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平面向量的数量积及应用



高一复习:平面向量

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平面向量的数量积及应用
【知识梳理】 1 . 已 知 非 零 向 量 a , b , 作 OA ? a, OB ? b , 则 作 ,并规定其范围为 称作向量

a

和向量 b 的夹角,记

<a,b>

;为锐角

?

,<a,b>为钝角

?
.


.它是一个实数.

2、数量积(内积) : (1) 定义: ( 2 ) 几 何 意 义 : a ?b 表 示 a 在 b 上 的 正 射 影 的 数 量 与 是 ;用坐标表示为 (3) 运算律:交换律: 分配律:

|a | 之 积 . a ?b

的充要条件

? ? (4)坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ?
3、向量的数量积的坐标运算及性质:设 s10. a ? b = 30. a ? a ? a ,| a | = 4、向量的正投影(简称射影) :
2

? ? 实数与数量积的结合律: ?a ? b ? ? ?

=

。 。

a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,


; 20. a ? b ? ; 4. cos ? a, b ??

【例题讲解】 1、求两向量的数量积: 例 1 (1)已知|a|=2,|b|=5,若:①a∥b;②a⊥b;③a 与 b 的夹角为 30° ,分别求 a· b.













(2)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,|AM|=1,AP=2PM,则PA·(PB+PC)=________.

2、利用数量积求夹角、模及垂直问题

例 2、已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|和|a-b|.

5 例 3、已知向量 a ? (1, 2), b(?2, ?4),| c |? 5, 若(a ? b) ? c ? , 则a与c 的夹角为( 2
A.30° B.60° C.120° D.150° 变 1、已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ? ________



变 2、已知 | a |? 2 , | b |? 1 , a与b 夹角为 60 ,则向量 m ? 2a ? b 与向量 n ? a ? 4b 的夹角的余弦值为
0

1

阳光总在风雨后,没经历挫折的风雨,怎能看到成功的彩虹!
________. 变 3、两个非零向量 a 、 b 互相垂直,给出下列各式:① a ? b ? 0 ;② a ? b ? a ? b ;③ a ? b ? a ? b ; ④ a ? b ? (a ? b)2 ;⑤ (a ? b) ? (a ? b) ? 0 . 其中正确的式子有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2 2



例 3 、 已 知 | a | =5, | b | =4, 且 a 与 b 的 夹 角 为 60 ° , 则 当 k 为 何 值 时 , 向 量

(ka ? b) ? (a ? 2b)

例 4 已知 A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O 为原点. → → (1)若OC∥AB,求 tanα 的值; → → (2)若AC⊥BC,求 sin2α 的值; → → → → (3)若|OA+OC|= 13且 α∈(0,π),求OB与OC的夹角. (1)设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 a∥b,则|3a+b|=________.
(2)(2012· 重庆)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|= A. 5 C.2 5 B. 10 D.10

4.已知向量 a=( 3sinθ,1),b=(1,cosθ),则 a· b 的最大值为________. 若 a ? (?2, ?1) , b ? (k ,1) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则实数k的取值范围是( ) 。

1 1 1 , 2) ? (2, ? ?) (? , ? ?) D. ( ? ?, ? ) B.(2,+?) C. 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2】已知 a 、 b 都是非零向量,且 a +3 b 与 7 a ?5 b 垂直, a ? 4 b 与 7 a ?2 b 垂直,求 a 与 b 的夹 (? A.
2

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角? 。 已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1,cos? ), ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 | a ? b | 的最大值.

?
2

?? ?

?
2



2】已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角, a =(sinB+cosB,cosC) , b =(sinC,sinB―cosB). (1)若 a ? b ? 0 ,求角 A; (2)若 a ? b ? ? ,求 tan2A.

1 5

【强化训练】

1.已知 a ? (?1, 2), b ? (3,1) ,则 a ? b =_________,向量 a 在 b 方向上正射影的数量为______

2. a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 a ? b =

a ?b =

.

