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高中数学必修一《2.2.1对数与对数运算》导学案


2.2.1 对数与对数运算 【学习目标】理解对数的含义及对数的运算. 【自主梳理】 1.对数的定义 loga N ? b 其中 a ? (0,1) ? (1,??) 与 N ? (0,??) 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 2.指数式与对数式的互化 ab ? N ? loga N ? b (a ? 0且a ? 1) 3.重要公式: ⑴负数与零没有对数; ⑶对数恒等式 a loga N ⑵ loga 1 ? 0 , loga a ? 1 王新敞 奎屯 新疆 ?N 王新敞 奎屯 新疆 a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R ) (a m ) n ? a mn (m, n ? R) 4.指数运算法则 【重点领悟】 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有: (ab) n ? a n ? b n (n ? R) loga (MN) ? logaM ? loga N (1) M loga ? logaM ? loga N (2) N logaM n ? nlog (3) a M(n ? R) 证明:①设 p loga M=p, loga N=q. q p?q 由对数的定义可以得:M= a ,N= a . p q ∴MN= a a = a ②设 ∴ loga MN=p+q, 即证得 loga MN= loga M + loga N. 由对数的定义可以得 M= a ,N= a p q loga M=p, loga N=q. log a . M ap ? q ? a p?q N a ∴ ③设 ∴ M ? p?q N 王新敞 奎屯 新疆 即证得 log a M ? log a M ? log a N N . loga M=P 由对数定义可以得 M= a p , n ∴M =a np ∴ loga M n =np, 即证得 loga M n =n loga M. 【探究提升】 (1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是零: loga 1 ? 0 ; loga a ? 1 ; (3)底数的对数是 1: (4)对数恒等式: a (5) loga N ? N; loga a n ? n . 【学法引领】 例 1. 用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式: xy (1)loga ; z 解: (1) log a (2) loga x2 y . (2) loga 3 z xy = loga (xy)- loga z= loga x+ loga y- loga z z x2 y 3 z 2 = loga ( x 2 y ) ? loga 3 z = loga x + loga 例 2. 计算 1 1 y ? loga 3 z =2 loga x+ log a y ? log a z . 2 3 (4) lg 5 100 (1) log5 25 , (2) log0.4 1 , (3) log2 (47 ? 25 ) , 解: (1) log5 25= log5 5 =2 7 2 王新敞 奎屯 新疆 (2) log0.4 1=0. 7 5 2?7 (3) log2 ( 4 ×25)= log2 4 + log2 2 = log2 2 (4)lg 5 100 = 例 3.计算: (1) (lg5) ? lg 2 ? lg 50; 2 + log2 2

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