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2015届高考数学(理)二轮复习专题综合检测试题: 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量


2015 届高考数学(理)二轮复习专题综合检测试题: 数、三角变换、解三角形、平面向量
(时间:120 分钟,满分:150 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三角函

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = 3 ,则 cos 2α =( 3 )

A.-

5 3

B.-

5 9

C.

5 9

D.

5 3

解析:sin α +cos α =

3 , 3 1 3 2 sin 2α =- , 3

两边平方可得 1+sin 2α =

∵α 是第二象限角,因此 sin α >0,cos α <0, 所以 cos α -sin α =- (cos α -sin α ) =-
2 2 2

2 15 1+ =- . 3 3 5 . 3

∴cos 2α =cos α -sin α =(cos α +sin α )(cos α -sin α )=- 答案:A

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cos C =( A. ) 7 7 7 B.- C.± 25 25 25 24 D. 25

解析:∵8b=5c,由正弦定理得 8sin B=5sin C.又∵C=2B, ∴8sin B=5sin 2B. 所以 8sin B=10sin Bcos B.易知 sin B≠0,

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4 7 2 ∴cos B= ,cos C=cos 2B=2cos B-1= . 5 25 答案:A

π? 2? 3.函数 y=2cos ?x- ?-1 是( 4? ? A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2

)

π? π? 2π ? 2? 解析:因为 y=2cos ?x- ?-1=cos?2x- ?=sin 2x 为奇函数,T= =π .故选 4? 2? 2 ? ? A. 答案:A

4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 则 A=( ) B.30°或 105° D.60°或 120°

3,b=

2,B=45°,

A.30° C.60°

答案:D

5. (2014?安徽卷)若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得 图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( A. π 8 π B. 4 3π C. 8 3π D. 4 )

π? ? 解析:由题意 f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?,将其图象向右平移 φ 个单位, 4? ? π? π? π π ? ? 得 2sin?2(x-φ )+ ?= 2sin?2x-2φ + ?, 要使图象关于 y 轴对称, 则 -2φ = 4 4 4 2 ? ? ? ? π kπ 3π +kπ ,解得 φ =- - ,当 k=-1 时,φ 取最小正值 .故选 C. 8 2 8

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答案:C

6.设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则 A.150° B.120° C.60° D. 30°

a,b

=(

)

解析:由向量加法的平行四边形法则,知 a、b 可构成菱形的两条相邻边,且 a、b 为起 点处的对角线长等于菱形的边长.故选 B. 答案:B

7.在△ABC 中,a, b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边,设向量 m=(b-c,c- a),n=(b,c+a),若向量 m⊥n,则角 A 的大小为( A. π 6 π B. 3 π C. 2 2π D. 3 )

解析:∵m=(b-c,c-a),

n=(b,c+a)且 m⊥n,
∴m?n=(b-c,c-a)?(b,c+a)=b(b-c)+c -a =0, 即 b +c -a =bc, b +c -a bc 1 又∵cos A= = = ,0<A<π , 2bc 2bc 2 π ∴A= . 3 答案:B
2 2 2 2 2 2 2 2

8.设 0≤x<2π ,且 A.0≤x≤π C. π 7π ≤x≤ 4 4

1-sin 2x=sin x-cos x,则 x 的取值范围是(

)

π 5π B. ≤x≤ 4 4 π 3π D. ≤x≤ 2 2

答案:B

→ → → → 9.已知△ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足AP=λ AB,AQ=(1-λ )AC,λ ∈ 3 → → R,若BQ?CP=- ,则λ =( 2 )

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A.

1 1± 2 B. 2 2 1± 10 2 -3±2 2 D. 2

C.