3.下列结论中(1) 0 · (4) a = 0 ;(2) 0 · a =0;(3)若 a ? b ? a ? c, 且a ? 0,则 b ? c ; (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ; (5) a ? b ? a ? b ? 0 ; (6) a ? b ? a ? b ? a / /b ; (7) a 夹角为锐角的充要条件;正确的序号是______________.
【变式 1】若 a 、 b 、 c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , (a ? b) ? (b ? c) 的最大值为________ 3】已知| OA |=1,| OB |= +n OB (m,n∈R),则 ,设 OC =m OA 3 , OA ·OB =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30° )

??

2

(8) a ? b ? 0 是 a 、 b 的 ?a ,

2

m 等于( n

A.

1 3

B.3

C.

3 3

D.

3

4.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 4, ?A ?

?
3

,则 BC 的中线 AD 的长为
3

阳光总在风雨后,没经历挫折的风雨,怎能看到成功的彩虹!

→ 3 A.- 2 2 3 2 3 D. 3 2

→ ).

1.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB·AC=( B.- C.

2.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( A.- π 4 B. π 6 C. π 4 D. 3π 4

).

1 3.★★已知非零向量 a、b 满足|a|= 3|b|,若函数 f(x)= x3+|a|x2+2a·bx+1 在 x 3 ∈R 上有极值,则〈a,b〉的取值范围是( ? π? A.?0, ? 6? ? ? π? B.?0, ? 3? ? ?π π? C.? , ? ?6 2? ). ?π ? D.? ,π? ?6 ?

4.已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60°,则|2e1-e2|=________.

5. 已知 a 与 b 是两个非零向量, 且|a|=|b|=|a-b|, 则 a 与 a+b 的夹角是___________ 6.已知 a ? (1, m), b ? (m, 4) ,若 a, b 夹角为锐角,则 m 的范围__________.

? ? ? A ? m ? ?sin x,1?, n ? ? 3 A cos x, cos2 x ?( A ? 0) 2 ? ? 7. (2012·山东高考理科)已知向量 ,函数

f ( x) ? m ? n 的最大值为 6.

(1)求 A .

(2)将函数

? y ? f ( x) 的图象向左平移 12 个单位,再将所得图象上各点的横坐标

1 5? [0, ] 缩短为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 24 上的

值域.
一、选择题 1.若 a· c=b· c(c≠0),则( )
2

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A.a=b B.a≠b C.|a|=|b| D.a 在 c 方向上的正射影的数量与 b 在 c 方向上的正射影的数量必相等 [答案] D [解析] ∵a· c=b· c, ∴|a|· |c|cos<a,c>=|b|· |c|cos<b,c>, 即|a|cos<a,c>=|b|cos<b,c>,故选 D. 2.若|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则 a 与 b 的夹角等于( A.150° C.60° [答案] B -6 a· b 1 [解析] cosθ= = =- .∴θ=120° . |a||b| 4×3 2 3.若|a|=4,|b|=2,a 和 b 的夹角为 30° ,则 a 在 b 方向上的投影为( A.2 C.2 3 [答案] C [解析] a 在 b 方向上的投影为|a|cos<a,b>=4×cos30° =2 3. 4.|m|=2,m· n=8,<m,n>=60° ,则|n|=( A.5 C.7 [答案] D m· n [解析] ∵ =cos<m,n>, |m|· |n| ∴ 8 1 = ,∴|n|=8. 2|n| 2 ) B .6 D.8 ) B. 3 D.4 ) B.120° D.30° )

5.向量 a 的模为 10,它与 x 轴的夹角为 150° ,则它在 x 轴上的投影为( A.-5 3 C.-5 [答案] A [解析] a 在 x 轴上的投影为|a|· cos150° =-5 3. 6.若向量 a、b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则 b· b+a· b 等于( A.3 C.5 [答案] C
5

B .5 D.5 3

)

