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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.5.2向量在物理中的应用举例教案 新人教A版必修4



湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.5.2 向量在物理中的应用举例教案 新人教 A 版必修 4
一、教学分析 向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向 量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天 然的联系,将向量这一工具应用到物 理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许

多问题的有利工具,而且用数学 的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量, 比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究. 用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既 然都是向量,那么它们的合成与分 解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的 数量积. 用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问 题;②认真分析物理现象,深 刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这 个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知 识圆满解决物理问题.教学中要善 于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向 量的加法运算与向量分解的原型 .同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题 .这 样可以充分发挥 现实原型对抽象的数学概念的支撑作用. 二、教学目标 1.知识与技能: 通过力的合成与分解的物理模型 ,速度的合成与分解的物理模型 ,掌握利用向量方法研究物理中相关 问题的步骤。 2.过程与方法: 明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识. 3.情感态度与价值观: 通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实 生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学 ,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之 间的内在联系的良好习惯. 三、重点难点 教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法. 教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. 四、教学设想 (一)导入新课 思路 1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、 速度、力等物理量之间的密切联系. 章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢?它就像章头图中的高速 公路一样,是一条解决物理问题 的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课. 思路 2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向, 都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗 ?你是怎样解 决的?教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面 问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课. (二)应用示例 例 1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上
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运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 活动:这个日常生活问题可以抽象为如图 1 所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的 平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题 .这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题 . 只要分析清楚 F、G、θ 三者之间的关系(其中 F 为 F1、F2 的合力),就得到了问题的数学解释.

图1 ?在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G |、θ 之间在变化过 程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤, 也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证. 用 向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即 建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案, 即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道

1 |G| |G| cos ? 2 ? ? 2 | F1 | 2 cos 2

?

通过上面的式子,我们发现:当 θ 由 0°到 180°逐渐变大时,

? ? 由 0°到 90°逐渐变大,cos 的值由 2 2

大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即 F1,F2 之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上 运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释, 这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型 后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现. 变式训练 某人骑摩托车以 20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为 40 km/h 时,他又感 到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.

图2 解:如图 2 所示.设 v1 表示 20 km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为 v,那么此人 所感到的风速为 v+(-v1)=v-v1. 令 AB =-v1, AC =-2v1,实际风速为 v. ∵ DA + AB = DB , ∴ DB =v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.
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∵ DA + AC = DC , ∴ DC =v-2v1, 这就是当车的速度为 40 km/h 时,骑车人感受到的风速. 由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC, ∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°. ∴DA=DC= 2 BC=20 2 . ∴|v|=20 2 km/h. 答:实际的风速 v 的大小是 202 km/h,方向是东南方向. 例 2 如图 3 所示,利用 这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后, 陷入箱内,使砂箱摆至某一高度 h.设子弹和砂箱的质量分别为 m 和 M,求子弹的速度 v 的大小.

图3 ?解:设 v0 为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以 m|v|=(M+m)|v0|. ①

1 2 (M+m)v0 =(M+m)gh. 2 M ?m 2 gh . 联立①②解得|v|= m M 2 gh , 又因为 m 相对于 M 很小,所以|v|≈ m M 2 gh . 即子弹的速度大小约为 m
由于机械能守恒,所以 (三)知能训练



1.一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120°的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,则经过 3 小时, 该船实际航程为( A.2 15 km ) B.6 km C. 84 km D.8 km

图4 2. 如图 4, 已知两个力的大小和方向 , 则合力的大小为 N; 若在图示坐标系中 , 用坐标表示合力 F, 则 F=___________.
3

3.一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与 水流方向成 30°角,求水流 速度与船的实际速度. 解答: 1.B 点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2. 41 (5,4)

图5 3. 如 图 5 所 示 , 设 OA 表 示 水 流 速 度 , OB 表 示 船 垂 直 于 对 岸 的 速 度 , OC 表 示 船 的 实 际 速 度,∠AOC=30°,| OB |=5 km/h. 因为 OACB 为矩形,所以| OA |=| AC |·cot30°=| OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, | OC |=

| OA | 5 3 = =10 km/h. cos30? 3 2

答:水流速度为 8.66 km/h,船的实际速度为 10 km/h. 点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出. (四)课堂小结 1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤. ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; ③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; ④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. ①力、速度、加速度、位移都是向量; ②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减; ③)动量 mv 是数乘向量,冲量 Δ tF 也是数乘向量; ④功是力 F 与位移 s 的数量积,即 W=F·s. (五)作业

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