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高三理科数学一轮复习之三角函数和解三角形



数学三角函数、解三角形
【主干内容】 1. 弧长公式: l

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形 ?

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2

2. 三角函数的定义域: 三角函数 f ( x) ? sinx
f ( x) ? cosx f ( x) ? ta

nx f ( x) ? cotx f ( x) ? secx f ( x) ? cscx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

定义域

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

3.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数
[?2k ? 1?? , 2k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??

[?

?
2

? 2k? ,

; ??

?

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z )

上 为 增 函 数 (k?Z )

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?

上为减函 数( k ? Z )

? ? 2 ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数 (k ?Z )
1

4. 同角三角函数的基本关系式: 5. 诱导公式: 把

sin ? ? tan ? cos ?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

“奇变偶不变,符号看象限” 。
? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? 重要公式: cos(
cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin ? (? ? ) ? s i ? n co? s ?c o? ssin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?

sin? ?

2 tan 1 ? tan

?
2
2

?
2

cos? ?

1 ? tan 2 1 ? tan
2

? ?
2 2

tan? ?

2 tan

?
2

1 ? tan2

?
2

6.三角函数图象的作法:描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) , 三点二线作图法(正切曲线). 【注意! ! ! 】本专题主要思想方法 1.等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题; 2.数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题; 3.分类讨论。

2

【题型分类】 题型一:三角运算,要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。 〖例 1〗 (10 全国卷Ⅰ文) cos 300? ? A. ?

3 2

B.-

1 2

C.

1 2

D.

3 2
1 2

C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 cos 300? ? cos ? 360? ? 60? ? ? cos 60? ? 〖例 2〗 (10 全国卷Ⅱ文)已知 sin ? ? A. ?

2 ,则 cos( x ? 2? ) ? 3
D.

5 3

B. ?

1 9

C.

1 9

5 3
1 9

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3, ∴
cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2 sin 2 ? ) ? ?

〖例 3〗 (10 福建文)计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于(

)

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【答案】B 【解析】原式= cos 45 =

2 ,故选 B. 2
2

〖例 4〗 (10 浙江文)函数 f ( x) ? sin (2 x ?

?
4

) 的最小正周期是



解析:对解析式进行降幂扩角,转化为 f ?x ? ? ?

1 ?? 1 ? cos? 4 x ? ? ? ,可知其 2 2? 2 ?

最小正周期为

? ,本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用,属容易题。 2
? ?
, ] 上为减函数的是 4 2

题型二:三角函数的图象:三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。 〖例 1〗 (10 重庆文)下列函数中,周期为 ? ,且在 [ A. y ? sin(2 x ?

?
2

)

B. y ? cos(2 x ?

?

2

)

3

C. y ? sin( x ? 【答案】A

?
2

)

D. y ? cos( x ?

?
2

)

〖例 2〗 (09 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 ... 是( )D 世纪教育网

〖例 3〗为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象 3?
5π 个长度单位学 12 5π D.向右平移 个长度单位学 6
B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

分析:先统一函数名称,在根据平移的法则解决.学科网 解析:函数 y ? cos ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 3?

? ?

? ?? 5? ? ? ? 5? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? , 3 2? 6 ? ? ? 12 ?
5π 个长度单位,选择答案 A.学科 12

故要将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

〖例 4〗 (10 江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间, 各自作出三个函数 y ? sin 2 x ,

y ? sin( x ?

?
6

), y ? sin( x ?

?

) 3 的图像如下,

结果发现恰有一位同学作出的图像有错误,那么有错误的图像是

4

【答案】C 【命题意图】考查三角函数的图像与性质. 【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择 C。

〖例 5〗 (09 重庆文)设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2

2

? x(? ? 0) 的

最小正周期为

(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ) 若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 到,求 y ? g ( x) 的单调增区间. 解: (Ⅰ)

2? . 3

? 个单位长度得 2

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4
依题意得

?

3 2? 2? ? ,故 ? 的最小正周期为 . 2 2? 3

5

(Ⅱ)依题意得:

? ?? 5? ? g ( x) ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?
5? ? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) 2 4 2 2 ? 2 7? (k ? Z ) \ 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 3 4 3 12
由 2 k? ?

?

≤ 3x ?

故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ?

2 3

? 2

7? , k? ? ] (k ? Z ) 4 3 12

〖例 6〗 (11 浙江文)已知函数 f ( x) ? A sin (

?
3

x ? ?) , x ? R , A ? 0 ,

0 ?? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部分图像,如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点

和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ?

2? ,求 A 的值. 3

6

题型三:三角函数的最值:最值是三角函数最为重要的内容之一,其主要方法 是利用正余弦函数的有界性, 通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问 题。 〖例 1〗若 x 是三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最 大值是( A. ?1 )学科网 B. 2 C. ?

1 ? 2 2
2 sin(x ?

D.

1 ? 2 2 学科

解析:由 0 ? x ?

?
3

,令 t ? sin x ? cos x ?

