B.12 C. 4 3 D.8
俯视图

8.若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值, 则 ab 的最大值等 于( A.3 ) B.6 C.9 D.2

?0 ≤ x ≤ 2 ? 9. 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ≤ 2 给定.若 M ( x, y ) ? ?x ≤ 2 y
为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为( A.3 10. 已 知 B.4 C. 3 2 R D. 4 2 上 奇 函 数 与 偶 函 数 , 若 ( D.2 ) )

f( x 与 )

g( 分 x) 别 是 定 义 在

f ( x) ? g ( x) ? log2 ( x2 ? x ? 2), 则 f (1) 等于
A.—

1 2

B.

1 2

C.1

第Ⅱ卷

(填空解答题,共 100 分)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14、15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分。)
2 11.过抛物线 y ? x 上的点 M ( , ) 的切线的倾斜角等于__________.

1 1 2 4

12. 若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

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13.某企业三月中旬生产,A.B.C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果;企业统计 员制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量(件) A B 1300 130 C

由于不小心,表格中 A.C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的样 本容量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C D 的产品数量是 件。 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 点 ?1,0 ? 到 直线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 2 的距离为 . A F O E C B P

15. (几何证明选讲选做题)如图所示, AB 与 CD 是

O 的直径, AB ? CD , P 是 AB 延长线上一点,连 PC 交 O 于 点 E , 连 DE 交 AB 于 点 F , 若 AB ? 2 BP ? 4 ,则 PF ? .

三、 解答题: (本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明 、 证明过程和演算步骤. ) 16.(12 分)已知:函数 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)若函数 f ( x ) 的图象过点 (? , ) ,

6 5

?
4

?? ?

3? ? .求 f ( ? ? ) 的值. 4 4

]

17.(12 分)某县为增强市民的环境保护意识,面向 全县征召义务宣传志愿者. 现从符合条件的志愿者 中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ? 20,25? , 第 2 组 ? 25,30? , 第 3 组 ?30,35? , 第 4 组 ?35,40? , 第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率. (2)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传 活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (3)在(2)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

18. (14 分) 正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD ,AE ? 平面 CDE , 且 AE ? 3 , AB ? 6 . (1)求证: AB ? 平面 ADE ; (2) 求凸多面体 ABCDE 的体积.

19.(14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a, b ? R) 的图象经过坐标原点,且 f / (1) ? 1, 数列 {an } 的前 n 项和 S n ? f (n)(n ? R * ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 a n ? log 3 n ? log 3 bn 求数列 {bn } 的前 n 项和.

20.(14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2 ? a) x 2 ? (1 ? a) x(a ? 0). 3 2

(I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)若 f ( x ) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。

21.(14 分)已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,动点 P 与 A、B 两点连线的斜率分别为 k PA 和 k PB , 且满足 k PA ·k PB =t (t≠0 且 t≠-1). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)当 t<0 时,曲线 C 的两焦点为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 Q 使得∠F1QF2=120O, 求 t 的取值范围.

2014-201 学年度高三潮南区模拟考试 数学(文科)试题答案
一、选择题: ABBCB DBCBB 二、填空题
11 题:

?
4

(或 45 0) ;12 题: 6 ;

13 题:800;14 题:

2 ;15 题:3 2

三、解答题
16、解: (1) f ( x) ? 2(sin x ? cos x) ? 2(sin x ?

? 2 2 ? cos x ? ) ? 2sin( x ? ) --- 3 分 4 2 2

∴函数的最小正周期为 2? ,值域为 { y | ?2 ? y ? 2} 。--------------------------------------5 分 (2)解:依题意得: 2sin(? ? ∵

?

?
4

?? ?

3? . 4

∴0 ?? ?

?

6 ? 3 ) ? , sin(? ? ) ? , ---------------------------6 分 4 5 4 5 ?

?

4

2

,

∴ cos(? ?

?

? 3 4 ) = 1 ? sin 2 (? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? -----------------------------------------8 分 4 4 5 5
? ?

f ( ? ? ) = 2sin[(? ? ) ? ] 4 4 4
∵ sin[(? ?

?

?

? ? ? ? ? 2 3 4 7 2 ) ? ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin = ( ? )? 4 4 4 4 4 4 2 5 5 10
7 2 ------------------------------------------------------------------------------12 分 5

∴ f(

?
4

??) =

17. 解:(Ⅰ) 由题设可知,第 3 组的频率为 0.06×5=0.3, 第 4 组的频率为 0.04×5=0.2, 第 5 组的频率为 0. 02×5=0.1. ????2 分 (Ⅱ) 第 3 组的人数为 0.3× 100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志

愿者,每组抽取的人数分别为:第 3 组:

30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ????6 分 (Ⅲ)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B 1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1.则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1 ),共有 9 种,

9 3 = . ????12 分 15 5 18. (1)证明:∵ AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE , ∴ AE ? CD . 在正方形 ABCD 中, CD ? AD , ∵ AD AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE .
所以第 4 组至少有一名志愿者被 抽中的概率为 ∵ AB

CD ,

∴ AB ? 平面 ADE . (2)解法 1:在 Rt △ ADE 中, AE ? 3 , AD ? 6 , ∴ DE ?

AD2 ? AE 2 ? 3 3 .

B A F

过点 E 作 EF ? AD 于点 F , ∵ AB ? 平面 ADE , EF ? 平面 ADE , ∴ EF ? AB . ∵ AD AB ? A , ∴ EF ? 平面 ABCD . ∵ AD ? EF ? AE ? DE , ∴ EF ?

