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福州高级中学2014级数学培优资料 第7讲 高一第一学期期末复习题——必修21



高一第一学期期末复习题——必修 2
一、选择题
1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 【分析】 正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为 D. : 2.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可

得这个几何体的 体积是( )

4000 3 cm 3 3 C. 2000cm
A.

8000 3 cm 3 3 D. 4000cm 1 8000 【答案】 B :【分析】 如图, ? ? 20 ? 20 ? 20 ? : V . 3 3
B.
P

20

20 正视图

20 侧视图

D

C

10 10

A

B

3.已知三棱锥 S ? ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的 球面上,球心 O 在 AB 上, SO ? 底面 ABC , AC ? 则球的体积与三棱锥体积之比是( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π
?

20 俯视图

S

2r ,

【答案】 D : 【分析】 如图,? AB ? 2r , ?ACB ? 90 , BC ? :

2r ,
A

O

1 1 1 1 ?V三棱锥 ? ? SO ? S?ABC ? ? r ? ? 2r ? 2r ? r 3 , 3 3 2 3 C 4 3 4 3 1 3 V球 ? ? r ,?V球 : V三棱锥 ? ? r : r ? 4? . 3 3 3 4.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,
且底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、

B

三棱锥、三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h ? (



A. 3 :1:1 B. 3 : 2 : 2 C. 3 : 2 : 2 D. 3 : 2 : 3 【答案】 B【分析】 : :如图,设正三棱锥 P ? ABE 的各棱长为 a , P 则四棱锥 P ? ABCD 的各棱长也为 a , 于是 h1 ?

a2 ? (

2 2 2 a) ? a, 2 2
2

C h1 D

h(h ) 3 2 6 a ? )2 ? a ? h, 2 3 2 E ? h1 : h2 : h ? 3 : 2 : 2. 5.若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题

h2 ? a 2 ? (

B A

中 为

真命题的是(



【解析】逐一判除,易得答案(D). 6.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ) A. 9π B. 10π C. 11π D. 12π 解析:本小题主要考查三视图与几何体的表面积. 从三视图可以看出该几何体是由一个球和 一个圆柱组合而成的,其表面及为

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? . 选 D. 7.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标
准方程是(
2


2

7? ? A. ( x ? 3) ? ? y ? ? ? 1 3? ?
C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

3? ? 2 D. ? x ? ? ? ( y ? 1) ? 1 2? ?

2

解析:本小题主要考查圆与直线相切问题.

| 4a ? 3 | 1 ? 1,? a ? 2(舍 ? ). 选 B. 5 2 2 2 8. 已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 . 设该圆过点 (3, 的最长弦和最短弦分别为 AC 5) 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为( ) A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6 D. 40 6 2 2 解:化成标准方程 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25 ,过点 (3,5) 的最长弦为 AC ? 10,
设圆心为 (a,1), 由已知得 d ?

最短弦为 BD ? 2 5 ? 1 ? 4 6,
2 2

S?

1 A C? B D 2 0 6 . ? 2

9.点 P(x,y)在直线 4x + 3y = 0 上,且满足-14≤x-y≤7,则点 P 到坐标原点距离的 取值范围是( ) A. [0,5] B. [0,10] C. [5,10] D. [5,15] 【试题解析】 :根据题意可知点P在线段 4 x ? 3 y ? 0 ? ?6 ? x ? 3? 上,有线段过原点,故 点P到原点最短距离为零,最远距离为点 P ? ?6,8 ? 到原点距离且距离为10,故选B; 10.已知平面α ⊥平面β ,α ∩β = l,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β 【标准答案】 :D【试题解析】 :容易判断A、B、C三个答案都是正确的,对于D,虽然 AC ? l ,但AC不一定在平面 ? 内,故它可以与平面 ? 相交、平行,故不一定垂直; 11.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱 的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条 棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 解:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图 设长方体的高宽高分别为 m, n, k ,由题意得

k n m

m2 ? n 2 ? k 2 ? 7 , m2 ? k 2 ? 6 ? n ? 1 1 ? k ? a , 1 ? m ? b ,所以 (a ? 1) ? (b ? 1) ? 6
2 2

2

2

? a 2 ? b2 ? 8 ,∴(a ? b)2 ? a 2 ? 2ab ? b2 ? 8 ? 2ab ? 8 ? a 2 ? b2 ? 16 ? a ? b ? 4 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号.
12.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A、B、C 分 别是 ?GHI 三边的中点)得到的几何体如图 2,则 该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A.

二、填空题 2 2 1. 与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ? 12 x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准
方程是 .

