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椭圆题型总结



椭圆题型总结
一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c
1. 命题甲:动点 P 到两点 A, B 的距离之和 PA ? PB ? 2a(a ? 0, 常数); 命题乙: P 的轨 迹是以 A、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ) D.既不充分又不必要条件

r />P 的轨迹 2. 已知 F1 、F2 是两个定点, 且 F1F2 ? 4 ,若动点 P 满足 PF 1 ? PF 2 ? 4 则动点
是( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段

F F FP Q 3. 已知 1 、 2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长 1 到 ,使得

PQ ? PF2 ,那么动点 Q 的轨迹是(
A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点

)

4. 已知 F1 、 F2 是平面 ? 内的定点,并且 F1 F2 ? 2c(c ? 0) , M 是 ? 内的动点,且

MF1 ? MF2 ? 2a ,判断动点 M 的轨迹.
5. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 为 MF1 的中点,O 是椭圆的中心, 25 9


则 ON 的值是

(二) 标准方程求参数范围
1. 若方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,求 k 的范围.(3,4)U(4,5) 5?k k ?3
2 2

mx ? ny ? 1表示焦点在 y轴上的椭圆”的( 2. “m ? n ? 0”是“方程

)
1

A.充分而不必要条件 3. 已知方程

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 .

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 Y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是 5 ? 2m m ? 1
.

4. 已知方程 x 2 ? ky2 ? 2 表示焦点在 Y 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是 5. 方程 x ? 1 ? 3 y 所表示的曲线是
2

.

6. 如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 k 的取值范围。 7. 已知椭圆 mx2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为 (0,2) ,求 m 的值。 8. 已知方程 x 2 ? ky2 ? 2 表示焦点在 X 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是 .

(三) 待定系数法求椭圆的标准方程
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5) ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26; (2)长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,-6) ; (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P ,求 1 ( 6 ,1), P 2 (? 3,? 2 ) 椭圆方程. 2. 以 F1 (?2,0) 和 F2 (2,0) 为焦点的椭圆经过点 A(0,2) 点,则该椭圆的方程 为 。 。

3. 如果椭圆: 4 x 2 ? y 2 ? k 上两点间的最大距离为 8,则 k 的值为

4. 已知中心在原点的椭圆 C 的两个焦点和椭圆 C2 : 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 的两个焦点一个正方 形的四个顶点,且椭圆 C 过点 A(2,-3) ,求椭圆 C 的方程。 5. 已知 P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离为 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程

4 5 2 5 和 ,过点 P 3 3

2

1、长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 (2,?6) ; 2、在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为 6.

(四) 与椭圆相关的轨迹方程
1. 已知动圆 P 过定点 A(?3,0) ,并且在定圆 B : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 64 的内部与其相内切,求 动圆圆心 P 的轨迹方程. 2. 一动圆与定圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 32 ? 0 内切且过定点 A(0,2) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程. 3. 已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 100,动圆 P 与 C1 外切,与 C2 内 切,求动圆圆心 P 的轨迹方程. 4. 已知 A( ? 1 ,0) , B 是圆 F : ( x ? 1 ) 2 ? y 2 ? 4 ( F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直

2

2

平分线交 BF 于 P ,则动点 P 的轨迹方程为 5. 已知 ?ABC 三边 AB 、 BC 、 AC 的长成等差数列,且 AB ? CA , 点 B 、 C 的坐标

(?1,0) 、 (1,0) ,求点 A 的轨迹方程.
6. 一条线段 AB 的长为 2 a ,两端点分别在 x 轴、 y 轴上滑动 ,点 M 在线段 AB 上,且

AM : MB ? 1 : 2 ,求点 M 的轨迹方程.
7. 已知椭圆的焦点坐标是 (0,?5 2 ) , 直线 l : 3x ? y ? 2 ? 0 被椭圆截得线段中点的横坐标 为

1 ,求椭圆方程. 2

8. 若 ?ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6) 和 C (0,?6) ,另两边 AB 、 AC 的斜率的乘积 是?

4 ,顶点 A 的轨迹方程为 9



9. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 9 ,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴引垂线段 PP ' ,垂足为 P ' ,点 M 在 PP ' 上,并且错误!未找到引用源。 ,求点错误!未找到引用源。的轨迹。 10. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 1, 从这个圆上任意一点错误! 未找到引用源。 向错误! 未找到引用源。 轴引垂线段错误!未找到引用源。 ,则线段错误!未找到引用源。的中点错误!未找到 引用源。的轨迹方程是 。
3

11. 已知错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。的周长为 6, 则错误!未找到引用源。的顶点 C 的轨迹方程是 。 12. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,A、B 分别是长轴的左右两个端点,P 为椭圆上一个动点,求 AP 52 4 2

中点的轨迹方程。

(五) 焦点三角形 4a
1. 已知 F1 、 F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点。若 25 9


F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ?
2. 已知 F1 、 F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F2 且斜率不为 0 的直线交椭圆于 A 、 25 9


B 两点,则 ?ABF 1 的周长是
3. 已知 ?AB C 的顶点 B 、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3


另外一个焦点在 BC 边上,则 ?AB C 的周长为

(六) 焦点三角形的面积:
1. 设 M 是椭圆 积。 2. 已知点 P 是椭圆 轴的距离。

? x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1 、 F2 为焦点, ?F1 MF2 ? ,求 ?F1MF2 的面 6 25 16

x2 ,求点 P 到 x ? y 2 ? 1 上的一点, F1 、 F2 为焦点, PF 1 ? PF 2 ?0 4

4

3. 已知点 P 是椭圆 的面积为 4. 椭圆

PF1 ? PF2 1 x2 y2 ? , F1 、 F2 为焦点, 若 则 ?PF ? ? 1 上的一点, 1 F2 PF1 ? PF2 2 25 9


x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个 4


交点为 P ,则 PF2 ?

