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2014-2015学年重庆市南开中学高二(下)期中数学试卷(文科) Word版含解析



2014-2015 学年重庆市南开中学高二(下)期中数学试卷(文科)
一.选择题(共 12 题.每题 5 分,总分 60) 2 2 1. (2015 春?重庆校级期中)已知集合 A={(x,y)|x +y =1},集合 B={(x,y)|y=x},则 A∩B=的元素个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 解不

等式组求出元素的个数即可.

解答: 解:由

,解得:





∴A∩B 的元素的个数是 2 个, 故选:C. 点评: 本题考查了集合的运算,是一道基础题. 2. (2015 春?重庆校级期中)已知命题 P:?x0∈R,tanx0≥1,则它的否定为( ) A. ?x∈R,tanx≥1 B. ?x0∈R,tanx0>1 C. ?x∈R,tanx<1 D. ?x0∈R,tanx0<1 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可. 解答: 解:命题是特称命题,则命题的否定是全称命题为: ?x∈R,tanx<1, 故选:C 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 3. (2015 春?重庆校级期中)“m=1”是“函数 f(x)=(m ﹣4m+4)x ”为幂函数的( 条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的定义进行判断即可. 2 2 解答: 解:若“函数 f(x)=(m ﹣4m+4)x ”为幂函数, 2 2 则 m ﹣4m+4=1,即 m ﹣4m+3=0, 解得 m=1 或 m=3, 2 2 则“m=1”是“函数 f(x)=(m ﹣4m+4)x ”为幂函数的充分不必要条件,
2 2



故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合幂函数的定义是解决本题的关键.

4. (2015 春?重庆校级期中)已知函数 f(x)=

,那么 f(f( ) )=(



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中的函数解析式 f(x)= 到答案. 解答: 解:∵函数 f(x)= , ,将 x 值代入由内向外计算即可得

∴f(f( ) )=f( )= , 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是分类函数求值,难度不大,属于基础题. 5. (2011?辽宁)若函数 A. B. C. 为奇函数,则 a=( D. 1 )

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用奇函数的定义得到 f(﹣1)=﹣f(1) ,列出方程求出 a. 解答: 解:∵f(x)为奇函数 ∴f(﹣1)=﹣f(1) ∴ =

∴1+a=3(1﹣a) 解得 a= 故选 A 点评: 本题考查利用奇函数的定义:对定义域内任意的自变量 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x) 成立.

6. (2012?蓝山县校级模拟)函数 y=lgx﹣ 的零点所在的大致区间是(



A. (9,10)

(6,7)

B.(7,8)

C. (8,9) D.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 由于函数 y=f(x)=lgx﹣ 在(0,+∞)上是增函数,f(9)<0,f(10)>0,由 此得出结论. 解答: 解:由于函数 y=f(x)=lgx﹣ 在(0,+∞)上是增函数, f(9)=lg9﹣1<0,f(10)=1﹣ = >0,f(9)?f(10)<0,

故函数 y=lgx﹣ 的零点所在的大致区间是(9,10) , 故选 D. 点评: 本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题. 7. (2015 春?重庆校级期中)已知函数 f(x)=log2(x ﹣2x﹣3) ,则使 f(x)为减函数的 x 的区间是( ) A. (﹣∞,1) B.(﹣1,1) C. (1,3) D. (﹣∞,﹣l) 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 x ﹣2x﹣3>0 求出函数的定义域,在根据对数函数和二次函数的单调性,由“同 增异减”法则求出原函数的减区间. 2 解答: 解:由 x ﹣2x﹣3>0 解得,x>3 或 x<﹣1, 则函数的定义域是(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) , 2 2 令 y=x ﹣2x﹣3=(x﹣1) ﹣4,即函数 y 在(﹣∞,﹣1)是减函数,在(3,+∞)是增函 数, ∵函数 y=log2 在定义域上是增函数, ∴函数 f(x)的减区间是(﹣∞,﹣1) . 故选:D. 点评: 本题的考点是对数型复合函数的单调性,应先根据真数大于零求出函数的定义域, 这是容易忽视的地方,再由“同增异减”判断原函数的单调性. ], 则 y=f (x) 的定义域为 ( C. [0,2]
x 2 2

8. (2014?南宁一模) 已知 y=f ( A. 3] [﹣1,1]

) 的定义域为[﹣

, 2



B.[ ,2]

D. [0,

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由 y=f( 的定义域.

)的定义域知 x 的取值范围,从而求出

的取值范围,即得 y=f(x)

解答: 解:∵y=f( ∴﹣ ≤x≤2 2 ∴0≤x ≤8, ∴0≤ ≤2; ,

)的定义域为[﹣

,2

],

∴y=f(x)的定义域为[0,2]. 故选:C. 点评: 本题考查了求函数的定义域的问题,解题时应根据 y=f( 范围,求出函数的定义域,是基础题. )的定义域中 x 的取值

9. (2015 春?重庆校级期中)若方程 log2 围为( A. [log2 ,+∞] ) [1,2]

=m 在 x∈[1,2]上有解,则实数 m 的取值范

B.[log2 ,log ]

C. [﹣∞,log2 ] D.

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 =2 ,再由 ≤
m

≤ 可得 ≤2 ≤ ;从而解得.

m

解答: 解:∵log2

=m,



=2 ,

m

又∵

=1﹣



又∵x∈[1,2], ∴ ≤
m

≤ ;

∴ ≤2 ≤ ;

∴m∈[log2 ,log ], 故选 B. 点评: 本题考查了对数运算与指数运算的应用,属于基础题.