【分析】 曲线化为 ( x ? 6) ? ( y ? 6) ? 18 , : 其圆心到直
2 2

线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

6?6?2 2
2

? 5 2. 所求 的

最小圆的圆心在直线 y ? x 上,其到直线的距离为 2 , 圆心坐标为 (2, 2). 标准方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 . 2.在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点坐标分别 为 A(0, a), B(b,0), C (c,0) , P(, )p 在线段 OA 上 点 0 (异 于端点) ,设 a, b, c, p 均为非零实数,直线 BP, CP 分别
2

交 AC , AB 于点 E,F,一同学已正确算出 OE 的方程:? 求 OF 的方程: .

?1 1? ?1 1? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,请你 ?b c? ? p a?

1 1 1 1 ? )y ? 0. c b p a x y x y 事 实 上 , 由 截 距 式 可 得 直 线 AB : ? ? 1 , 直 线 CD : ? ? 1 , 两 式 相 减 得 c p a b 1 1 1 1 ( ? ) x ? ( ? ) y ? 0 ,显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此 c b p a 1 1 1 1 方程,故为所求的直线 OF 的方程.答案 ( ? ) x ? ( ? ) y ? 0 . c b p a
【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想 ( ? ) x ? ( 3.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 _________

4 1 ? 【试题解析】∵正六边形周长为3,得边长为 ,故其主对角线 2 3 2 4 为1,从而球的直径 2 R ? 3 ? 12 ? 2 ∴ R ? 1 ∴球的体积 V ? ? 3
【标准答案】 V ? :

? ?

4.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上,且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8
2



解:令球的半径为 R ,六棱柱的底面边长为 a ,高为 h ,显然有 a ? ( ) ? R ,且
2

h 2

1 ? ? 3 2 9 4 4 a ?h ? ?V ? 6 ? ?a ? 2 ? R ? 1 ? V ? ? R3 ? ? ? 4 8?? 3 3 ?6 a ? 3 ?h ? 3 ? ?
5.经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是
2 2



【解析】易知点 C 为 (?1,0) ,而直线与 x ? y ? 0 垂直,我们设待求的直线的方程为

y ? x ? b ,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b ? 1,故待求的直线的方程为

x ? y ?1 ? 0 . 三、解答题
1. 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知

D1 A1 B1

C1

DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ⊥ DC,AB ∥ DC .
(1)求证: D1C ⊥ AC1 ; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置, 使 D1 E ∥ 平面 A1 BD ,并说明理由. (1)证明:在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 又 AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC ⊥ DD1 ? D , 连结 C1 D , D A B

D1 A1 B1

C1
C

? DC ? DD1 ,?四边形 DCC1 D1 是正方形.? DC1 ⊥ D1C .

? AD ⊥平面 DCC1 D1 , D1C ? 平面 DCC1 D1 , ? AD ⊥ D1C . ? AD,DC1 ? 平面 ADC1 ,且 AD ⊥ DC ? D ,? D1C ⊥ 平面 ADC1 , 又 AC1 ? 平面 ADC1 ,? D1C ⊥ AC1 . D (2)连结 AD1 ,连结 AE ,设 AD1 ? A1D ? M , A B BD ? AE ? N ,连结 MN , D1 ?平面 AD1 E ? 平面 A1BD ? MN , 要使 D1 E ∥ 平面 A1 BD ,须使 MN ∥ D1 E , A1 B1 又 M 是 AD1 的中点.? N 是 AE 的中点. 又易知 △ABN ≌△EDN ,? AB ? DE . 即 E 是 DC 的中点. M 综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1 E ∥ 平面 A1 BD .

C

C1

,, 2.如图, A B C,D 为空间四点.在 △ABC 中,
AB ? 2,AC ? BC ? 2 .等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动. (Ⅰ)当平面 ADB ? 平面 ABC 时,求 CD ; (Ⅱ)当 △ADB 转动时,是否总有 AB ? CD ?
证明你的结论. 解: (Ⅰ)取 AB 的中点 E ,连结 DE,CE , 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE ? AB . 当平面 ADB ? 平面 ABC 时, 因为平面 ADB ? 平面 ABC ? AB , 所以 DE ? 平面 ABC ,可知 DE ? CE A

D

E

C

D

B

A B

D

C

, 由 已 知 可 得 DE ? 3 EC ? 1 , 在 Rt△D E C , 中
CD ? DE 2 ? EC 2 ? 2 . (Ⅱ)当 △ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB ? CD .