B .4 D.6

阳光总在风雨后,没经历挫折的风雨,怎能看到成功的彩虹!
[解析] b· b+a· b=|b|2+|a|· |b|cos<a,b>=4+1=5. 二、填空题 7.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b=____. [答案] 3 [解析] a· b=|a||b|cos〈a,b〉=2× 3×cos30° =2× 3× 3 =3. 2

8.若|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 135° ,则 a 在 b 方向上的投影为________. [答案] -3 2 [解析] ∵|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 135° , ∴a 在 b 方向上的投影为|a|cos135° =6×(- 三、解答题 9.已知正六边形 P1P2P3P4P5P6 的边长为 2,求下列向量的数量积. → → (1)P1P2· P1P3; → → (2)P1P2· P1P4; → → (3)P1P2· P1P5; → → (4)P1P2· P1P6. π → → [解析] (1)∵<P1P2,P1P3>= ,|P1P3|=2 3. 6 π → → → → ∴P1P2· P1P3=|P1P2|· |P1P3|cos 6 =2×2 3× 3 =6. 2 2 )=-3 2. 2

π → → → (2)∵<P1P2,P1P4>= ,|P1P4|=4, 3 π → → ∴P1P2· P1P4=2×4×cos =4 2. 4 π → → (3)∵<P1P2,P1P5>= , 2 → → ∴P1P2· P1P5=0. 2π → → (4)∵<P1P2,P1P6>= , 3 2π → → ∴P1P2· P1P6=2×2×cos =-2. 3

一、选择题
2

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1.对于向量 a、b、c 和实数 λ,下列命题中真命题是( A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b [答案] B

)

B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 D.若 a· b=a· c,则 b=c

[解析] A 中,若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b,故 A 错;C 中,若 a2=b2,则|a|=|b|,C 错;D 中,若 a· b=a· c,则可能有 a⊥b,a⊥c,但 b≠c,故只有选项 B 正确. 2.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为( π A. 6 π C. 3 [答案] C a· b 2 1 [解析] cos<a,b>= = = , |a|· |b| 4 2 π 又∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>= . 3 二、填空题 → → → → 3.已知△ABC 中,|AB|=|AC|=4,且AB· AC=8,则这个三角形的形状为________. [答案] 等边三角形 → → → → → → → → [解析] ∵AB· AC=8,∴|AB|· |AC|cos<AB,AC>=8,∴4×4×cos<AB,AC>=8, 1 → → → → ∴cos<AB,AC>= ,∴<AB,AC>=60° , 2 → → 又|AB|=|AC|,∴三角形是等边三角形. 4.对于任意向量 a、b,定义新运算“?”:a?b=|a|· |b|· sinθ(其中 θ 为 a 与 b 的夹角).利用这个新知识 解决:若|a|=1,|b|=5,且 a· b=4,则 a?b=________. [答案] 3 a· b 4 [解析] 设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 cosθ= = , |a|· |b| 5 3 ∴sinθ= . 5 3 ∴a?b=|a|· |b|· sinθ=1×5× =3. 5 三、解答题 → → 5.如图所示,在?ABCD 中,|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60° .求: → → (1)AD· BC; → → (2)AB· CD;
7

)

π B. 4 π D. 2

阳光总在风雨后,没经历挫折的风雨,怎能看到成功的彩虹!
→ → (3)AB· DA. → → → → → → → → [解析] (1)因为AD∥BC,且方向相同,所以AD与BC夹角是 0° .所以AD· BC=|AD|· |BC|· cos0° =3×3×1 =9. → → → → → → → → (2)因为AB∥CD, 且方向相反, 所以AB与CD的夹角是 180° , 所以AB· CD=|AB|· |CD|· cos180° =4×4×(- 1)=-16. → → (3)AB与AD的夹角为 60° , → → 所以AB与DA的夹角为 120° ,(←此处易错为 60° .) 1? → → → → 所以AB· DA=|AB|· |DA|· cos120° =4×3×? ?-2?=-6. → → → 6.在△ABC 中,三边长均为 1,设AB=c,BC=a,CA=b,求 a· b+b· c+c· a 的值. [解析] ∵|a|=|b|=|c|=1, ∴<a,b>=120° ,<b,c>=120° ,<c,a>=120° , 1 ∴a· b=|a||b|cos120° =- , 2 1 b· c=|b||c|cos120° =- , 2 1 c· a=|c||a|cos120° =- , 2 3 ∴a· b+b· c+c· a=- . 2 7.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根,求 a 与 b 的夹角的取值范围. [解析] ∵方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根, ∴Δ=|a|2-4a· b≥0, 1 ∴a· b≤ |a|2. 4 1 2 |a| 1 a· b a· b a· b 4 cos<a,b>= = = ≤ = , |a|· |b| |a| 1 2 1 2 2 |a|· |a| |a| 2 2 2 π 又∵0≤<a,b>≤π,∴ ≤<a,b>≤π. 3 π ? 即 a 与 b 的夹角的取值范围为? ?3,π?.

