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1.1.1 集合的含义与表示 课件(人教A必修1)



1.1 集



1.1.1 集合的含义与表示

下列实例有什么共同特性?并归纳出集合概念 观察:

(1)1----20以内的所有质数 (2)我国古代的四大发明 (3)1.2,3,3,4,5.。。。 (4)所有的正方形 (5)到一个角的两边距离相等的所有的点 (6)x? -5x+6=o的所有实数

根 (7)不等式x-3>0 (8)y=x? +3x-4上的所有的点 (9)讲桌上的所有东西 (10)高一(11)班全体同学

新知初探思维启动
1.元素与集合的相关概念
总体 (1)集合:把一些对象组成的______叫做集合( 集 简称为______). 集合通常用 大写的拉丁字母A,B,C,… _____________________________表示。 (2)元素:一般地,我们把研究对象统称为 元素.元素常用 小写的拉丁字母a,b,c,? ___________________________表示. 。

元素 (3)集合相等:只要构成两个集合的______是
一样的,我们就称这两个集合是相等的. (4)元素的特性: 确定性、 无序性、 想一想 1.你班里“数学成绩好的同学”能组成集合 吗?你班里“第一组的同学”能组成集合吗?
提示:不能.能.

互异性

2.元素与集合的关系

关系

语言描述

记法

读法

属于

a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A
a不属于集合 A

a不是集合A中的元 a?A 不属于 素

3.常用数集及其记法
常用数集 简称 记法 N ____ N*或N+ __________ Z ______

全体非负整数的 集合
所有正整数的集 合 全体整数的集合 全体有理数的集 合 全体实数的集合

非负整数集(或 自然数集)
正整数集 _________ 整数集

有理数集
实数集

Q
R _________

做一做 1.下列关系中,正确的个数为( ) 1 ① ∈R;② 2?Q;③|-3|∈N;④- 4∈Z. 2 A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

4.集合的表示方法 一一列举 (1)列举法:把集合的元素________出来,

并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法 一般形式:{a1,a2,a3,…,an} 共同特征 (2)描述法:用集合所含元素的___________ 表示集合的方法 一般形式: {x∈I|p(x)}
(3)文氏图法:把集合的元素写在椭圆、正方形中。。。表示 集合的方法 一般形式:
a1,a2,a3,…,an

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 例1 集合的概念 判断下列各组对象能否组成一个集合:

(1)山东水浒书业有限公司的所有员工; (2)篮球比姚明打得好的人; (3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员; (4)本班所有高个子的同学.

【解】

(1)、(3)的对象是确定的,能组成一

个集合;(2)中篮球打得好与否没有一个明确 的标准,(4)中“高个子的同学”对象不确 定,因而不能组成集合. 【名师点评】 判断元素能否组成集合,关

键是看这些元素是否具有能包含在集合中的
确定条件,如果条件满足就可以断定这些元 素可以组成集合,否则就不能组成集合.总 之要满足“确定性”。

想一想
2.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一个 集合吗? 提示:表示同一集合. 做一做

2.A={x|x为不大于10的正偶数},用列举法表
示为________. 答案:A={2,4,6,8,10}

变式训练
1.以下说法中: ①接近于0的数的全体组成一个集合; ②正三角形的全体组成一个集合; ③未来世界的高科技产品组成一个集合;

④不大于3的所有自然数组成一个集合;
⑤book中的字母可以组成一个集合,集合中 含有四个元素. 正确的是( A.①② ) B.②③ C.③④ D.②④

解析:选D.①③中对象的判断标准不明确,
不满足确定性,故①③错误;②④中的对象

都是确定的,故②④正确;book中的字母是
确定的,可以组成一个集合,但相同的对象 归入同一集合时只能算作一个,故集合中含 有三个元素,故⑤错误.

题型二

元素与集合的关系

例2 用符号“∈”或“?”填空:
(1)2________{x|x< 5≤x≤2}; (2)4________{x|x=n2+1,n∈Z},5________{x|x= n2+1,n∈Z}; (3)(-1,1)________{y|y=x2},(-1,1)________{(x, y)|y=x2}. 11 },3________{x ∈ Z| -

【解析】 (1)因为 22<( 11)2, 所以 2∈{x|x< 11}. 因为{x∈ Z|-5≤x≤2}={-5,-4,-3,-2, -1,0,1,2},所以 3?{x∈Z|-5≤x≤2}. (2)令 4=n2+1,则 n=± 3?Z, 所以 4?{x|x=n2+1,n∈Z}. 令 5=n2+1, 则 n=± 2∈Z, 所以 5∈{x|x=n2+1,n∈Z}.

(3)集合{y|y=x2}的代表元素是数,集合{(x,
y)|y=x2}的代表元素是实数对,且1=(-1)2 , 所以(-1,1)?{y|y=x2},(-1,1)∈{(x,y)|y=

x2}.
【答案】 (1)∈ ? (2)? ∈ (3)? ∈ 【名师点评】 判断一个对象是否为某个集合

的元素,就是判断这个对象是否具有这个集合 的元素具有的共同特征.反之,如果一个对象 是某个集合的元素,则这个对象必具有这个集 合的元素具有的共同特征.

变式训练
2 . 已 知 M = {x|x = 2a + 1 , a ∈ Z} , 则 有 ( )

A.1?M
B.0∈M C.2∈M D.-1∈M 解 析 : 选 D. 设 1 = 2a + 1 , 则 a = 0 ∈ Z , 即 1∈M,同理可得0?M,2?M,-1∈M.

题型三 例3

集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合.

(1)比5大3的数组成的集合; (2)方程x2-2x+1=0的所有实数根组成的集 合;

(3)不等式2x+1>0的所有解组成的集合;
(4)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的 集合.

