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东北三省四市教研联合体2016届高三数学第一次模拟考试试题 理



2016 年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一) 理科数学
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x<一 1 或 x>4) ,B={x|-2≤x≤3) ,那么阴影部分表示的集合为 A.{x|-2≤

x<4} B.{x|x≤3 或 x≥4} C. {x|-2≤x≤一 1} D. {x|-1≤x≤3} 2.若复数 z 满足 iz= 2-4i,则三在复平面内对应的点的坐标是 A.(2,4) B. (2,-4) C. (-4,-2) D. (-4,2) 3.右图所示的程序运行后输出的结果是 A.-5 B.-3 C.0 D.1 4.如图所示的数阵中,每行、每列的三个数均成等差数列, 如果数阵中所有数之和等于 63,那么 a52= A. 2 B. 8 C. 7 D. 4 5.“吸烟有害健康,吸烟会对身体造成伤害”,哈尔滨市于 2012 年 5 月 31 日规定室内场所禁止 吸烟.美国癌症协会研究表明,开始吸烟年龄(X)分别为 16 岁、18 岁、20 岁和 22 岁,其得 肺癌的相对危险度(Y)依次为 15.10、12.81、9.72、3.21;每天吸烟(U)10 支、20 支、30 支者,其 得肺癌的相对危险度(v)分别为 7.5、9.5 和 16.6.用 r1 表示变量 X 与 y 之间的线性相关系数,用 r2 表示变量 U 与 V 之间的线性相关系数,则下列说法正确的是 A.rl=r2 B.r1>r2>0 C.0<r1<r2 D.r1<0< r2 6.哈尔滨文化公同的摩天轮始建于 2003 年 1 月 15 日,2003 年 4 月 30 日 竣工,是当时中国第一高的巨型摩天轮.其旋转半径 50 米,最高点距地 面 110 米,运行一周大约 21 分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则 第 14 分钟时他距地面大约为( )米. A.75 B.85 C.100 D.110 7.原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”.当时 有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由 细到粗,满七进一,那么孩子已经出生多少天? A. 1326 B.510 C.429 D.336

x2 y 2 + =1 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(0,3)和 C(0,-3),顶点 B 在椭圆 16 25
1

上,则

sin( A ? C ) ? sin A ? sin C 3 4 A. B. 5 5 5 5 C. D. 4 3 3 4 5 C. 4
A. B.1 D.

9.如图是某一几何体的三视图,则该几何体的体积是

3 2
x

10.已知点(n,an)(n∈N*)在 y=e 的图象上,若满足 Tn=lna1+lna2+- - -+lnan>k 时 n 的最小值为 5, 则 k 的取值范围是 A.k< 15 B.k<10 C.l0≤k<15 D.l0<k<15

11.已知点 O 是△ABC 外心,AB=4,AO=3,则 AB ? AC 的取值范围是 A.[-4,24] B.[-8,20] C.[-8,12] D.[-4,20] 12.已知函数 f(x+2)是偶函数,且当 x>2 时满足 xf '(x)>2f '(x)+f(x)) ,则 A.2f(1)<f(4) B.2f(

uu u r uuu r

3 )>f(3) 2

C.f(0)<4f(

5 ) 2

D.f(1)<f(3))

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上. 13.二项式(x+

1 8 ) 的展开式中常数项为 3 x



14.在某次数学考试中,甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀.当他们被问到谁得到了优秀 时,丙说: “甲没有得优秀” ;乙说: “我得了优秀” ;甲说: “丙说的是真话” .事实证明:在这三 名同学中,只有一人说的是假话,那么得优秀的同学是____.

