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高中数学人教A版必修1课件:本章整合3



本章整合

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专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题一 一次函数模型的应用 一次函数模型比较简单,求解也较为容易,一般我们可以用“问什 么,设什么,列什么”这一方法来处理. 应用某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30米,现计划用这两 种布料生产M,L两种型号的校服共40件.已知做一件M型号的校服 需用甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获利45元;做一件L型号的校 服需用甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生产M型号的 校服件数为x,用这批布料生产这两种型号的校服所获的利润为 y(单位:元). (1)写出y(单位:元)关于x(单位:件)的函数解析式,并求出自变量x 的取值范围; (2)该厂在生产这批校服时,当M型号的校服为多少件时,能使该 厂所获的利润最大?最大利润为多少?

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

解 :(1)生产 M 型号的校服为 x 件时 ,生产 L 型号的校服为 (40-x) 件 ,因此生产两种型号的校服所获利润 y=45x+30(40-x),即 y=15x+1 200. 0.8 + 1.2(40-) ≤ 42, 2 解得15≤x≤16 ,x∈N,所以自变量 3 1.1 + 0.5(40-) ≤ 30, x 的取值为 15 或 16. (2)因为 y=15x+1 200,y 随 x 的增大而增大 ,所以 x=16 时 ,y 取最 因为 大值 15×16+1 200=1 440,即工厂安排生产 M 型号的校服 16 件时 , 工厂能获最大利润 1 440 元 .

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题二 二次函数模型的应用 在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建 立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调 性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大、最省等问 题.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用某租赁公司出租同一型号的设备40套,当每套月租金为270 元时,恰好全部租出.在此基础上,每套月租金每增加10元,就少租出 1套设备,而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元.设每套设 备实际月租金为x元(x≥270),月收益为y元(月收益=设备租金收入未租出设备费用). (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x为何值时,月收益最大?最大值是多少? 提示:(1)利用“月收益=设备租金收入-未租出设备费用”列出函数 关系式; (2)转化为求二次函数的最大值.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

解 :(1)每套设备实际月租金为 x 元(x≥270)时 ,未租出的设备为
-270 -270 套 ,则未租出的设备费用为 × 20 10 10 -270 -270 40套,则月租金总额为 40元 . 10 10

元;租出的设备为

所以 y=

-270 4010



-270 ? × 10

20

=-0.1x 2+65x+ 540,x≥270. (2)由 (1)得 y=-0.1x2+65x+540=-0.1(x-325) 2+11 102.5,则当 x=325 时 ,y 取最大值 ,为 11 102.5, 但当 x=325 时 ,租出的设备套数不是整数,故当 x=320 或 x=330 时 ,月收益最大,最大为 11 100 元 .

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题三 指数函数模型的应用 实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以 用指数函数模型来表示;在建立函数模型时,注意用区分、列举、 归纳等方法来探求其内在的规律. 应用某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少 水中杂质20%. (1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式. (2)要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤几次? 提示:(1)利用归纳猜想的方法得函数关系式; (2)利用(1)的结论转化为解不等式.

专题一

专题二

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专题五

解:(1)设刚开始水中杂质含量为1, 第1次过滤后,y=1-20%; 第2次过滤后,y=(1-20%)(1-20%)=(1-20%)2; 第3次过滤后,y=(1-20%)2(1-20%)=(1-20%)3; …… 第x次过滤后,y=(1-20%)x. 故y=(1-20%)x=0.8x,x≥1,x∈N.
(2)由(1)得 0.8 <5%,则 x>log0.80.05 =
x

lg2+1 ≈13.4. 1-3lg2

即至少需要过滤14次.

专题一

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专题五

专题四 对数函数模型的应用 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多.此类问题一般是先 给出对数函数模型,再利用对数运算性质求解. 应用燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬,研究燕子的科学家 发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v=5log2 ,
10

单位是m/s,其中 O 表示燕子的耗氧量.

(1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位? (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?

专题一

专题二

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提示 :(1)转化为当 v=0 时,求 O 的值; (2)转化为当 O=80 时,求 v 的值. 解 :(1)由题意知 ,当燕子静止时,v=0,可得 0=5log2 所以燕子静止时的耗氧量是 10 个单位. (2)将耗氧量 O=80 代入所给公式,得 v=5log2
80 10 , 解得O=10. 10

= 5log28 =15.

所以当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时 ,它的飞行速度为 15 m/s.

专题一

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专题五

专题五 分段函数模型的应用 分段函数与日常生活联系紧密,已成为高考考查的热点.对于分 段函数,一要注意规范书写格式;二要注意各段的定义域的表示方 法,对于中间的各个分点,一般是“一边闭,一边开”,以保证在各分点 的“不重不漏”.