【解】
{8}.

(1)比5大3的数显然是8,故可表示为

(2)用列举法表示:方程x2 -2x+1=0的实数 根为1,因此A={1}. 用描述法表示:

设方程x2-2x+1=0的实数根为x,则x满足
的条件为x2-2x+1=0,因此A={x∈R|x2- 2x+1=0}.

(3)不等式2x+1>0的解有无数个,且它们的
共同特征是x∈R且2x+1>0,所以这个集合

可用描述法表示为B={x∈R|2x+1>0}.
(4)“二次函数y=x2-10图象上的点”用描述 法表示为{(x,y)|y=x2-10,x∈R}.

变式训练
3.用适当的方法表示下列集合:

(1)由所有非负偶数组成的集合;
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组 成的集合;

(3)方程(x-1)(x-2)(x2-5)=0的解组成的集合;
(4)平面直角坐标系内第三象限的所有点组成的集 合.

解: (1){x|x=2n, n∈N}; (2){3,5,7,11,13,17,19}; (3){1,2, 5,- 5};(4){(x,y)|x<0,y<0}.

题型四 例4

集合中元素的特性
(本题满分12分)已知集合A含有两个元

素a-3和2a-1, (1)若-3∈A,试求实数a的值; (2)若a∈A,试求实数a的值.

【思路点拨】

分别利用-3∈A和a∈A得关

于a的方程解之得a,然后利用集合中元素的 特性进行检验.

【解】

(1)∵-3∈A,

∴-3=a-3或-3=2a-1,

分情况求解.
若-3=a-3, 则a=0. 此时集合A含有两个元素-3,-1,符 合题意.

若-3=2a-1,

则a=-1,此时集合A含有两个元素-4,-3,符

合题意,
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1 (2)因为a∈A,所以a=a-3或a=2a-1 分情况求解. 当a=a-3时,有0=-3,不成立 当a=2a-1时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1, 符合题意.综上知a=1.

变式训练
4.已知2∈{x|(x-a)(x-a+1)=0},求实数a
的值. 解:因为{x|(x-a)(x-a+1)=0}={a,a-1}, 又2∈{x|(x-a)(x-a+1)=0},所以 当a=2时,a-1=1,则{a,a-1}={2,1},符 合题意; 当a-1=2时,a=3,则{a,a-1}={3,2},符 合题意. 综上可知,a=2或a=3.

备选例题
1.设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=
2k+1,k∈Z},若a∈A,b∈B,试判断a+ b与集合A,B的关系. 解:a∈A,则a=2k1(k1∈Z), b∈B,则b=2k2+1(k2∈Z), 所以a+b=2(k1+k2)+1. 又k1+k2为整数,2(k1+k2)为偶数. 故2(k1+k2)+1必为奇数, 所以a+b∈B,a+b?A.

2.用适当的方法表示由下列对象构成的集合: (1)绝对值不大于 2 的所有整数;
?x+y=1, ? (2)方程组? 的解; ?x-y=-1 ?

1 (3)函数 y= 图象上的所有点. x

解:(1)法一:由于|x|≤2 且 x∈Z,所以 x 值为: -2,-1,0,1,2. ∴绝对值不大于 2 的所有整数组成的集合为{- 2,-1,0,1,2}. 法二:用描述法可表示为{x∈Z||x|≤2}.
?x+y=1, ?x=0, ? ? (2)解方程组? 得? ? ? ?x-y=-1, ?y=1.

?x+y=1, ? 所以用列举法表示方程组? 的解集为 ? ?x-y=-1

{(0,1)}. 1 (3)函数 y= 图象上的点可以用坐标(x,y)表示, x 1 其满足的条件是 y= ,所以用描述法表示为{(x, x 1 y)|y= }. x

3.已知-1∈{m-1,3m,m2 -1},求实数m的 值. 解:∵-1是集合{m-1,3m,m2-1}中的元素,

∴当m-1=-1时,m=0,3m=0,m2-1=-1.
此时集合为{-1,0,-1),不满足集合中元素的互

异性.

1 4 8 2 当 3m=-1 时,m=- ,m-1=- ,m -1=- . 3 3 9 4 8 此时集合为{- ,-1,- },符合题意. 3 9 当 m2-1=-1 时,m=0,m-1=-1,3m=0. 此时集合为{-1,0,-1)},不满足集合中元素的互异 性. 1 综合可知实数 m 的值为- . 3 4 8 此时集合为{- ,-1,- }. 3 9

归纳整理
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1、本节课我们学习了哪些内容?

?
?

2、你认为学习集合有什么意义?
3、选择集合表示法时应注意些什么?
1(1)集合有关概念

(2)元素和集合的关系 (3)常用数集的记法 (4)集合的表示法

2、现代数学建立在集合的基础上,高中数学把集合 当做一种语言来使用, 它主要是为了后续学习如函数等内容的语言准备, 换句话说就是用集合的语言来描述函数等知识, 但集合论本身也有一些并未最终解决的矛盾,说 到底集合是大家现阶段公认的用来描述数学概念 的最佳手段,但它并没有解决数学中终极问题 “无穷".,高中阶段集合只是你一种表示数学的语 言和手段。

3 (1)表示集合时,要多问“集合的元素是什么”,尤 其要分清数集和点集(有序实数对).在一时看不清 问题时,可先转化为自然语言,弄清集合中构成 元素的特征. (2)一个集合可以用不同的方法表示,需根据题意 选择适当的方法,列举法适用于元素个数较少或 元素个数无限但有规律的集合,而描述法适用于 元素个数不确定且元素间无明显规律的集合.

作业布置
?

预习1.1.2的全部内容

?

完成P5的练习
P11 S1、2、3、4。

?



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