5. 已知 AB 为经过椭圆错误!未找到引用源。的中心的弦,错误!未找到引用源。为椭圆 的右焦点,则错误!未找到引用源。的面积的最大值为 。

(七) 焦点三角形错误!未找到引用源。
1. 设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两焦点分别为 F1 和 F2 , P 为椭圆上一点,求 PF 1 ? PF 2 的最大 9 4

值,并求此时 P 点的坐标。 2. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF 2 ? 1 ? 4 ,则 PF 9 2




?F1 PF2 ?
3. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 , P 为其上一动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 的 9 4


横坐标的取值范围为 4. P 为椭圆

x2 y2 (1)若 PF1 的中点 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点。 25 16
1 PF1 ; (2)若 ?F1 PF2 ? 60? ,求 PF 1 ? PF 2 的值。 2

是 M ,求证: MO ? 5 ?

(八) 中心不在原点的椭圆
1. 椭圆的中心为点 E (?1,0) ,它的一个焦点为 F (?3,0) ,相应于焦点 F 的准线方程为

7 x ? ? ,则这个椭圆的方程是 2



5

二、 椭圆的简单几何性质
a
b

c

e

(一) 已知 、 、 、 、
1. 求下列椭圆的标准方程 (1) c ? 8, e ?

a2 c

求椭圆方程

2 ; 3

(2) e ?

5 ,一条准线方程为 x ? 3 。 3 6 ,求椭圆的标准方程。 3

2. 椭圆过(3,0)点,离心率为 e ?

3. 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则椭圆的标 准方程为? 4. 椭圆的对称轴为坐标轴,离心率为

2 ,两准线间的距离为 4,则此椭圆的方程为? 2

5. 根据下列条件,写出椭圆的标准方程: (1) 椭圆的焦点为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,其中一条准线方程是 x ? ?4 ; (2) 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 y 轴 上 , 焦 距 为 4 3 , 并 且 椭 圆 和 直 线

2 7 x ? 3 y ? 16 ? 0 恰有一个公共点;
(3) 椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到 椭圆的最近距离是 3 。 6. 已知椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率为 2 2
2 2

a

b

2 ,右准 2

x2 ? y2 ? 1 线方程为 x ? 2 。求椭圆的方程。答案: 2
7. 根据下列条件求椭圆的方程: (1) 两准线间的距离为

x2 y2 x2 y2 18 5 ? ? 1或 ? ?1 ,焦距为 2 5 ;答案: 9 4 4 9 5

6

(2) 和椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 共准线,且离心率为 ; 2 24 20

(3) 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 点 P 到两焦点煌距离分别为 过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

4 5 2 5 和 , 3 3

(二) 求离心率
x2 y2 1. 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点, a b
若 ?F1 PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为( 2. 在平面直角坐标系中,椭圆 )

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,以 O 圆心,a 为半径 a2 b2


作圆,过点 (

a2 ,0) 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = c

3. 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份,则椭圆的离心率为? 4. 椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足 ?ABF 1 为等边三角形的椭圆的离心率 是? 5. 设椭圆

x2 y2 右准线为 l1 , 若过 F1 且垂直于 x 轴的弦 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1 , a2 b2
。答案:

的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是 6. 已知点 A(0, b) , B 为椭圆

1 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点,若线段 AB a2 b2
。答案:

的中点 C 在椭圆上,则该椭圆的离心率为

3 3

7

(三) 第二定义
1. 设椭圆

x2 y2 ? ? 1(m ? 1) 上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1, m2 m2 ?1
2 。

则 P 点到右准线的距离为

(四) 椭圆系
x2 y2 ? ?1 25 9
椭圆 A.相同的焦点 与

1.

x2 y2 ? ? 1(0 ? k ? 9) 9 ? k 25 ? k
的关系为( ) D。有相等的焦距

B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴

三、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系

1. 当 m 为何值时,直线 l : y ? x ? m 和椭圆 9 x 2 ? 16y 2 ? 144 (1)相交;(2)相切;(3)相 离。

2. 若直线 y ? kx ? 2 与椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点,则实数 k 的取值范围 为 。

(二)弦长问题
1. 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆的右焦点,交椭圆于 A、B 两点,求 AB 的弦长 2. .
8

3. 设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右两个焦点分别为 F1 、F2 ,过右焦点 F2 且与 x a2 b2

轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交,其中一个交点为 M ( 2 ,1) 。 (1) 求椭圆的方程; 设椭圆 C 的一个顶点为 B(0,-b) ,直线 BF2 交椭圆 C 于另一点 N, 求 ?F1 BN 的面积。

(2)

(三)点差法

1. 已知一直线与椭圆 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 相交于 A 、 B 两点,弦 AB 的中点坐标为 (1,1) ,求 直线 AB 的方程. 2. 椭圆 C 以坐标轴为对称轴, 并与直线 l:x+2y=7 相交于 P、 Q 两点, 点 R 的坐标为 (2, 5) , 若 ?PQR 为等腰三角形, ?PQR ? 90? ,求椭圆 C 的方程。

(四)向量结合 (五)对称问题
C:
1. 已知椭圆

x2 y 2 ? ?1 4 3 , 试确定 m 的取值范围, 使得椭圆上有两个不同的点关于直线

y ? 4x ? m
对称。

9



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