?x ? y ? 4 ? 0 ? 15.若函数 y=e -a(e 为自然常数)的图象上存在点(x,y)满足约束条件 ? y ? 1 ? 0 ,则实数 a ?x ? y ? 0 ?
x

的取值范围是 。 16.一个棱长为 5 的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小正四面体,若小正四面体 在纸盒内可以任意转动,则小正四面体的棱长的最大值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置. 17. (本小题满分 1 2 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (I)求

cos B ? 2 cos A cos C ? 2a ? b c

a 的值; b

(Ⅱ)若角 A 是钝角,且 c=3,求 b 的取值范围. 18. (本小题满分 1 2 分) 近两年双 11 网购受到广大市民的热捧.某网站为了答谢老顾客,在双 11 当天零点整,每个

2

金冠买家都可以免费抽取 200 元或者 500 元代金券一张,中奖率分别是

2 1 和 .每人限抽一 3 3

次,100%中奖.小张,小王,小李,小赵四个金冠买家约定零点整抽奖. (I)试求这 4 人中恰有 1 人抽到 500 元代金券的概率; (Ⅱ)这 4 人中抽到 200 元、500 元代金券的人数分别用 X、Y 表示,记 ? =XY,求随机变 量 ? 的分布列与数学期望. 19. (本小题满分 1 2 分) 如图,已知多面体 4 BCDEF 中,ABCD 为菱形,∠ABC=60°, AE⊥平面 ABCD,AE∥CF,AB=AE=1,AF⊥ BE. (I)求证:平面 BAF⊥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 B-AF-D 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 椭圆 C1:

1 x2 y 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的长轴长等于圆 C2:x2+y2=4 的直径,且 C1 的离心率等于 .直 2 2 a b

线 l1 和 l2 是过点 M(1,0)互相垂直的两条直线,l1 交 C1 于 A,B 两点,l2 交 C2 于 C,D 两点. (I)求 C1 的标准方程; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最大值. 21. (本小题满分 1 2 分) 2 3 设函数 f(x)=x 一 ln(x+a)+b,g(x)=x . (I)若函数 f(x)在点(0,f(0)) )处的切线方程为 x+y=0,求实数 a,b 的值; (Ⅱ)在(I)的条件下,当 x∈(0,+∞)时,求证:f(x)<g(x); (Ⅲ)证明:对于任意的正整数 n,不等式 成立.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图,已知线段 AC 为⊙O 的直径,P 为⊙O 的切线,切点为 A,B 为⊙O 上一点,且 BC∥PO. (I)求证:PB 为⊙O 的切线; (Ⅱ)若⊙O 的半径为 1,PA =3,求 BC 的长. 23. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 的参数方程为 ( 是参数) ,圆 C2 的参数

方程为



是参数) ,以 O 为极点,戈轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(I)求圆 C1,圆 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 ? = ? ( 0≤ ? <2 ? )同时与圆 C1 交于 O,M 两点,与圆 C2 交于 O,N 两点,求|OM|+|ON| 的最大值.
3

24. 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=|x-a|,函数 g(x)=|x+l|,其中 a 为实数. (I)A={x|f(x)≤2) ,B={x|g(x)+g(x-l)≤5},且 A 是 B 的子集,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若对任意的 x∈R,不等式 f(x)+g(x)>2a+1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2016 高三一模理科答案 1D 13 2 D 3B 4 C 5 D 6B 7 B 8A 16 9B 10C 11 D 12 A

5 28 14 丙 15 ? ?1,e ? 1? ?

5 3

17. (1)由正弦定理

? sin C cos B ? 2 sin C cos A ? 2 sin A cos C ? sin B cos C ????????..1 分
? sin C cos B ? sin B cosC ? 2(sin C cos A ? sin A cosC )

? sin?B ? C ? ? 2 sin? A ? C ?
?A? B ?C ?? ? sin A ? 2 sin B
(2) 由余弦定理

????????????????..3 分 ?????????????????4 分

?

a ?2 b

????????????????.5 分

b 2 ? 9 ? a 2 b 2 ? 9 ? 4b 2 9 ? 3b 2 cos A ? ? ? ?0 2b ? 3 18b 18b
?b ? c ? a ? b ? 3 ? 2b ? b ? 3②
由①②得 b 的范围是

?b ? 3 ① ?????8 分

????????????????.10 分

?
3

3,3

?

