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§1.2.2函数的表示法 第二课时



教案
2015 年月日

课题 课时

§1.2.2 函数的表示法 2
课型

第二课时 新授课

掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、

知识与技能

判别式法) ;掌握二次函数值域(最值)或二次函 数在某一给定区间上的值域(最值)的

求法.

教学目标 能力与方向 情感态度与 价值观
培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力; (1)深化函数模型思想; (2)深化数形结合思想;

教学重点

值域的求法

王新敞
奎屯

新疆

教学难点

二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法

教学媒体

哈玛星与电子白板相结合应用

时间 分配

课前导入 5 分钟; 知识讲授 25 分钟; 课堂检测 15 分钟;

一、复习引入: 函数的三要素是:定义域、值域和定义域到值域的对应法则;对应法则是函数的核心 (它 规定了 x 和 y 之间的某种关系), 定义域是函数的重要组成部分 (对应法则相同而定义域不同的 映射就是两个不同的函数) ;定义域和对应法则一经确定,值域就随之确定
王新敞
奎屯 新疆

函数的表示方法 ⑴解析法优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一 个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法:优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使 得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法, 今天我们来学习求函数值域的几 种常见方法
王新敞
奎屯 新疆

二、讲解新课: 1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R;

教 学 过 程

反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }. 4a 4a

例 1.求下列函数的值域 ①y=3x+2(-1 ? x ? 1) ③y? ② f ( x) ? 2 ? 4 ? x

1 x ④y ? x? x ?1 x

王新敞
奎屯

新疆

解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] ②∵ 4 ? x ? [0,??) ∴ f ( x) ? [2,??)
王新敞
奎屯 新疆

即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2} ③y? ∵

王新敞
奎屯

新疆

x x ?1?1 1 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1

1 ? 0∴ y ?1 x ?1
王新敞
奎屯 新疆

即函数的值域是{ y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法) ④当 x>0,∴ y ? x ?

1 2 1 ) ?2? 2 =( x ? x x

当 x<0 时, y ? ?( ? x ?

1 2 1 ) =- ( ? x ? ) ? 2 ? ?2 ?x ?x

王新敞
奎屯

新疆

∴值域是 (??,?2] ? [2,+ ? ).(此法也称为配方法) 函数 y ? x ?

1 的图像为: x

4

3

2.二次函数比区间上的值域(最值): 例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1 ; ② y ? x ? 4x ? 1, x ? [3,4] ;
2
-6

f?x? = x+
-4 -2

1 2 x -1 o
2 1 -1 -2 -3

y=x 1 -2
2 4 6

-4

③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ;④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ; 3.判别式法(△法) : 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否 为 0 的讨论
王新敞
奎屯 新疆

例 3.求函数 y ? 4.换元法

x 2 ? 5x ? 6 的值域 x2 ? x ? 6

例 4.求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域 5.分段函数 例 5.求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域. 说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别 式法、 图象法、 换元法等) , 随着知识的不断学习和经验的不断积累, 还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的 题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握 各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法. 三、小结本节课学习了以下内容:
y

3

-1 O

2

x

求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法) ;二次函数值域(最值)或二次函 数在某一给定区间上的值域(最值)的求法. 四、课堂检测(见课件)



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