分析:本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本 定理,共线向量定理及其数量积的综合运用. → → → → → → → → → → 解析:∵BQ=AQ-AB=(1-λ )AC-AB,CP=AP-AC=λ AB-AC, 3 → → → → 又∵BQ?CP=- ,且|AB|=|AC|=2, 2 → → AB,AC =60°, → → → → AB?AC=|AB|?|AC|cos 60°=2, 3 → → → → ∴[(1-λ )AC-AB](λ AB-AC)=- , 2 → 2 → → → 2 3 2 2 λ |AB| +(λ -λ -1)AB? AC+(1-λ )|AC| = , 所以 4λ +2(λ -λ -1)+4(1-λ ) 2 3 1 = ,解得λ = . 2 2

答案:A

→ → 10.(2014?新课标Ⅰ卷)设 D,E,F 分别为 ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB+FC= ( ) 1→ → A.AD B. AD 2 1→ C. BC 2 → D.BC

→ → → → 解析:根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得:在△BEF 中,EB=EF+FB=EF+ 1→ → → → → 1→ AB,同理FC=FE+EC=FE+ AC,则 2 2

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→ → ?→ 1→? ?→ 1→? ?1→ 1→? 1 → → → EB+FC=?EF+ AB?+?FE+ AC?=? AB+ AC?= (AB+AC)=AD. 2 ? ? 2 ? ?2 2 ? 2 ? 答案:A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab, 则角 C=________.

解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab a +b -c 1 = =- 2ab 2 2π 答案: 3
2 2 2

a +b -c =-ab,根据余弦定理可得 cos C

2

2

2

2π C= . 3

12.(2014?重庆卷)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b|= 10, 则 a?b=________.

解析:a=(-2,-6),∴|a|= (-2) +(-6) =2 10,∴a?b=|a|?|b|?cos 1 60°=2 10? 10? =10. 2 答案:10

2

2

13.当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π )取得最大值时,x=________.

? π? 解析:y=sin x- 3cos x=2sin?x- ?, 3? ?
0≤x<2π π π 5π - ≤x- < , 3 3 3

? π? 可知-2≤2sin?x- ?≤2. 3? ?
π π 5π 当且仅当 x- = 时,即 x= 时取得最大值. 3 2 6 5π 答案: 6

14.(2014?江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小
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值是________.

a +b -c 解析: 由已知 sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得 a+ 2b=2c, cos C= 2ab

2

2

2

?a+ 2b?2 2 2 a +b -? ? 6- 2 ? 2 ? 3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab 2 2 = = ≥ = ,当且仅当 3a =2b 即 2ab 8ab 8ab 4
a 2 = 时等号成立. b 3 答案: 6- 2 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15.(12 分)(2014?茂名一模)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c, 且 a=2bsin A. (1)求角 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求△ABC 的面积及 b.

解析:(1)∵a=2bsin A,由正弦定理得 sin A=2sin Bsin A, 由于 sin A≠0, 1 故有 sin B= , 2 又∵B 是锐角, ∴B=30°. 1 1 1 15 3 (2)依题意得:S△ABC= acsin 30°= ?3 3?5? = , 2 2 2 4 ∴由余弦定理 b =a +c -2accos B 可得 b =(3 3) +5 -2?3 3?5?cos 30° =27+25-45=7, ∴b= 7.
2 2 2 2 2 2

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16.(12 分)已知函数 f(x)=

(sin x-cos x)sin 2x . sin x

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.

(sin x-cos x)sin 2x 解析:f(x)= = sin x (sin x-cos x)2sin xcos x = 2(sin x - cos x)cos x = sin 2x - 1 - cos 2x = 2 sin x π? ? sin?2x- ?-1,{x|x≠kπ ,k∈Z} 4? ? (1)原函数的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z},最小正周期为π .

? π ? (2)原函数的单调递增区间为?- +kπ ,kπ ? 8 ? ?
3π ? ? (k∈Z),?kπ , +kπ ?(k∈Z). 8 ? ?

17.(14 分)函数 f(x)=6cos

2

ωx + 3cos ω x-3(ω >0)在一个周期内的图象如图所 2

示,A 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 3 ? 10 2? (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?,求 f(x0+1)的值. 5 ? 3 3?

解析:(1)由已知可得: f(x)=6cos

2

ωx + 3cos ω x-3=3cos ω x+ 2

3sin ω x=

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π? ? 2 3sin?ω x+ ?(ω >0). 3? ? 又由于正三角形 ABC 的高为 2 3,则 BC=4, 所以,函数 f(x)的周期 T=4?2=8, 即 2π π =8,得ω = . ω 4

所以,函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3 ]. 8 3 (2)因为 f(x0)= ,由(1)有 5 f(x0)=2 3sin? 即 sin?