一、选择题 π 1.若|a|=3,|b|= 3,且 a 与 b 的夹角为 ,则|a+b|=( 6 A.3 B. 3
2

)

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C.21 [答案] D

D. 21

π [解析] ∵|a|=3,|b|= 3,a 与 b 的夹角为 , 6 ∴|a+b|2=a2+2a· b+b2 π =9+2×3× 3×cos +3 6 =9+2×3× 3× ∴|a+b|= 21. 2.(2014· 安徽宿州朱仙庄煤矿中学高一月考)向量 a、b 满足|a|=1,|b|= 2,(a+b)⊥(2a-b),则向量 a 与 b 的夹角为( A.45° C.90° [答案] C [解析] ∵(a+b)⊥(2a-b), ∴(a+b)· (2a-b)=0, ∴2a2+a· b-b2=0. ∴2×1+1× 2×cos〈a,b〉-2=0, ∴cos〈a,b〉=0, ∴〈a,b〉=90° . 3.设 a、b、c 满足 a+b+c=0,且 a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|2 等于( A.1 C.4 [答案] D [解析] ∵a+b+c=0,∴c=-a-b, ∴c2=|c|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2=1+4=5,故选 D. 4.已知两个非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( A.a∥b C.|a|=|b| [答案] B [解析] 本题考查向量的运算. 由题意知|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,即 a2+2a· b+b2=a2-2a· b-b2, ∴a· b=0,∴a⊥b. 注意:|a+b|2=(a+b)2=a2+2a· b+b2. 5.下列各式中正确命题的个数为( )
9

3 +3=21, 2

) B.60° D.120°

)

B .2 D.5

)

B.a⊥b D.a+b=a-b

阳光总在风雨后,没经历挫折的风雨,怎能看到成功的彩虹!
①(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb),(λ∈R); ②|a· b|=|a|· |b|; ③(a+b)· c=a· c+b· c; ④(a· b)· c=a· (b· c). A.1 C.3 [答案] B [解析] ①、③正确,②、④错误. 2 3 6.已知非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b| |a|,则 a+b 与 a-b 的夹角为( 3 A.30° C.120° [答案] B [解析] 将|a+b|=|a-b|两边平方得,a· b=0, 将|a-b|= 2 3 1 |a|两边平方得,|b|2= |a|2, 3 3 B.60° D.150° ) B .2 D.4

?a+b?· ?a-b? |a|2-|b|2 1 ∴cos〈a+b,a-b〉= = = , 4 2 2 |a+b|· |a-b| |a| 3 ∴〈a+b,a-b〉=60° . 二、填空题 7.已知单位向量 e1、e2 的夹角为 60° ,则|2e1-e2|=________. [答案] 3

[解析] ∵|e1|=|e2|=1, 〈e1,e2〉=60° , 1 ∴e1· e2=|e1||e2|· cos60° = . 2 ∴|2e1-e2|= ?2e1-e2?· ?2e1-e2? = 4|e1|2+|e2|2-4e1· e2= 4+1-2= 3. 8.已知两个单位向量 e1、e2 的夹角为 120° ,且向量 a=e1+2e2,b=4e1,则 a· b=________. [答案] 0 [解析] ∵|e1|=|e2|=1,向量 e1 与 e2 的夹角为 120° ,

