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九章算术(教师版)



九章算术与高考数学创新题
1. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节 的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升. 1.【解析】 设自上第一节竹子容量为 a1,则第九节容量为 a9,且数列{an}为等差数列. a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即 4a5

-10d=3, ① 3a5+9d=4, ② 联立①②解得 a5=

67 . 66

2.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年, 其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一 尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该 材料,锯口深 1 寸,锯道长 1 尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为 1 丈的圆柱形 木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分). 已知弦 AB=1 尺,弓形高 CD=1 寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) 5 (注:1 丈=10 尺=100 寸,π ≈3.14,sin 22.5°≈ ) 13 A.600 立方寸 B.610 立方寸 C.620 立方寸 D.633 立方寸 2. [解析] 连接 OA、OB,OD,设⊙Ο 的半径为 R, 则(R-1)2+52=R2,∴R=13. AD 5 sin∠AOD= = . ∴∠AOD=22.5°,即 ∠AOB=45°. AO 13 45π ×132 1 ∴S 弓形 ACB=S 扇形 OACB-S△OAB= - ×10×12≈6.33 平方寸. 360 2 ∴该木材镶嵌在墙中的体积为 V=S 弓形 ACB×100≈633 立方寸.选 D. 3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米 内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 3.【解析】依题意,这批米内夹谷约为

28 ?1534 ? 169 石,选 B. 考点:用样本估计总体. 254

4.我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为: 1 1 1 1 第一步:构造数列 1, , , ,?, .① 2 3 4 n 第二步:将数列①的各项乘以 n,得数列(记为)a1,a2,a3,?,an. 则 a1a2+a2a3+?+an-1an 等于( ) A.n2 B.(n-1)2 C.n(n-1) D.n(n+1) n n n n n n 1 1 1 4.【解析】 a1a2+a2a3+?+an-1an= · + · +?+ · =n2[ + +?+ ] 1 2 2 3 n-1 n 1·2 2·3 (n-1)n n-1 1 1 1 1 1 =n2[1- + - +?+ - ]=n2· =n(n-1). 2 2 3 n n n-1 5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一 种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸) 若π 取 3,其体积为 12.6(立方寸),则图中的 x 为________. 5. [解析] 由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成: 1 (5.4-x)×3×1+π ·( )2x=12.6,解得 x=1.6. 2
1

6.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一道名题,其内容为:“今有池方一丈,葭 生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与齐.问水深葭长各几何”意为:今有边长为 1 丈的正方形水池 的中央生长着芦苇,长出水面的部分为 1 尺,将芦苇牵引向池岸,恰巧与水岸齐接,问水深芦苇的长 度各是多少?将该问题拓展如图,记正方形水池的剖面图为 ABCD,芦苇根部 O 为 AB 的中点,顶端 为 P(注芦苇与水面垂直).在牵引顶端 P 向水岸边中点 D 的过程中,当芦苇经过 DF 的中点 E 时,芦 苇的顶端离水面的距离约为________尺.(注:1 丈=10 尺, 601≈24.5) 6. [解析] 设水深为 x,则 x2+52=(x+1)2,解得:x=12. ∴水深 12 尺,芦苇长 13 尺, 以 AB 所在的直线为 x 轴,芦苇所在的直线为 y 轴,建立直角坐标系, 在牵引过程中,P 的轨迹是以 O 为圆心,半径为 13 的圆,其方程为 x2+y2=169, (-5≤x≤5,12≤y≤13),① 5 24 E 点的坐标为(- ,12),∴OE 所在的直线方程为 y=- x,② 2 5 169×576 13×24 624 由①②联解得 y= ≈ = . 601 24.5 49 624 36 则此时芦苇的顶端到水面的距离为 -12= . 49 49 7. 《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早 1 千多年.例如堑堵指底面为直 角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖臑指四 个面均为直角三角形的四面体. 如图,在堑堵 ABCA1B1C1 中,AC⊥BC. (1)求证:四棱锥 BA1ACC1 为阳马,并判断四面体 A1CBC1 是否为鳖臑, 若是写出各个面的直角(只写出结论). (2)若 A1A=AB=2,当阳马 BA1ACC1 体积最大时. ①求堑堵 ABCA1B1C1 的体积;②求 C 到平面 A1BC1 的距离. 7. [解] (1)证明:由堑堵 ABCA1B1C1 的性质知:四边形 A1ACC1 为矩形. ∵A1A⊥底面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC⊥A1A,又 BC ⊥AC,A1A∩AC=A. A1A,AC?平面 A1ACC1. ∴BC⊥平面 A1ACC1, ∴四棱锥 BA1ACC1 为阳马, 且四面体 A1CBC1 为鳖臑,四个面的直角分别是∠A1CB,∠A1C1C,∠BCC1,∠A1C1B. (2)∵A1A=AB=2. 由(1)知阳马 BA1ACC1 的体积 1 1 2 1 1 4 V= S 矩形 A ACC ·BC= ×A1A×AC×BC= AC×BC≤ (AC2+BC2)= ×AB2= . 3 3 3 3 3 3 4 当且仅当 AC=BC= 2时, Vmax= ,此时 3 1 ①堑堵 ABCA1B1C1 的体积 V′=S△ABC·AA1= × 2× 2×2=2. 2 ②由题意与题图知, 1 2 V 三棱锥 BA AC=V 三棱锥 BA C C= V 阳马 BA ACC = . 2 3
1 1 1

