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1.1 集合的概念与运算



1.1 集合的概念与运算
一、集合的含义与表示 1、集合的概念:集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 例 1、已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 3 2、常用数集及其记法: N 表示自然数集
N *或 N ? 表示正整数集

)

B.0 或 3

C.1 或 3

D.1 或 3

Z 表示整数集
Q 表示有理数集

R 表示实数集. 3、集合与元素间的关系:元素 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. 4、集合的表示法: ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的元素.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. 注意:研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表 示时,注意弄清其元素表示的意义是什么. 集合 集合的 意义 {x|f(x)=0} 方程 f(x)=0 的 解集 {x|f(x)>0} 不等式 f(x)>0 的 解集 {x|y=f(x)} 函数 y=f(x)的 定义域 {y|y=f(x)} 函数 y=f(x)的 值域 {(x,y)|y=f(x)} 函数 y=f(x)图 象上的点集 )

例 2、 已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为( A.3B.6C.8D.10 二、集合间的基本关系 5、子集、真子集、集合相等 名称 记号
A? B

意义 (1)A ? A (2) ? ? A

性质

示意图

子集

(或 B ? A)

A 中的任一元 (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C 素都属于 B (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B

B

A



A(B)

A?B 真子集
?

A (A 为非空子集) A ? B ,且 B (1) ?? ?
中至少有一元 (2)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C ? ? ? 素不属于 A A 中的任一元 素都属于 B, B (1)A ? B 中的任一元素 (2)B ? A 都属于 A
B A

(或 B ? A)
?

集合相等

A? B

A(B)

注意:①利用数形结合思想处理集合与集合之间的关系时,要注意数轴端点是实心还是空心. ②题目中若有条件 B?A,则应分 B=?和 B≠?两种情况讨论. 例 3、已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},则实数 m 的取值范围 ________. 6、已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2n 个子集,它有 2 n ? 1 个真子集,它有 2 n ? 1 个非空子集, 它有 2n ? 2 非空真子集. 例 4、集合{-1,0,1}共有____个子集,____个非空真子集 三、集合的基本运算 7、交集、并集、补集 名称 交集 记号
A? B

意义
{x | x ? A, 且 x ? B}

示意图

A

B

并集

A? B

{x | x ? A, 或 x ? B}

A

B

补集

?U A

{x | x ?U , 且x ? A}

例 5、若集合 A. B.

, C.

,则

( D.



例 6、已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x | ?2 ≤ x ≤ 3? ,B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ,那么集合 A ? (CU B) 等 于( ) A. ? x | ?2 ≤ x ? 4? B. ? x | x ≤ 3或x ≥ 4? C. ? x | ?2 ≤ x ? ?1? D. ? x | ?1 ≤ x ≤ 3? 例 7、已知集合 A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B=( )

A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]

D.[1,2) )

例 8、设集合 M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则 M∩N=( A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 四、以集合为背景的新定义题

紧扣新定义,首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具 体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. 例 9、在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k |n∈Z},k=0,1,2,3,4. 给出如下四个结论: ① 2011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”.? 其中,正确结论的个数是( A.1B.2C.3D.4 )

a+1 4 例 10、已知集合 M,若 a∈M,则 ∈M,则称 a 为集合 M 的“亮点”,若 M={x∈Z| ≥1}, a-1 4-x 则集合 M 中的“亮点”共有( )

A.2 个 B.3 个 C.1 个 D.0 个

练习题:
1.已知集合 A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} ) )

2.已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} )

3.设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0]

4.设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则 A∩B=( A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) )

)

5.已知集合 A={x|x2-x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B=( A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0}

6.设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x2≥5},则?UA=( A.? B.{2} C.{5} D.{2,5}

)

7.已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数 z=( A.-2iB.2iC.-4i D.4i

)

8.设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为( A.3 B.4 C.5 D.6 9.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D. 9 ) )

)

10.设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T=( A.(-2,1] B.(-∞,-4]C.(-∞,1] D.[1,+∞)

11.已知集合 A={(x,y)| x2+y2=1},B={(x,y)| y=x},则 A∩B 的元素个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 12.设集合 I={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则?IM=( A.{1,4} B.{1,5} C.{2,3} D.{3,4} ). ).

).

13.若集合 A={x||x|>1,x∈R},B={y|y=2x2,x∈R},则(?RA)∩B=( A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1} D.?



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