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第二讲指数函数与对数函数 Microsoft Word 文档 高一



第二讲 指数函数与对数函数
姓名 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.
2 x

10. 已知幂函数 y ? f ? x ? 的图象过点 2, 2 ,则此函数的解析式是(
2 2

?

?

)
1 x
2

成绩 A、 y ? x )
2

B、 y ?

x

C、 y ?

x

D、 y ?

1、当 x ? 0 时,函数 f ( x ) ? ( a ? 1) 的值总大于 1 ,则实数 a 的取值范围是( (A) 1 ? a ? 2、函数 y ? 2 (A) ( 0 ,1] 3. 若函数 f ( x ) ? 1 ?
a
? x

2

(B) a ? 1 )

(C) a ? 1

(D) a ?

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分.
2

11、函数 y ? log 2 ( x ? 2 x ? 3) 的值域为
2

的值域是( (B) ( 0 ,1)
m
x

(C) ( 0 , ?? )

(D) ( ?? , ?? ) ) (D) 4 )

12、已知函数

?3 x ? 3 , x ≥ 0 ? f ( x) ? ?? 1 ? x ?? ? ? 4 ,x ? 0 ?? 2 ?

,若 x 0 是 f ( x ) 的零点,则 x 0 的值为___________.

?1

( a ? 0 , a ? 1) 是奇函数,则 m 的值为(

(A) 0
x

(B) 1

(C) 2

13、函数 y= lg (

2 1- x

-1)的图象关于

对称
; x 4

4. 函数 f ( x ) ? e ( e 为自然对数的底数)对任意实数 x 、 y ,都有( (A) f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) (C) f ( xy ) ? f ( x ) f ( y ) 5、函数 f(x)= log A. (1,+∞)
? log ? ?2 x ?
1 2

14、函数 f(x)=2+log5(x+3)在区间[-2,2]上的值域是

三、解答题:共 80 分 15、 (本题满分 12 分)已知 2≤x≤8,求函数 f(x)=(log 2 )(log 2 ) 的最大值和最小值. 2 x

(B) f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) (D) f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ) C. (-∞,2)
2 D. (1, ]

1 2

( x -1) 的定义域是(

B. (2,+∞)
( x ? 1)( x ? 0 ),

6、已知 f ( x ) ? ?

则 f(f(0))=…………………………(
( x ? 0 ).


16. 已知函数 y ? a
2x

A. -1

B. 0

C. 1
x ?1

D. 2

7、已知 A ? ?x | y ? log 2 (1 ? x )?, B ? ?y | y ? A. A?B=B
x

? ,则下列关系正确的是(
D. A?B=R

? 2 a ? 1( a ? 0, 且 a ? 1) 在区间 ? ? 1,1 ? 上的最大值是 7,求 a 的值。
x



B. A?B=B

C. A?B=?
)个。 C.2
3

8、函数

?1? 2 f ( x ) ? ? ? ? 3 x ? 2 的零点有( 2? ?

A.0

B.1

D.3 )

9. 在同一坐标系中,函数 y ? lo g 3 x 与 y ? lo g 1 x 的图象之间的关系是( A、关于 y 轴对称 C、关于原点对称 B、关于 x 轴对称 D、关于直线 y ? x 对称

17(12 分)函数 f ( x ) ? k ? a ? x ( k , a 为常数, a ? 0 且 a ? 1) 的图象过点 A ( 0 ,1), B ( 3 ,8 )
(1)求函数 f ( x ) 的解析式;
f (x) ? 1 f (x) ? 1

19、 (14 分)已知函数 f ( x ) ? a x ?1 ( a ? 0 且 a ? 1)
(1)若函数 y ? f ( x ) 的图象经过 P(3,4)点,求 a 的值; (2)比较 f (lg
1 100 ) 与 f ( ? 2 .1) 大小,并写出比较过程;

(2)若函数 g ( x ) ?

,试判断函数 g ( x ) 的奇偶性并给出证明.

(3)若 f (lg a ) ? 100 ,求 a 的值.

18、 (14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ?

?2 ? b
x

2

x ?1

?2

是奇函数。

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f ( t ? 2 t ) ? f (2 t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

20、 (14 分)已知函数 f ( x ) ? a ?

1 2 ?1
x

. (1)求证:不论 a 为何实数 f ( x ) 总是为增函数;

(2)确定 a 的值,使 f ( x ) 为奇函数; (3)当 f ( x ) 为奇函数时,求 f ( x ) 的值域。

第二讲 指数函数与对数函数答案
1、 D ,? a ? 1 ? 1,? a ? 2
x 2

设 x1 ? x 2 则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ?
x

1 2
x1


m a
?x

?2 , x ? 0 ? 2、A, y ? ? x ,作图 ?2 , x ? 0 ?

?x

?1

? 2

1
x2

?1

? (2
x2

2
x1

x2

?2

x1

? 1)( 2

x2

? 1)

因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1 ? x 2 ∴ 2 又 ( 2 ? 1)( 2
x1 x2

? 2 1 >0
x

3、C, ? f ( ? x ) ? f ( x ),? 1 ?