C D

E

AE ? DE 3 ? 3 3 3 3 . ? ? AD 6 2

又正方形 ABCD 的面积 S ABCD ? 36 , ∴ VABCDE ? VE ? ABCD ?

1 S ABCD ? EF 3

1 3 3 ? ? 36 ? ? 18 3 . 3 2
故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3 . 解法 2:在 Rt △ ADE 中, AE ? 3 , AD ? 6 , ∴ DE ?

B A

AD2 ? AE 2 ? 3 3 .

C D

E

连接 BD ,则凸多面体 ABCDE 分割为三棱锥 B ? CDE 和三棱锥 B ? ADE .

由(1)知, CD ? DE . ∴ S ?CDE ? 又 AB ∴ AB

1 1 ? CD ? DE ? ? 6 ? 3 3 ? 9 3 . 2 2

CD , AB ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,
平面 CDE .

∴点 B 到平面 CDE 的距离为 AE 的长度.

1 1 S ?CDE ? AE ? ? 9 3 ? 3 ? 9 3 . 3 3 ∵ AB ? 平面 ADE ,
∴ VB ?CDE ? ∴ VB ? ADE ?

1 1 9 3 S?ADE ? AB ? ? ?6 ? 9 3 . 3 3 2

∴ VABCDE ? VB?CDE ? VB? ADE ? 9 3 ? 9 3 ? 18 3 . 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3 . 19. 解:(1)∵函数 f(x)=x -ax+b(a,b∈R)的图象经过坐标原点, ∴f(0)=b=0,∴f(x)=x -ax, 由 f′(x)=2x-a,得 f′(1)=2-a=1,∴a=1, ∴f(x)=x -x,∴Sn=n -n, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =n -n-[(n-1) -(n-1)]=2n-2,
2 2 2 2 2 2

a1=S1=0,∴an=2n-2(n∈N*).
(2)由 an+log3n=log3bn 得:bn=n·3 设{bn}的前 n 项和为 Tn, ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn =3 +2·3 +3·3 +?+n·3
2 4 6 0 2 4 2n-2 2n-2

(n∈N ),

*


2n

① ②
6 2n-2

∴9Tn=3 +2·3 +3·3 +?+n·3 , 由②-①得:8Tn=n·3 -(1+3 +3 +3 +?+3 3 -1 2n =n·3 - , 8 ∴Tn=
2n 2n 2 4

)

n·32n 32n-1
8 - 64



n-
64

2n

+1 .

2 20.解: (I) f ?( x) ? x ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? ( x ? 1)( x ? 1 ? a).

当a ? 0时 , f? ( x ) ? (x? 2 1 )?恒成立 0

,

当且仅当 x ? ?1 时取“=”号, f ( x)在( ??, ??) 单调递增。

当a ? 0时 由 , f? ( x ) ? 得 0 , 1x ? ? 1 , ? a? 且1, 2x 1 x ?2 x
当 x 变化时, f ?( x) 、 f ( x ) 的变化如下表:

,

x
f ?( x)
f ( x)

(??, ?1)
+

—1 0 极大值

(?1, a ? 1)


a ?1
0 极小值

(a ? 1, ??)
+

f ( x) 在? ( ? ,? 单调递增 1) 在 , ?( a 1? , 单调递减 1) 在(a ? 1 ,? ?单调递增 ) . 分 6

,

(II)当 a ? 0时, f ( x)在[0,1]上单调递增, f ( x) ? f (0) ? 1 恒成立。

当a ? 0时, 由(I)可知 若0 ? a ? 1 时则 , f (x在 ) [0 上单调递增 , 1] ,

若 a ? 1, 则f ( x)在[0, a ? 1] 上单调递减,

f ( x)在[0,1] 上不单增
综上,a 的取值范围是[0,1]。 21. (1) 设点 P 坐标为(x,y),依题意得

y y x2 y2 ? =t ? y2=t(x2 -4) ? + =1 x?2 x?2 4 ? 4t

轨迹 C 的方程为

x2 y2 + =1(x≠ ? 2). 4 ? 4t

(2) 当-1<t<0 时,曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆, 设 PF1 =r1, PF2 = r2, 则 r1+ r2=2a=4. 在△F1PF2 中, F1 F2 =2c=4 1 ? t , ∵∠F1PF2=120O,由余弦定理, 得 4c2=r 1 +r 2 -2r1r2 cos1200 = r 1 +r 2 + r1r2 = (r1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-(
2 2 2 2

r1 ? r2 2 2 1 ) =3a , ∴16(1+t)≥12, ∴t≥- . 4 2

所以当-

1 ≤t<0 时,曲线上存在点 Q 使∠F1QF2=120O 4

当 t<-1 时,曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆, 设 PF1 =r1, PF2 = r2,则 r1+r2=2a=-4 t, 在△F1PF2 中, F1 F2 =2c=4 ? 1 ? t . ∵∠F1PF2=120O,由余弦定理,得
2 2 2 2 2 0 4c2=r 1 +r 2 2 -2r1r2 cos120 = r 1 +r 2 + r1r2= (r1+r2) -r1r2≥(r1+r2) -(

r1 ? r2 2 2 ) =3a , 2

∴16(-1-t)≥-12t ? t≤-4. 所以当 t≤-4 时,曲线上存在点 Q 使∠F1QF2=120O 综上知当 t<0 时,曲线上存在点 Q 使∠AQB=120O 的 t 的取值范围是 ?? ?,?4? ? ??

? 1 ? ,0 ? . ? 4 ?



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