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专题五

应用夏天,大家都喜欢吃西瓜,而西瓜的价格往往与西瓜的质量 相关.某人到一个水果店去买西瓜,价格表上写的是:3千克以下,每 千克0.8元;大于等于3千克且小于等于4.5千克时,每千克1元;4.5千 克以上,每千克1.2元.此人挑了一个西瓜,称重后店主说5元1角,1角 就不要了,给5元吧,可这位聪明的顾客马上说,你不仅没少要,反而 多收了我的钱.当顾客讲出理由后,店主只好承认了错误,照实收了 钱.你知道顾客是怎样判断店主算错了吗? 提示:将所购西瓜的质量与所付款之间的关系式列出来,则问题 就会迎刃而解.

专题一

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专题三

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专题五

解:设这位顾客所购西瓜重x千克,应付款y元,
0.8,0 < < 3, 则 y 与 x 之间的函数关系为 y= ,3 ≤ ≤ 4.5, 1.2, > 4.5.

当0<x<3时,0<y<2.4; 当3≤x≤4.5时,3≤y≤4.5; 当x>4.5时,y>5.4. 故所付款不可能是5.1元,所以店主算错了.

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1(2015· 北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该 车相邻两次加油时的情况.
加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日 加油量 (升 ) 加油时的累计里程 (千米 ) 12 48 35 000 35 600

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升

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解析:因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内 的耗油量,故耗油量V=48升. 而这段时间内行驶的里程数s=35 600-35 000=600(千米). 所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量
48 为 × 600

100=8(升).故选 B.

答案:B

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2-||, ≤ 2, 2(2015· 天津高考 )已知函数 f(x) = 函数g(x)=b-f(2-x), 2 (-2 ) , > 2, 其中 b∈R,若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( )

7 A. ,+∞ 4 7 C. 0, 4

7 B. -∞, 4 7 D. ,2 4

2 + , < 0, 2-||, ≤ 2, 解析 :由 f(x) = 得 f(x) = 2-,0 ≤ ≤ 2, 2 (-2 ) , > 2, (-2 )2 , > 2, 2 + 2-,2- < 0, 2 , < 0, f(2-x) = 2-(2-),0 ≤ 2- ≤ 2, = ,0 ≤ ≤ 2, 4-, > 2, (2--2 )2 ,2- > 2 2 + + 2, < 0, 所以 f(x)+f(2-x) = 2,0 ≤ ≤ 2, 2 -5 + 8, > 2. 因为函数 y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b 恰有 4 个零点 , 所以函数 y=b 与 y=f(x)+f(2-x)的图象有 4 个不同的交点 . 画出函数 y=f(x)+f(2-x)的图象 ,如图 . 由图可知 ,当 b∈ 点 .故选 D. 答案 :D
7 ,2 4

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时,函数 y=b 与 y=f(x)+f(2-x)的图象有 4 个不同的交

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3(2014· 湖北高考 )已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x.则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,- 1,1,3} C.{2 ? 7,1,3} D.{-2 ? 7,1,3} 解析 :当 x<0 时 ,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3x]=-x2-3x,易求得 g(x)解析式 2 -4 + 3, ≥ 0, 2 g(x) = 当 x -4x+3= 0 时 ,可求得 x1=1,x2=3,当 2 - -4 + 3, < 0, -x2-4x+3=0 时可求得 x3=-2 ? 7,x4=-2 + 7(舍去),故 g(x)的零点为 1,3,-2 ? 7, 故选D. 答案 :D

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4(2014· 北京高考 )已知函数 f(x) = ? log2 x.在下列区间中,包含 f(x) 零点的区间是( A.(0,1) C.(2,4) ) B.(1,2) D.(4,+∞)
6 1 6 4 3 2 6 2 1 2=? 2

6

解析 :由题意知 f(1) = ? log21 =6>0,f(2) = ? log22 =3-1=2>0,f(4) = ? log24 = ? < 0 .故 f(2)· f(4)<0.由

零点存在性定理可知,包含 f(x)零点的区间为 (2,4). 答案 :C

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5(2014· 山东高考)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有 两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( ) A.
1 0, 2

B.

1 ,1 2

C.(1,2)

D.(2,+∞)

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解析 :画出 f(x)=|x-2|+1 的图象如图所示.由数形结合知识 ,可知若方 程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数 g(x)与 f(x)的图象应有两个 不同的交点 . 所以函数 g(x)=kx 的图象应介于直线 y= 的取值范围是
1 ,1 2 1 和 y=x 2

之间 ,所以 k

.