?π x0+π ?=8 3, ? 5 3? ? 4

?π x0+π ?=4. 3? ? 4 ? 5

? 10 2? ?π x0+π ?∈?-π ,π ?, 由 x0∈?- , ?,得? ? ? 3? ? 3 3? ? 4 ? ? 2 2?
所以,即 cos?

?π x0+π ?= 3? ? 4 ?

2 ?4? 3 1-? ? = . ?5? 5

故 f(x0+1)=2 3sin? =2 3sin?? =2 3?sin?

?π x0+π +π ? 4 3? ? 4 ?

??π x0+π ?+π ? ? 3? 4? ?? 4 ? ?π x0+π ?cos π +cos?π x0+π ?sin π ? ? 4 ? 3? 3? 4 4? ? 4 ? ? ?

? ?

2 3 2? 7 6 ?4 =2 3? ? + ? ?= . ?5 2 5 2 ? 5

→ → → → 18.(14 分)在△ABC 中,已知AB?AC=3BA?BC. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

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→ → → → 答案:(1)证明:∵AB?AC=3BA?BC,∴AB?AC?cos A=3BA?BC?cos B,即 AC?cos A=3BC?cos B. 由正弦定理,得 AC BC = , sin B sin A

∴sin B?cos A=3sin A?cos B. 又∵0<A+B<π ,∴cos A>0,cos B>0. ∴ sin B sin A =3? ,即 tan B=3tan A. cos B cos A 5 ,0<C<π , 5

(2)解析:∵cos C=

∴sin C= ∴tan C=2.

1-?

? 5?2 2 5 ? = 5 . ?5?

∴tan[π -(A+B)]=2, 即 tan(A+B)=-2. ∴ tan A+tan B =-2. 1-tan A?tan B 4tan A =-2, 2 1-3tan A

由 (1),得

1 解得 tan A=1 或 tan A=- . 3 π ∵cos A>0,∴tan A=1.∴A= . 4

? π ? 19.(14 分)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?. ? 3 ?
(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期与单调递增区间.

? π ? 解析:(1)因为函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?, ? 3 ? ? π? 所以 f?- ?=0. ? 3?

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? π? ? π? 即 sin?- ?+acos?- ?=0. ? 3? ? 3?
即- 3 a + =0. 2 2

解得 a= 3. (2)由(1)得, 3 ?1 ? f(x)=sin x+ 3cos x=2? sin x+ cos x? 2 ?2 ?

? =2?sin xcos ?

π π +cos xsin ? ? 3 3?

? π? =2sin?x+ ?. 3? ?
所以函数 f(x)的最小正周期为 2π . π π 因为函数 y=sin x 的单调递增区间为[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z), 2 2 π π π 所以当 2kπ - ≤x+ ≤2kπ + (k∈Z)时,函数 f(x)单调递增, 2 3 2 5π π 即 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z)时,函数 f(x)单调递增. 6 6 所以函数 f(x)的单调递增区间为

?2kπ -5π ,2kπ +π ?(k∈Z). ? 6 6? ? ?
x ? ? ? x ? 20.(14 分)已知向量 m=?2cos ,1?,n=?sin ,1?(x∈R),设函数 f(x)=m?n-1. 2 ? ? ? 2 ? (1)求函数 f(x)的值域; 5 3 (2)已知锐角三角形 ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A)= ,f(B)= ,求 f(C) 13 5 的值.

x ? ? x ? x x ? 解析: (1)f(x)=m?n-1=?2cos ,1?? ?sin 2,1?-1=2cos 2sin 2+1-1=sin x. 2 ? ? ? ? ∵x∈R, ∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= , 13 5 5 3 ∴sin A= ,sin B= . 13 5
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12 2 ∵A,B 都为锐角,∴cos A= 1-sin A= , 13 4 2 cos B= 1-sin B= . 5 5 4 ∴f(C)=sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= ? + 13 5 12 3 56 ? = . 13 5 65 56 ∴f(C)的值为 . 65

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