?1

? ?1 ?

m a ?1
x

4、A, 7、D ;

? 1) >0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,∴ f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上为减函数。 f ( t ? 2 t ) ? f (2 t ? k ) ? 0
2 2 2

5、D, lo g 1 ( x ? 1) ? 0, 0 ? x ? 1 ? 1
2
x

; 6、A;

(Ⅲ)因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:
2 2

8、C ,作函数 y ? ?

?1? 2 ? 与函数 y ? ? 3 x ? 2 的图象,求交点个数; ?2?
x

9.B ;

10.C

等价于 f ( t ? 2 t ) ? ? f (2 t ? k ) ? f ( k ? 2 t ) , 因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t ? 2 t ? k ? 2 t .即对一切 t ? R 有:
2 2

11、 ?1, ? ? ? ; 12、1 或 ? 2 , f ? x ? ? 0 , ∴ 3 x ? 3 ? 0 .∴ x ? 1 , ? ∴ x0
? 1 或 ?2

?1? ? ?4?0 ?2?

∴ 2?x

?4

∴ x ? ?2

3t ? 2 t ? k ? 0 ,
2

从而判别式 ? ? 4 ? 1 2 k ? 0 ? k ? ?

1 3

.

19、解:⑴∵函数 y ? f ( x ) 的图象经过 P (3, 4 ) ,∴ a 3-1 ? 4 ,即 a 2 ? 4 . 又 a ? 0 ,得 a ? 2 .
2 1- x

13、 原点; 解析: lg ( y=

-1) lg =

1+ x 1- x

, 所以为奇函数. 形如 y= lg

1+ x 1- x

或 y= lg

1+ x 1- x

⑵当 a ? 1 时, f (lg

1 100

) ? f ( ? 2 .1) ;当 0 ? a ? 1 时, f (lg

1 100

) ? f ( ? 2 .1)

的函数都为奇函数. 14、[2,3];
1 3 1 15、解:由 2≤x≤8 得 ≤log2x≤3,y=( log2x-1)(2-log2x)=-(log2x- )2+ . 2 2 4 3 1 当 log2x= 时,即 x=2 2时,y 取最大值 ;当 log2x=3 时,即 x=8 时,y 取最小值-2. 2 4 16. 2 或
1 2

因为, f (lg

1 100

) ? f (?2) ? a

?3

, f ( ? 2 .1) ? a

? 3 .1

,当 a ? 1 时, y ? a 在 ( ?? , ?? ) 上为增函数,
x

∵ ? 3 ? ? 3.1 , a ∴

?3

?a

? 3.1

.

即 f (lg

1 100

) ? f ( ? 2 .1) .当 0 ? a ? 1 时,y ? a 在 ( ?? , ?? ) 上为减函数,
x

?k ? 1 1 x 17、解: (1) ? ,∴ k ? 1, a ? ,∴ f ( x ) ? 2 ?3 2 ?k ? a ? 8

∵ ? 3 ? ? 3.1 ,∴ a

?3

?a

? 3.1

. 即 f (lg

1 100

) ? f ( ? 2 .1) .

(2) g ( x ) ?

2 ?1
x

2 ?1
x

,其定义域为 R,又 g ( ? x ) ?

2 2

?x ?x

?1 ?1

?

1? 2 1? 2

x x

? ?

2 ?1
x

⑶由 f (lg a ) ? 100 知, a
? ? g (x)

lg a ? 1

? 100 . 所以, lg a

lg a ? 1

? 2 (或 lg a ? 1 ? log a 100 ).

2 ?1
x

∴ (lg a ? 1) ? lg a ? 2 .∴ lg a ? lg a ? 2 ? 0 , ∴ lg a ? ? 1 或 lg a ? 2 ,
2

∴函数 g ( x ) 为奇函数.
b ?1 2?2 1? 2 2?2
x

所以, a ?
? 0 ? b ? 1? f ( x) ?

1 10

或 a ? 100 . 设 x1 ? x 2 ,
1 2
x1

18、解: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

x ?1

20、解: (1) ? f ( x ) 的定义域为 R,
则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? a ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

1? 2 2?2

x

x ?1

? ?

1 2

?

1 2 ?1
x



?1

?a? 2
x

1
x2

?1
x

=

2

x1 x

?2

x2 x

(1 ? 2 1 )(1 ? 2 2 )

,

? x1 ? x 2 , ? 2

x1

?2

x2

? 0, (1 ? 2 1 )(1 ? 2 2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,

即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数.

(2) ? f ( x ) 为奇函数, ? f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,即 a ?
2

1
?x

?1

? ?a ?

1 2 ?1
x

,

解得: a ?

1 2

. ? f ( x) ? 1 2 ? 1

1 2

?

1 2 ?1
x

. 1 2 ?1
x

(3)由(2)知 f ( x ) ?
? ?1 ? ? 1

2 ?1
x

x , ? 2 ? 1 ? 1 ,? 0 ?

?1,

2 ? 1
x

? 0? ? ,

1

? f x( ?) 2

1 2

所以 f ( x ) 的值域为 ( ?

1 1 , ). 2 2



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