∴a· b=(e1+2e2)· (4e1)=4e2 e2 1+8e1·
1 =4+8×1×1×cos120° =4+8×1×1×(- )=0. 2 三、解答题 9.已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=2a-3b,d=ma+b,若 c⊥d,求实数 m 的值. [解析] a· b=|a||b|cos60° =1.
2

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因为 c⊥d,所以 c· d=0,即(2a-3b)· (ma+b)=2ma +(2-3m)a· b-3b =2m-12+2-3m=0,解得 m =-10.

一、选择题 → → → → → 1.若 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足(OB-OC)· (OB+OC-2OA)=0,则△ABC 的形状为( A.正三角形 C.等腰三角形 [答案] C → → → → → [解析] 由(OB-OC)· (OB+OC-2OA)=0 → → → 得CB· (AB+AC)=0 → → → → → → → 又∵CB=AB-AC,∴(AB-AC)· (AB+AC)=0 → → 即|AB|2-|AC|2=0 → → ∴|AB|=|AC|,∴△ABC 为等腰三角形. 2.已知|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),则 a 与 b 的夹角是( A.30° C.90° [答案] B [解析] ∵a· (a-b)=0,∴a2=a· b, a2 2 a· b ∴cos<a,b>= = = , |a||b| |a||b| 2 ∴<a,b>=45° . 3.已知 a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|= 2,则 a· b+b· c+c· a 的值为( A.7 C.-7 [答案] D [解析] ∵(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2a· b+2b· c+2a· c =1+4+2+2(a· b+b· c+c· a)=0, 7 ∴a· b+b· c+c· a=- . 2 4.已知|a|=|b|=1,a⊥b,(2a+3b)⊥(ka-4b),则 k 等于( A.-6 C.3 B .6 D.-3
11

)

B.直角三角形 D.以上都不对

)

B.45° D.135°

)

7 B. 2 7 D.- 2

)

阳光总在风雨后,没经历挫折的风雨,怎能看到成功的彩虹!
[答案] B [解析] (2a+3b)· (ka-4b)=0, 2k|a|2-8a· b+3ka· b-12|b|2=0. ∵|a|=|b|=1,a· b=0,∴2k-12=0,k=6. 二、填空题 → → → → → → 5.已知点 O 是△ABC 内的一点,且OA· OB=OB· OC=OA· OC,则点 O 是△ABC 的________.(填: 外心、内心、重直、重心) [答案] 垂心 → → → → → → → → → → → [解析] ∵OA· OB=OB· OC,∴OB· (OA-OC)=0,即OB· CA=0,∴OB⊥CA. → → → → 同理:OC· AB=0,OA· CB=0,∴O 为△ABC 的垂心. 6.关于平面向量 a、b、c,有下列三个命题: ①若 a· b=a· c,则 b=c. ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3. ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60° . 其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) [答案] ② [解析] ①a· b=a· c 时,a· (b-c)=0, ∴a⊥(b-c)不一定有 b=c,∴①错. ②a=(1,k),b=(-2,6),由 a∥b 知,1×6-(-2k)=0,∴k=-3,故②对. 也可以由 a∥b,∴存在实数 λ,使 a=λb, 即(1,k)=λ(-2,6)=(-2λ,6λ),
?-2λ=1 ? ∴? ,∴k=-3. ? ?6λ=k

③非零向量 a、b 满足|a|=|b|=|a-b|,则三向量 a、b、a-b 构成正三角形如图.