????????????12 分

18. (1)设“这 4 人中恰有 i 人抽到 500 元代金券”为事件 Ai ?????????..?1 分

32 ?1? ? 2? P? A1 ? ? C ? ? ? ? ? 81 ? 3? ? 3 ?
1 4

1

?????????...?4 分 ???????????.5 分
0 4 4 0 0 4

(2)易知 ? 可取 0,3,4

16 1 17 ?1? ? 2? 4?1? ? 2? P?? ? 0? ? P? A0 ? ? P? A4 ? ? C ? ? ? ? ? C4 ? ? ? ? ? ? ? 81 81 81 ? 3? ? 3 ? ? 3? ? 3 ? 32 8 40 ?1? ? 2? 3? 1? ? 2 ? P?? ? 3? ? P? A1 ? ? P? A3 ? ? C ? ? ? ? ? C4 ? ? ? ? ? ? ? 81 81 81 ? 3? ? 3 ? ? 3? ? 3 ?
1 4 1 3 3 1

4

24 8 2? 1? ? 2 ? P?? ? 4? ? P? A2 ? ? C4 ? ? ? ? ? ? 81 27 ? 3? ? 3?
? 分布列 ?
P
0 3 4

2

2

???????..9 分

17 81

40 81

24 81
??????????.11 分 ??????????.12 分

E ?? ? ? 0 ?

17 40 24 8 ? 3? ? 4? ? 81 81 81 3

19. (Ⅰ)证明:连 AC 交 BD 于 O ,则 BD ? AC ,?????????..?1 分 又 AE ? 面 ABCD , BD ? 面 ABCD ,则 BD ? AE ,?????????..?2 分 又 AC ? AE ? A 则 BD ? 面 EACF , AF ? 面 EACF ?????????..?3 分 则 BD ? AF . 又 AF ? BE , BD ? BE ? B ?????????..?4 分 所以 AF ? 面 BDE ,而 AF ? 面 BAF , 所以平面 BAF ? 平面 BDE .?????????..?5 分 (Ⅱ)以 O 为空间直角坐标系原点,以 OC 为 x ? 轴,以 OD 为 y ? 轴,以过 O 点平行于 AE 以为 z ? 轴 建立空间直角坐标系 xOy

1 3 1 3 1 A(? ,0,0), B(0,? ,0), F ( ,0, h), D(0, ,0), E (? ,0,1) ?????????..?6 分 2 2 2 2 2

1 3 AF ? (1,0, h), BE ? (? , ,1) 2 2
1 ? ? ?1 ? h ? 0 2 1 ? h ? ?????????..?7 分 2
求得平面 BAF 的法向量为 ( 3,1,?2 3) ?????????..?8 分 求得平面 AFD 的法向量为 ( 3,?1,?2 3) ?????????..?9 分 设所求二面角为 ? 则有 | cos? |?

7 ?????????..?10 分 8

又因为所求二面角为钝角?????????..?11 分

7 .?????????..?12 分 8 20. 解:(1)由题意 2a ? 4,? a ? 2 -----------1 分
所以所求二面角得余弦值为 ?
5

?

c 1 ? ,? c ? 1 -----------2 分 a 2

b ? 3 -----------3 分
所以 (2) ①直线 AB, CD 的斜率均存在时,设 AB : y ? k ( x ? 1) ,则 CD : y ? ?

x2 y 2 + =1 -----------4 分 4 3
1 ( x ? 1) k

? 8k 2 x ? x ? ? ? y ? k ( x ? 1) ? 1 2 3 ? 4k 2 2 2 2 ? 得 (3 ? 4 k ) x -8 k x ? 4 k ? 12 ? 0 ? ? 2 2 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? x x ? 4k ? 12 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 12(k 2 ? 1) ------------------------6 分 3 ? 4k 2
1 k 2 ?1

设圆心 (0, 0) 到直线 CD : x ? ky ? 1 ? 0 的距离 d ?
2

CD 4k 2 ? 3 -----------------------8 分 ? ? d 2 ? 4 , 得 CD ? 2 k 2 ?1 4
? AB ? CD ? S ABCD
整理得? S ABCD ? 12