?
4

), 而

? ? 7 ? x? ? ? , 4 4 12

得 1? t ? 2 . 又

t 2 ? 1 ? 2sin x cos x , 得 s i xn

t 2 ?1 c x? o s , 得 2

y ?t?

t 2 ?1 1 ( 2) 2 ?1 1 ? (t ? 1)2 ? 1 ,有 1 ? 0 ? y ? 2 ? ? 2 ? .∴ D. 2 2 2 2

点评:涉及到 sin x ? cos x 与 sin x cos x 的问题时,通常用换元解决.学科网 〖例 2〗 (09 上海文)函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是
2



解析: 2 cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? 〖例 3〗(10 江西文)函数 y ? sin x ? sin x ? 1 的值域为
2

? ∴ ymin ? 1 ? 2 ), 4

A. ??1,1? 〖例 4〗 已知函数

B. ? ? , ?1?

? 5 ? 4

? ?

C. ? ? ,1?

? 5 ? ? 4 ?

D. ? ?1,

? ?

5 ? , 4 ? ?
6
. 学

? f ( x) ? 2a sin x cos x ? 2b cos2 x , 且 f( 0 ) 8 ? , ( f) 1 2?

(1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时 x 的值.学科网 分析:待定系数求 a , b ;然后用倍角公式和降幂公式转化问题.学科网 解析:函数 f ( x) 可化为 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ? b . (1)由 f (0) ? 8 , f ( ) ? 12 可得 学科网

? 6

? 3 3 a ? b ? 12 ,所以 b ? 4 , a ? 4 3 .学 f (0) ? 2b ? 8 , f ( ) ? 6 2 2
7

(2) f ( x) ? 4 3 sin 2 x ? 4 cos 2 x ? 4 ? 8sin(2 x ?

?
6

) ? 4 ,故当

2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

即 x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) 时, 函数 f ? x ? 取得最大值 12 .

点评: a sin ? ? b cos ? ? 题型四:正余弦定理的应用

a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ?

〖例 1〗 ( 11 浙 江 文 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 a, b, c . 若

a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos 2 B ?
A.

1 2

B.

1 2

C. -1

D. 1

〖例 2〗 (10 上海文) 若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 则△ ABC A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形. C.一定是钝角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 解析:由 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13

5 2 ? 112 ? 132 ? 0 ,所以角 C 为钝角 由余弦定理得 cosc ? 2 ? 5 ? 11
〖例 3〗 (2009 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满

足 cos

A 2 5 ? , AB ? AC ? 3 . 2 5
(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.
2

(I)求 ?ABC 的面积; 解析: ( Ⅰ) cos A ? 2 cos

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5

w.w

又 A ? (0, ? ) ,

sin A ? 1 ? cos 2 A ?

4 3 , 而 AB . AC ? AB . AC . co sA ? bc ? 3 , 所 以 5 5

1 1 4 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为: bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5
(Ⅱ )由(Ⅰ )知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

〖例 4〗 (2011 届稽阳联考)如右图,在△ ABC 中, D 为 BC 边上一点,
8

A

?BAD ? ? ,   ?CAD ? ? , cos? ?
(1)求 ?BAC 的大小; (2)当 D为BC中点 时,求

2 5 3 10 . , cos? ? 5 10

AC 的值. AD
2

B

D

C

解: (1) 由已知, sin ? ? 1 ? cos

??

5 ???????1 分 5 10 ???????2 分 10

sin ? ? 1 ? cos2 ? ?

cos?BAC ? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? ????3 分

?

2 5 3 10 5 10 2 ???????5 分 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

∵ ?BAC ? (0, ? ) ∴ ?BAC ? (2) ?ABD 中,

?
4

.?????????? 7 分

BD AD ? (1)???????9 分 sin ? sin B

BC AC ?ABC中, ? (2)??????11 分 sin(? ? ? ) sin B

1 BC 2 14 分 (2) AC BC sin ? 2 sin ? 2 5 2 10 ? ? ? ? ? ? ? 2? (1) AD sin(? ? ? ) BD sin(? ? ? ) 5 5 ? BD ?
〖例 5〗 (2010 山东文)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若a ?

2 , b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为

.

【解析】由 sin B ? cos B ?

2 得 1 ? 2sin B cos B ? 2 ,即 sin 2B ? 1,因为

0<B<? ,所以 B=45 ,又因为 a ? 2 , b ? 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦
定理得:

1 2 2 , 解得 sin A ? , 又 a <b , 所以 A<B=45 , 所以 A=30 。 = 2 sin A sin 45

9

【好题速递】 1.(2010 年 高 考 宁 夏 卷 文 科 16) 在

ABC 中 , D 为 BC 边 上 一 点 ,

BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135? .若 AC ? 2 AB ,则 BD=_____
【答案】 2 ? 5 2.( 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 14)已知 ? 为第二象限的角, sin a ?

tan 2? ? . 24 ? 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关 7
系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【 解 析 】 因 为 ? 为 第 二 象 限 的 角 , 又 sin ? ?

3 ,则 5

3 4 ? ?? , , 所以 cos 5 5 sin ? 3 2 tan ? 24 tan ? ? ? ? ,所 tan(2? ) ? ?? 2 cos ? 4 1 ? tan ? 7

3. (2010 年高考全国卷Ⅱ文科 13) 已知α 是第二象限的角,tanα =1/2, 则 cos α =__________

2 5 5 【解析】 ?
tan ? ? ?


:本题考查了同角三角函数的基础知识

1 2 5 cos ? ? ? 2 ,∴ 5

10



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