由向量加法的平行四边形法则知,a+b 平分∠BAC, ∴a+b 与 a 夹角为 30° ,③错. 三、解答题 7.已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=a+2b,d=ma-6b(m∈R). (1)当 m 为何值时,c 与 d 垂直? (2)若 c∥d,求|c+d|.
2

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[解析] (1)∵c⊥b,∴c· d=0,

∴(a+2b)· (ma-6b)
=ma2+2ma· b-6a· b-12b2 =9m+2m×3×2×cos60° -6×3×2×cos60° -12×4 =15m-66=0, 22 ∴m= 5 22 ∴当 m= 时,c 与 d 垂直. 5 (2)∵c∥d,∴存在惟一实数 λ 使得 c=λd, 即 a+2b=λ(ma-6b),

? ?λm=1 ?λ=-3 ? ? ∴ ,解得? ? ?-6λ=2 ?

1 .

?m=-3

∴d=-3a-6b,∴c+d=-2a-4b,

∴|c+d|2=|-2a-4b|2=|2a+4b|2=4a2+16a· b+16b2
=4×9+16×3×2×cos60° +16×4=148, ∴|c+d|=2 37. 8.已知|a|=1,|b|= 2. (1)若 a∥b,求 a· b; (2)若 a、b 的夹角为 60° ,求|a+b|; (3)若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角. [解析] (1)当<a,b>=0° 时,a· b= 2,当<a,b>=180° 时,a· b=- 2. (2)|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=3+ 2,|a+b|= 3+ 2. (3)由(a-b)· a=0 得 a2=a· b, a· b 2 cos<a,b>= = ,<a,b>=45° . |a||b| 2 9.设 e1、e2 是两个互相垂直的单位向量,且 a=-(2e1+e2),b=e1-λe2. (1)若 a∥b,求 λ 的值; (2)若 a⊥b,求 λ 的值. [解析] (1)∵a∥b,∴存在惟一实数 k,使得 a=kb, ∴-(2e1+e2)=k(e1-λe1), 即-2e1-e2=ke1-kλe2,
?k=-2 ? 1 ∴? ,解得 λ=- . 2 ? kλ = 1 ?

(2)∵a⊥b,∴a· b=0,
13

阳光总在风雨后,没经历挫折的风雨,怎能看到成功的彩虹!
∴-(2e1+e2)· (e1-λe2)=0.
2 ∴-2e2 e2-e1· e2+λe2 =0, 1+2λe1·

∴-2+λ=0,∴λ=2.

1.若 AB ? BC ? AB ? 0, 则?ABC 为 A 钝角三角形

2



) C 直角三角形 . D 等腰直角三角形

B 锐角三角形

2.已知 a ? 2, b ? 1, a与b 的夹角为 1200 ,则 a ? b = 3.已知 a ? (1,2), b ? (3, ?1) ,则 a ? b =
4 3

. .

4.已知 a ? (2, ?3), b ? ( x,2x) ,且 a ? b ? ,则 x ?

5.某船以 5 千米/小时的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行方向与水流发现方向 成 300 角,则水流速度为 千米/小时. .

6.作用与同一点的两个力 F1 , F2 ,其大小都是 6,夹角为 600 ,则 F1 ? F2 = 7.已知 a ? b ? 12, 且 b ? 5, 则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 8.已知 A(2, ?2), B(5,1), C (1,4), 则cos ?BAC ? . . .

9.已知 a ? (m ? 1, ?3), b ? (1, m ?1), 且 (a ? b) ? (a ? b) ,则 m 的值为

10 . ( 2007 , 上 海 ) 若 向 量 a, b 满 足 a ? 2, b ? 1, a ? (a ? b) ? 1, 则 向 量 a与b 的 夹 角 的 大 小 为 .

11.已知 a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 4e1 ? e2 , 其中e1 ? (1,0), e2 ? (0,1) ,向量 a与b 的夹角为 ? ,求: (1)
a ?b

(2) a ? b

(3) cos ?

2

高一复习:平面向量

班级

姓名





8.★★在菱形 ABCD 中,若 AC=4,则CA·AB=________.

9. ★★已知向量 OA ? (0,2),OB ? (2,0), BC ? ( 2 cos? , 2 sin ? ),则OA与OC 夹角的取值范围
? 是( )A. [0, ] 4
? 2? B. [ , ] 3 3

? 3? ? 5? C. [ , ] D. [ , ] 4 4 6 6















10. 已知平面上三点 A, B, C 满足|AB|=3, |BC|=4, |CA|=5, 求AB·BC+BC·CA → →

+CA·AB的值.