1

1

1

1

又 A1C1= 2,BC1= BC +C1C = 6, 1 2 设 C 到平面 A1BC1 的距离为 d. 则 S△A BC ·d= . 3 3 1 1 2 4 2 即 · 2× 6·d= , ∴d= = 3. 3 2 3 2× 6 3
1 1

2

2

8. 我国古代数学名著 《九章算术》 中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,
2

16 V . 人们 9 还用过一些类似的近似公式. 根据 π =3.14159 ? 判断,下列近似公式中最精确的一个是 ( ) 3 21 3 16 3 300 V V V A. d ? B. d ? 3 2V C. d ? D. d ? 9 157 11 8.【解析】根据球的体积公式求出直径,然后选项中的常数为 a:b,表示出 π ,将四个选项逐一代入,

即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个近似公式 d ?

3

a 4? d 3 6V 设选项中的常数为 ,则可知 ( ) ?d ? 3 b 3 2 ? 6b 6?9 6 6 ?157 ?? , ? ? ? 3.375 , ? ? ? 3.14 , 选项 A 代入得 选项 B 代入得 π = =3, 选项 C 代入可知 a 16 2 300 6 ?11 ? ? ? 3.142857 ,故 D 的值接近真实的值,故选 D. 选项 D 代入可知 21
求出最接近真实值的那一个即可.由 V ? 9. 《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑, 如图 2,在鳖臑 PABC 中,PA ⊥平面 ABC,AB⊥BC,且 AP=AC=1,过 A 点分别作 AE ⊥ PB 于 E、 AF⊥PC 于 F,连接 EF 当△AEF 的面积最大时,tan∠BPC 的值是 A. 2 B.

2 2

C. 3

D.

3 3





9.【解】显然 BC ? 平面PAB ,则 BC ? AE ,又 PB ? AE ,则 AE ? 平面PBC ,故 AE ? EF , 且AE ? PC ,结合条件 AF ? PC 得 PC ? 平面AEF ,所以 △ AEF 、
1 1 1 1 AE ? EF≤ ( AE 2 ? EF 2 ) ? ( AF )2 ? ,当 2 4 4 8 2 1 且 仅 当 AE ? EF 时 , 取 “ = ”, 所 以 , 当 AE ? EF ? 时 , △ AEF 的 面 积 最 大 , 此 时 2 1 EF 2 ,故选 B. tan ?BPC ? ? 2 ? PF 2 2 2
△ PEF 均为直角三角形,由已知得 AF ?