1 12 k 2 ? 1 -----------------------9 分 ? AB ? CD ? 2 4k 2 ? 3
1 1 ? 4k 2 ? 3 ? 3 ? S ABCD ? 4 3 ----------------------10 分 ? 2 4 4(4k ? 3)

②当直线 AB 的斜率为 0 时,

| AB |? 4,| CD |? 2 3,?S ABCD ? 4 3
当直线 AB 的斜率不存在时, | AB |? 3,| CD |? 4,?S ABCD ? 6 ? 4 3 ----------------------11 分 综上,四边形 ABCD 的面积的最大值为 4 3 ----------------------12 分 21.(1) f ?( x ) ? 2 x ?

1 , ???1 分 x?a

1 ? ? ? f (0) ? ? ? ?1 依题意 ? ? a ? 1, b ? 0 ???3 分 a ? ? f (0) ? ? ln a ? b ? 0
(2)由(1)可知函数 f ( x ) ? x ? ln( x ? 1) .令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? x ? ln( x ? 1)
2 3 2

6

则 h?( x) ? ?3 x ? 2 x ?
2

1 3 x3 ? ( x ? 1) 2 ?? ,???5 分 x ?1 x ?1

显然,当 x ? (0, ??) 时, h?( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减 又 h(0) ? 0 ,所以,当 x ? (0, ??) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 , 即 f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立.故当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? g ( x)
2 3 2 3

???7 分

(3)由(2)知 x ? (0, ??), x ? ln( x ? 1) ? x , ? x ? x ? ln( x ? 1), x ? (0, ??) 即 (1 ? x) x ? ln( x ? 1), ???8 分
2

? x ? (0, ??), e(1?x) x ? x ?1 ,?当n ? N *时,e(1?n)n ? n ? 1 ,
? e0 ? e ?1?4 ? e ?2?9 ? ? ? e(1? n ) n ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? (n ? 1) ?
所以原不等式得证 ???12 分
2

2

2

???10 分

n(n ? 3) 2

1 ?AOB , 2 又? BC // PO ? ?POA ? ?BCA ,---------1 分
22. (1)连接 OB ,? ?BCA ?

? ?AOP ? ?BOP, 又 ? OA ? OB, OP ? OP

? ?AOP ? ?BOP ---------2 分 ? ?OAP ? ?OBP ,---------3 分 ? ?OBP ? 90? .---------4 分
得证 (2)连接 AB , ?ABC 为直角三角形 ? ?PAO ∽ ?ABC ---------6 分

?

BC AC ? ,---------8 分 OA OP

解得 BC ?

10 ---------10 分 5

23. 解: (1)圆 C1 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 3 ,圆 C2 : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ---------2 分 圆 C1 : ? ? 2 3 cos? ,圆 C2 : ? ? 2sin ? ------4 分 (2) ? ? ? 时,极坐标 M (2 3 cos ? , ? ) N (2sin ? , ? )

? OM ? ON ? 2 3 cos? ? 2sin ? ---------6 分
? OM ? ON ? 4sin(? ? ) ----------8 分 3 ? ? 7? ? ?? ? ? 3 3 3 ? ? ? 所以当 ? ? ? ,? ? , 时, | OM | ? | ON | 取得最大值为 4--------------10 分 3 2 6
7

?

24(1) A ? x a ? 2 ? x ? a ? 2 , ???1 分

?

?

B ? ? x ? 3 ? x ? 2? ???3 分
? A 是 B 的子集,? ?

?a ? 2 ? ?3 ? a?2?2

??1 ? a ? 0 ???5 分

(2)? f ( x) ? g ( x) ? x ? a ? x ?1 ? ( x ? a) ? ( x ?1) ? a ?1 ???7 分 当且仅当 ( x ? a)(x ? 1) ? 0 时等号成立 ???8 分 ???10 分

? a ? 1 ? 2a ? 1

解得a ? 0

8



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