E

A
C

B

证明: (ⅰ)当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC= BC,AD ? BD , 所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB ? CD . (ⅱ) D 不在平面 ABC 内时, (Ⅰ) A ? E . 当 由 知 B D 又因 AC ? BC , 所以 AB ? CE . 又 DE,CE 为 相 交 直 线 , 所 以 AB ? 平 面 CDE , 由 CD ? 平 面 C DE , 得 .综上所述,总有 AB ? CD . AB ? CD 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0, 2)
2 2

且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A B .求 k 的取值范围 , 解: 圆的方程可写成 ( x ? 6) ? y ? 4 ,所以圆心为 Q(6, ,过 P(0, 0) 2)
2 2

且斜率为 k 的直线方程为 y ? kx ? 2 .代入圆方程得 x ? (kx ? 2) ? 12 x ? 32 ? 0 ,
2 2

整理得 (1 ? k ) x ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 .直线与圆交于两个不同的点 A B 等价于 ,
2 2

? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 , 3 ? 3 ? 解得 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? ,? . 0 4 ? 4 ? 4.如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值. 证明: (Ⅰ)由题设 AB= AC= SB= SC ? SA ,连结 OA , △ABC 为等腰直角三角形, 2 SA ,且 AO ? BC , 所以 OA ? OB ? OC ? 2 又 △SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC , 2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 且 SO ? 2 B 所以 △SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O .所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM,OM , 由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC ,得 OM ? SC,AM ? SC . ∴?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. , 由 AO ? BC,AO ? SO SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC .
所以 AO ? OM ,又 AM ?

S

O

C

B
S

A

M
C

O

A

AO 2 6 3 ? ? SA ,故 sin ?AMO ? . AM 3 2 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 . 3

5.已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该儿何体的体积V;

(2)求该几何体的侧面积S 【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. (1) V ? 64 (2) S ? 40 ? 24 2

6.在平面直角坐标系xOy巾,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆C与直线 y ? x 相切 于坐标原点0.求圆C的方程. 【解析】(1)设圆的方程为 ( x ? s) ? ( y ? t ) ? 8
2

| s ?t | ? 2 2 , s ? 0, t ? 0 2 2 解得 s ? ?2, t ? 2 ,故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 7.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是 等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2 DC ? 4 5 . P (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. M (Ⅰ)证明:在 △ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , D C 2 2 2 所以 AD ? BD ? AB .故 AD ? BD . A 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , B BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD ,故平面 MBD ? 平面 PAD . P (Ⅱ)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O , 由于平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD . M 因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高, D C 3 O ?4 ? 2 3 . 又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ? A B 2 在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2DC , 4?8 8 5 ? 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 , 5 4 5
依题意 s 2 ? t 2 ? 8 , 此即为梯形 ABCD 的高,所以四边形 ABCD 的面积为 S ? 故 VP ? ABCD ?

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3 8.如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD为菱形, PA ? 平面 P ? ABCD, ?ABC ? 60 , E,F 分别是 BC,PC 的中点. (Ⅰ)证明: AE ? PD ; F (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 A 6 B ,求二面角 E ? AF ? C 的余弦值. E C 2 ? 解: (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,可得 △ABC 为正三角形.

D

因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC .又 BC ∥ AD ,因此 AE ? AD . 因为 PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AE . 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 且 PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD .又 PD ? 平面 PAD ,所以 AE ? PD . (Ⅱ)解:设 AB ? 2 , H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH . 由(Ⅰ)知 AE ? 平面 PAD ,则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. P 在 Rt△EAH 中, AE ? 3 ,所以当 AH 最短时, ?EHA 最大, 即当 AH ? PD 时, ?EHA 最大.

H

F AE 3 6 S ? ? 此时 tan ?EHA ? , AH AH 2 A ? 因此 AH ? 2 .又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 45 ,所以 PA ? 2 . B O C 解法一:因为 PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , E 所以平面 PAC ? 平面 ABCD .过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES ,则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角, 3 3 sin ? 在 Rt△AOE 中, EO ? AE ? 30 ? , AO ? AE ? 30 ? , cos ? 2 2 3 2 sin ? 又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中, SO ? AO? 45 ? , 4 3 9 30 2 2 ? ? 又 SE ? EO ? SO ? , 4 8 4 3 2 15 SO 15 在 Rt△ESO 中, cos ?ESO ? ,即所求二面角的余弦值为 . ? 4 ? 5 SE 5 30 4 9.在四面体 ABCD 中,CB=CD, AD ? BD ,且 E,F 分别是 AB,BD 的中点, 求证(I)直线 EF ?面ACD ; (II) 面EFC ? 面BCD . B 证明: (I)E,F 分别为 AB,BD 的中点 ? EF ? AD

D

? ? ? AD ? 面ACD ? ? EF ? 面ACD . EF ? 面ACD ? ? EF ? AD

F

D

E

EF ? AD ? ? ? ? EF ? BD ? AD ? BD ? ? ? CD ? CB ? ? ? CF ? BD ? ? BD ? 面EFC (II) ? F 为BD的中点? ? ? EF ? CF ? F ? ? ?