11.已知△ ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足 AP ? ? AB, AQ ? (1 ? ?) AC, ? ? R. 若 BQ CP ? ? ,则? = (
(A)

3 2


(C)

1 2

(B)

1± 2 2

1 ± 10 2

(D)

-3 ± 2 2 2

1.a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a|2-4a· b 等于( ) A.23 B.57 C.63 D.83 2 2 解析:选 D.∵|a|= ?-4? +3 =5,a· b=-4×5+3×6=-2,∴3|a|2-4a· b=3×52-4×(-2)=83. 故选 D. 2.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为( ) 13 A. 13 B. 5 65 C. D. 65 5 a· b -8+21 65 解析:选 C.|a|cos θ= = = . |b| 5 65 3.已知 a=(-3,2),b=(-1,0)向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为( ) 1 1 A.- B. 7 7
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阳光总在风雨后,没经历挫折的风雨,怎能看到成功的彩虹!
1 1 C.- D. 6 6 解析:选 A.向量 λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3λ-1,2λ)· (-1,2) 1 =0,即 3λ+1+4λ=0,解得:λ=- ,故选 A. 7 4. (2012· 高考重庆卷)设 x, y∈R, 向量 a=(x,1), b=(1, y), c=(2, -4)且 a⊥c, b∥c, 则|a+b|=( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 解析:选 B.由 a⊥c 得 2x+1×(-4)=0,所以 x=2;由 b∥c 得 1×(-4)=2y,所以 y=-2.从而 a= (2,1),b=(1,-2) ∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1?2= 10. 5.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(a· b)b,则|c|等于( ) A.4 2 B.2 5 C.8 D.8 2 解析:选 D.易得 a· b=2×(-1)+4×2=6,所以 c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c|= 82+?-8?2 =8 2 6.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,且 a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则 cos θ=________. 1 1 解析:法一:b= a+ (-1,-1)=(1,1),则 a· b=6. 2 2 a· b 6 又|a|=3 2,|b|= 2,∴cos θ= = =1. |a|· |b| 6 法二:由已知得: b=(1,1). 又 a=(3,3),∴a∥b,且同向. 故 θ=0° ,cos θ=1. 答案:1 2 1 1 2 7.已知 a=( , ),b=( ,- ),则向量 3a+b 与-2( 3a-b)的夹角为________. 5 5 5 5 解析:设夹角为 θ,∵|a|=1,|b|=1,a· b=0, ∴( 3a+b)· [-2( 3a-b)]=-4, 2π 又| 3a+b|=2,|-2( 3a-b)|=4,∴θ= . 3 2π 答案: 3 8.(2012· 高考安徽卷)设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________. 解析:a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m). ∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=- . 2 ∴a=(1,-1),∴|a|= 2. 答案: 2 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R. (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解:(1)若 a⊥b,则 a· b=(1,x)· (2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,即 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3 (2)若 a∥b,则 1×(-x)-x(2x+3)=0,即 x(2x+4)=0 解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3, 0), |a-b|=|(1,0)-(3,0)|=| (-2,0)|=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2), |a-b|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)|=2 5. 10.设平面三点 A(1,0),B(0,1),C(2,5),
2

高一复习:平面向量

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→ → (1)试求向量 2AB+AC的模; → → (2)若向量AB与AC的夹角为 θ,求 cos θ. 解:(1)∵A(1,0),B(0,1),C(2,5), → ∴AB=(0,1)-(1,0)=(-1,1), → AC=(2,5)-(1,0)=(1,5), → → ∴2AB+AC=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7), → → ∴|2AB+AC|= ?-1?2+72=5 2. → → (2)由(1)知AB=(-1,1),AC=(1,5), ?-1,1?· ?1,5? 2 13 ∴cos θ= 2 2 2 2 = 13 . ?-1? +1 × 1 +5

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