2

,而 S△AEF ?

10. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题, 《张丘建算经》卷上第 22 题为: “今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布) ,第一天织 5 尺 布,现在一月(按 30 天计) ,共织 390 尺布” ,则从第 2 天起每天比前一天多织( )尺布. A.

1 2

B.

8 15

C.

16 31

D.

16 29

10.【解析】由题可知每天的织布量构成首项是 5,公差为 d 的等差数列,且前 30 项和为 390.根据等 差数列前 n 项和公式,有 390 ? 30 ? 5 ?

30 ? 29 16 d ,解得 d ? ,故选 D. 2 29

11.如图,在杨辉三角形中,斜线 l 的上方,从 1 开始箭头所示的数组成一个 锯齿形数列:1,3,3,4,6,5,10,?,记其前 n 项和为 Sn,则 S19 等于 ( ) A.129 B.172 C.228 D.283 11. 【 解 】 选 D.杨辉三角形的生成过程,n 为偶数时, an ? n 为奇数时,a1=1.a3=3,an+2=an+an-1=an+

n?3 , 2
3

n?4 , 2

∴a3-a2=2, a5-a3=3,?an-an-2=

n 2 ? 4n ? 3 n ?1 ,an= , 2 8

∴S19=a1+a3+?+a19+(a2+a4+?a18)=(1+3+6+?55)+(3+4+5+?+11)=220+63=283. , 12.公元前 3 世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出: “球的体积( V )与它的直径( D )的立 3 方成正比” ,此即 V ? kD ,欧几里得未给出 k 的值.17 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了 解,他们将体积公式 V ? kD3 中的常数 k 称为“立圆率”或“玉积率 ” .类似地,对于等边圆柱(轴截 面是正方形的圆柱) 、正方体也可利用公式 V ? kD3 求体 积(在等边圆柱中, D 表示底面圆的直径;在 正方体中, D 表示棱长) .假设运用此体积公式求得球(直径为 a ) 、等边圆柱(底面圆的直径为 a ) 、 正方体(棱长为 a )的“玉积率”分别为 k1 、 k2 、 k 3 ,那么 k1 : k2 : k3 ( )

: :1 6 4 6 4 3 4 3 4 ?a? ? 3 ? 12.【解析】选 D.?V1 ? ? R ? ? ? ? ? a ? k1 ? 3 3 ?2? 6 6
A. B.

1 1 1 : : 4 6 ?

? ?
:

:2

C. 2 : 3 : 2?

D.

? ?

? ? ?a? , ?V3 ? a3 ?k3 ? 1 ?V2 ? ? R a ? ? ? ? a ? a3 ? k1 ? 2 4 4 ? ? ? ?
2

2

k1 : k 2 :k 3?

: 6 4

:。 1 考点:类比推理

13 .图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法.若输入 m ? 209 , n ? 121 ,则输出的 m 的值为( ) A.0 B.11 C.22 D.88 13.【解析】第一次循环: m ? 121, n ? 88 ;第二次循环: m ? 88, n ? 33 ;第 三次循环: m ? 33, n ? 22 ;第四次循环: m ? 22, n ? 11 ;第五次循环: m ? 11, n ? 0 ;结束循环,输出 m ? 11, 选 B.

14.由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪,直到 1872 年,德国数 学家戴德金提出了“戴德金分割” ,才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金 分割,是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N ,且满足 M ? N ? Q ,M ? N ? ? , M 中 的每一个元素都小于 N 中的每一个元素,则称

? M , N ? ,下列选项中不可能成立的是(

? M , N ? 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割
B. M 没有最大元素, N 也没有最小元素 D. M 有一个最大元素, N 没有最小元素



A. M 没有最大元素, N 有一个最小元素 C. M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 14.【解析】设 一个最小元素,即选项 A 可能; M ? x x ?

M ? ?x x ? 10, x ?Q? , N ? ?x x ? 10, x ?Q?