C

A

又 BD ? 面BCD ,所以 面EFC ? 面BCD 10.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x ?2 x ? b( x ? R) 的图象与坐标轴有三 个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (1) 求实数 b 的取值范围; (2) 求圆 C 的方程; (3) 问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.
2

(1) ?

? ??0 ? b ? 1且b ? 0 ? f (0) ? 0
2 2 2

(2)设所求圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 令 x ? Dx ? F ? 0 ? D ? 2, F ? b y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0 ? D ? 2, F ? b
2

又 x ? 0 时 y ? b ,从而 E ? ?b ?1 . 所以圆的方程为 x ? y ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
2 2

(3) x ? y ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 整理为 x ? y ? 2 x ? y ? b(1 ? y ) ? 0 ,过曲线
2 2 2 2

C ? : x 2 ? y 2 ? 2 x ? y ? 0 与 l :1 ? y ? 0 的交点,即过定点 (0,1) 与 (?2,1) .
11.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图 和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该 多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连 结 BC ' ,证明: BC ' ∥面 EFG.
D' G F B'
4 2

C'
2

6

2

E D A B C
4

正视图

侧视图

【试题解析】(1)如图

(2)所求多面体的体积

1 ?1 284 ? V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? cm3 ? 3 ?2 3 ? ' ' ' ' (3)证明:如图,在长方体 ABCD ? A B C D 中,连接 AD ' ,则 AD ' ∥ BC ' 因为E,G分别为 AA' , A' D' 中点,所
' EG 以 AD ∥ EG , 从而 EG ∥ BC , B ? 平面F 又 C
'
'

, 所

以 BC ∥平面EFG 12.已知 m∈R,直线 l: mx ? (m ? 1) y ? 4m 和圆 C:
2

'

x 2 ? y 2 ? 8 x ? 4 y ? 16 ? 0 .
(1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 的两段圆 2 弧?为什么? 【试题解析】 (1)直线 l 的方程可化为 y ?

m 4m m ,此时斜率 k ? 2 x? 2 m ?1 m ?1 m ?1 m 1 1 2 ? ,当且仅当 m ? 1 时等号成立 因为 m ? ? m ? 1? ,所以 k ? 2 m ?1 2 2 ? 1 1? 所以,斜率 k 的取值范围是 ? ? , ? ; ? 2 2?
2

1 ;圆C的圆心为 C ? 4, ?2 ? , 2 2 4 1 r 半径 r ? 2 ;圆心C到直线 l 的距离 d ? ,由 k ? ,得 d ? ? 1 ,即 d ? , 2 2 5 1? k 2 2? 从而,若 l 与圆C相交,则圆C截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 ,所以 l 不能将圆 3 1 C分割成弧长的比值为 的两端弧; 2 13.如图 5 所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径, ?ABD ? 60? , ?BDC ? 45? , PD 垂直底面 ABCD , PD ? 2 2R , PE DF P ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . ? E,F 分别是 PB,CD 上的点,且 EB FC (1)求 BD 与平面 ABP 所成角 ? 的正弦值; (2)证明: △EFG 是直角三角形; E G PE 1 (3)当 ? 时,求 △EFG 的面积. EB 2 A
(2)不能.由(1知 l 的方程为 y ? k ? x ? 4 ? ,其中 k ?
? 【解析】 (1)在 Rt ?BAD 中,? ?ABD ? 60 ,? AB ? R, AD ? 3R

D

F B C 图5

而 PD 垂直底面 ABCD, PA ?

PD ? AD ? (2 2 R ) ? ( 3R ) ? 11R
2 2 2 2

PB ? PD 2 ? BD 2 ? (2 2 R ) 2 ? (2 R ) 2 ? 2 3R ,
在 ?PAB 中, PA ? AB ? PB ,即 ?PAB 为以 ?PAB 为直角的直角三角形. 设点 D 到面 PAB 的距离为 H ,由 VP ? ABD ? VD ? PAB 有 PA?AB? ? AB?AD? H PD ,即
2 2 2

AD?PD 3R?2 2 R 2 66 H 66 ? ? R sin ? ? ? ; PA 11 BD 11 11R PE PG PE DF PG DF (2) EG / / BC ,? ,而 ,即 ? ? ? ,? GF / / PD ,?GF ? BC , EB GC EB FC GC DC ?GF ? EG ,??EFG 是直角三角形; PE 1 EG PE 1 GF CF 2 (3) ? 时 ? ? , ? ? , EB 2 BC PB 3 PD CD 3 1 1 2 2 2 4 2 R, GF ? PD ? ? 2 2 R ? R, 即 EG ? BC ? ? 2 R ? cos 45? ? 3 3 3 3 3 3 1 1 2 4 2 4 GF R? R ? R2 ??EFG 的面积 S?EFG ? EG ? ? ? 2 2 3 3 9 H?
文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)



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