答案 :B

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6(2014· 北京高考)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数 的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间 t(单位:min)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三 次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工 时间为( ) A.3.50 min B.3.75 min C.4.00 min D.4.25 min

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解析 :由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上 ,因此有 0.7 = × 32 + × 3 + , = -0.2, 0.8 = × 42 + × 4 + , 解得 = 1.5, 故 p=-0.2t2+ 1.5t- 2,其对 0.5 = × 52 + × 5 + , = -2. 称轴方程为 t= 答案 :B
-1.5 2× (-0.2)

=

15 4

= 3.75.

所以当 t=3.75 时 ,p 取得最大值 .故选 B.

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7(2014· 湖南高考 )某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率 为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ( )

+ A. 2 ( + 1)( + 1)-1 B. 2
C.

D. ( + 1)( + 1) ? 1 解析 :设第一年年初生产总值为 1,则这两年的生产总值为 (p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为 x,则 (1+x)2=(p+1)(q+1),解得 x= 答案 :D ( + 1)( + 1) ? 1, 故选D.

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3 , ≤ , 8(2015· 湖南高考 )已知函数 f(x) = 2 若存在实数b,使函数 , > . g(x)=f(x)-b 有两个零点,则 a 的取值范围是 . 解析 :要使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点 ,应使 f(x)图象与直线 y=b 有 两个不同的交点 . 当 0≤a≤1 时 ,由 f(x)的图象知 f(x)在定义域 R 上单调递增,它与直 线 y=b 不可能有两个交点. 当 a<0 时 ,由 f(x)的图象 (如图 ①)知 ,f(x)在 (-∞,a]上递增 ,在 (a,0) 上递减 ,在 [0,+∞)上递增 ,且 a3<0,a2>0,所以 ,当 0<b<a2 时 ,f(x)图象与 y=b 有两个不同交点 .

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当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,+∞)上 递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点. 综上,实数a的取值范围是a<0或a>1. 答案:(-∞,0)∪(1,+∞)

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9(2015· 湖南高考)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范 围是 .

2 -2, ≥ 1, 解析:函数f(x)的零点个数即为函数 g(x)=|2 -2|= 2-2 , < 1 的图像与直线y=b的交点个数. 如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0<a<2 时,直线y=a与y=g(x)有两个交点.所以a的取值范围为(0,2). 答案:(0,2)
x

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10(2015· 安徽高考)在平面直角坐标系 xOy 中 ,若直线 y= 2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点,则 a 的值为 . 解析 :

在同一坐标系画出 y=2a 和 y=|x-a|-1 的图象如图 .由图可知 ,要使两 函数的图象只有一个交点,则 2a=-1,a=? . 答案: ?
1 2 1 2

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11(2014· 天津高考)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0 恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为 . 解析:在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=a|x-1|的图象,由图知, 当a=0时,两函数的图象只有2个交点,当a<0时,两图象没有交点,故 必有a>0.

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若曲线y=-x2-3x(-3≤x≤0)与直线y=-a(x-1)(x≤1)相切,联立方程得 x2+(3-a)x+a=0,则由Δ=0得a=1(a=9舍去),因此当0<a<1时,f(x)的图 象与y=a|x-1|的图象有4个交点; 若曲线y=x2+3x(x>0)与直线y=a(x-1)· (x>1)相切,联立方程得 x2+(3-a)x+a=0,则由Δ=0可得a=9(a=1舍去), 因此当a>9时,f(x)的图象与y=a|x-1|的图象有4个交点,故当方程 有4个互异实数根时,实数a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞). 答案:(0,1)∪(9,+∞)

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| 2 + 5 + 4|, ≤ 0, 12(2014· 天津高考)已知函数 f(x) = 2|-2|, > 0, 若函数y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为 .

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解析:分别作出函数y=f(x)与y=a|x|的图象,由图知,当a<0时,函数 y=f(x)与y=a|x|无交点;当a=0时,函数y=f(x)与y=a|x|有三个交点,故 a>0.当x>0,a≥2时,函数y=f(x)与y=a|x|有一个交点;当x>0,0<a<2时, 函数y=f(x)与y=a|x|有两个交点;当x<0时,若y=-ax与y=-x2-5x-4(4<x<-1)相切,则由Δ=0得a=1或a=9(舍).因此当x<0,a>1时,函数 y=f(x)与y=a|x|有两个交点;当x<0,a=1时,函数 y=f(x)与y=a|x|有三个交点;当x<0,0<a<1时, 函数y=f(x)与y=a|x|有四个交点.所以当且仅当 1<a<2时,函数y=f(x)与y=a|x|恰有4个零点. 答案:(1,2)



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