?

2 , x ? Q , N ? x x ? 2 , x ? Q ,显然集合 M 中没有最大

元素,集合 N 中也没有最小元素,即选项 B 可能; ,显然集 合 M 中有一个最大元素,集合 N 中没有最小元素,即选项 D 可能;同时,假设答案 C 可能,即集合 M、 N 中存在两个相邻的有理数,显然这是不可能的,故选 C. 【方法点睛】创新题型,应抓住问题的本质,即理解题中的新定义,脱去其“新的外衣” ,转化为熟悉 的知识点和题型上来.本题即为,有理数集的交集和并集问题,只是考查两个子集中元素的最值问题, 即集合 M、N 中有无最大元素和最小元素.
4

M ? ?x x ? 10, x ?Q? , N ? ?x x ? 10, x ?Q?

? ?

,显然集合 M 中没有最大元素,集合 N 中有

?

15. (2013?湖北)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形 的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深 九寸,则平地降雨量是 _________ 寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 15.【解析】如图,由题意可知,天池盆上底面半径为 14 寸,下底面半径为 6 寸, 高为 18 寸.因为积水深 9 寸,所以水面半径为 则盆中水的体积为 所以则平地降雨量等于 (寸) . 寸. (立方寸) .

16.2002 年在北京召开的数学大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计 的。弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图) 。如 果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的角为 ? , 那么 cos 2? 的值为 ; 16.【解析】∵大正方形面积为 25,小正方形面积为 1, ∴大正方形边长为 5,小正方形的边长为 1.∴5cosθ -5sinθ =1,∴cosθ -sinθ =15 . ∴两边平方得:1-sin2θ =1/ 25 ,∴sin2θ =24/ 25 . ∵θ 是直角三角形中较小的锐角,∴0<θ <π / 4 ,0<2θ <π / 2 . ∴cos2θ =

1 ? sin 2 2? =

7 . 25

17. “斐波那契数列”是数学史上一个著名数列,在斐波那契数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 1 ? . an ? 2 ? an ?1 ? an (n ? N ? ) 则 a7 ? ____;若 a2017 ? m ,则数列 {an } 的前 2015 项和是_____(用 m 表示) 17. 【解析】a1 ? 1 ,a2 ? 1 ,a3 ? a2 ? a1 ? 1 ? 1 ? 2 ,a4 ? a3 ? a2 ? 2 ? 1 ? 3 ,a5 ? a4 ? a3 ? 3 ? 2 ? 5 ,

a6 ? a5 ? a4 ? 5 ? 3 ? 8 , a7 ? a6 ? a5 ? 8 ? 5 ? 13 ; a3 ? a2 ? a1 , a4 ? a3 ? a2 , a5 ? a4 ? a3 , a6 ? a5 ? a4 , a7 ? a6 ? a5 ; ??? a2015 ? a2014 ? a2013 , a2016 ? a2015 ? a2014 , a2017 ? a2016 ? a2015 ,
累加得 a2017 ? a2 ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? a2014 ? a2015 所以数列 {an } 的前 2015 项和是 m ? 1 .

18. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式 为:弧田面积= (弦?矢+矢 ).弧田(如图) ,由圆弧和其所对弦所围
2

成,公式中“弦”指圆弧所对弦长, “矢”等于半径长与圆心到弦的距 离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误 差.现有圆心角为 ,弦长等于 9 米的弧田.

(1)计算弧田的实际面积; (2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中 计算的弧田实际面积相差多少平方米?(结果保留两位小数) 18.【解析】(1) 扇形半径 扇形面积等于
5



2分 5分

弧田面积= (2)圆心到弦的距离等于 (弦?矢+矢 )=
2

(m ) ,所以矢长为

2

7分

.按照上述弧田面积经验公式计算得 . 平方米 10 分 12 分

按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 1.52 平米. 19.(2015· 高考湖北卷)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面 垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在 如图所示的阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,连接 DE , BD, BE . (Ⅰ)证明: DE ? 平面 PBC . 试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑,若是,写 出其每个面的直角(只需写出结论) ;若不是,请说明理由; V (Ⅱ)记阳马 P ? ABCD 体积为 V1 ,四面体 EBCD 的体积为 V 2 ,求 1 的值. V2 19.【解析】 (Ⅰ)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形,有 BC ? CD , 而 PD ? CD ? D ,所以 BC ? 平面 PCD . DE ? 平面 PCD ,所以 BC ? DE . 又因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC ? BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC . 由 BC ? 平面 PCD , DE ? 平面 PBC ,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直 DEC , ? DEB . 角分别是 ?BCD , ?BCE , ? 1 1 (Ⅱ)由已知, PD 是阳马 P ? ABCD 的高,所以 V1 ? S ABCD ? PD ? BC ? CD ? PD ;由(Ⅰ)知, DE 是 3 3 1 1 鳖 臑 D ? B C E 的 高 , BC ? CE , 所 以 V2 ? S?BCE ? DE ? BC ? CE ? DE . 在 Rt △ PDC 中 , 因 为 3 6 1 BC ? CD ? PD V1 3 2 2CD ? PD P D ? C D,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? CE ? CD ,于是 ? ? ? 4. 2 V2 1 BC ? CE ? DE CE ? DE 6 20.请阅读下列材料, “杨辉三角” (1261 年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653 年)早了 300 多 年(如表 1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了 下面的单位分数三角形(单位分数是 分子为 1,分母为正整数的分数),称为莱布尼兹三角形(如表 2)

表 1

表2
6

回答下列问题: (I)记 S n 为表 1 中第 n 行各个数字之和,求 S 4 , S 7 ,并归纳出 S n ; (II)根据表 2 前 5 行的规律依次写出第 6 行的数.

21.根据我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”求 99,36 的最大公约数的操作步骤为: (99,36)→(63,36)→(27,36)→(27,9)→(18,9)→(9,9) ,那么 99,36 的最大公约 数为( ) A.36 B.27 C.18 D.9 21.解:99﹣36=63, 63﹣36=27, 36﹣27=9, 27﹣9=18, 18﹣9=9. ∴99,36 的最大公约数为 9. ,故选 D. 点评:更相减损术的方法和步骤是:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以 大数减小数.继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止. 22.用辗转相除法求 1995 与 228 的最大公约数为 ;把 154( 6 ) 化二进制数为 .

22.【解析】 1995 ? 228 ? 8?171, 228 ?171 ? 1?57,171 ? 57 ? 3?0 ,所以最大公约数为 57

154(6) ? 1? 62 ? 5 ? 61 ? 4 ? 60 ? 70 ,化为二进制为 1000110
23.用辗转相除法求 459 与 357 的最大公约数,并用更相减损术检验 23.【解析】 (1)用辗转相除法求 459 和 357 的最大公约数:因为 459=357 ? 1+102 357=102 ? 3+51 102=51 ? 2 所以 459 和 357 的最大公约数是 51 (2) (1)中方法用更相减损术验证:因为 459-357=102 357-102=255 255-102=153 153-102=51 102-51=51 所以 459 和 357 的最大公约数是 51. 24.用秦九韶算法求多项式 f(x)=3x +2x ﹣8x+5 在 x=2 时的值. 5 3 24. 【解析】f(x)=3x +2x ﹣8x+5=( ( ( (3x+0)x+2)x+0)x﹣8)x+5 当 x=2 时, v0=3, v1=3×2=6, v2=6×2+2=14, v3=14×2=28, v4=28×2﹣8=48, v5=48×2+5=101,所以,当 x=2 时,多项式的值是 101.
5 3

7



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