10. (2015 春?重庆校级期中)若函数 f(x)=

在区间[﹣2,2]上的最大

值为 1,则实数 a 的取值范围是( A. [3,+∞] ∞,4]

) B.[0,3] C. [﹣∞,3] D. [﹣

考点: 分段函数的应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 0 分析: 由分段函数知,当 x=0 时,e =1,故只需 a﹣2≤1 即可. x 0 解答: 解:当 x≤0,e ≤e =1, 当 x>0 时, a﹣x﹣ =a﹣(x+ )≤a﹣2; (当且仅当 x= ,即 x=1 时,等号成立) 故 a﹣2≤1; 故 a≤3; 故选 C. 点评: 本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用,属于基础题. 11. (2014?呼和浩特一模)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2e)=﹣f(x) (其中 e 为自然对数的底) ,且在区间[e,2e]上是减函数,又 a=lg6,b=log23, ( ) 1,则有( ) A. f(a)<f(b)<f(c) B. C. f(c)<f(a)<f(b) D.
c﹣2

<1 且 lnc<

f(b)<f(c)<f(a) f(c)<f(b)<f(a)

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,得到函数的对称性,利用 a,b,c 的大小 关系结合函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:由( )
c﹣2

<1 且 lnc<1 得 2<c<e,

∵f(x)是奇函数, ∴f(x+2e)=﹣f(x)=f(﹣x) , ∴函数 f(x)关于 x=e 对称, ∵f(x)在区间[e,2e]上是减函数,

∴f(x)在区间[0,e]上是增函数, ∵0<lg6<1,1<log23<2, ∴0<a<b<c, ∵f(x)在区间[0,e]上是增函数, ∴f(a)<f(b)<f(c) , 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较, 根据函数的对称性和单调性之间的关系是解决本 题的关键,综合考查了函数的性质. 12. (2015 春?重庆校级期中)已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)

=

,则函数 g(x)=xf(x)﹣1 在[﹣6,+∞)上的所有零点之和

为( ) A.

7

B.

8

C.

9

D. 10

考点: 函数的零点与方程根的关系;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知可分析出函数 g (x) 是偶函数, 则其零点必然关于原点对称, 故g (x) 在[﹣ 6,6]上所有的零点的和为 0,则函数 g(x)在[﹣6,+∞)上所有的零点的和,即函数 g(x) 在(6,+∞)上所有的零点之和,求出(6,+∞)上所有零点,可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) . 又∵函数 g(x)=xf(x)﹣1, ∴g(﹣x)=(﹣x)f(﹣x)﹣1=(﹣x)[﹣f(x)]﹣1=xf(x)﹣1=g(x) , ∴函数 g(x)是偶函数, ∴函数 g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的. ∴函数 g(x)在[﹣6,6]上所有的零点的和为 0, ∴函数 g(x)在[﹣6,+∞)上所有的零点的和,即函数 g(x)在(6,+∞)上所有的零点 之和.

由 0<x≤2 时,f(x)=2

|x﹣1|﹣1

,故有 f(x)=



∴函数 f(x)在(0,2]上的值域为[ ,1],当且仅当 x=2 时,f(x)=1. 又∵当 x>2 时,f(x)= f(x﹣2) , ∴函数 f(x)在(2,4]上的值域为[ , ], 函数 f(x)在(4,6]上的值域为[ , ],

函数 f(x)在(6,8]上的值域为[ 函数 f(x)在(8,10]上的值域为[

, ],当且仅当 x=8 时,f(x)= , , ],当且仅当 x=10 时,f(x)= ,

故 f(x)< 在(8,10]上恒成立,g(x)=xf(x)﹣1 在(8,10]上无零点, 同理 g(x)=xf(x)﹣1 在(10,12]上无零点, 依此类推,函数 g(x)在(8,+∞)无零点. 综上函数 g(x)=xf(x)﹣1 在[﹣6,+∞)上的所有零点之和为 8, 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的零点,函数的图象和性质,其中在寻找 (6,+∞)上零点个数时,难度较大,故可以用归纳猜想的方法进行处理. 二.填空题(共 4 题,每题 5 分,总分 20) 13. (2009?浦东新区校级三模)不等式 的解集是 (1,7] .

考点: 一元二次不等式的应用;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 把原不等式的右边移项到左边,通分计算后,在不等式两边同时除以﹣1,不等号 方向改变得到 x﹣7 与 x﹣1 异号, 然后转化为两个一元一次不等式组, 求出不等式组的解集 即为原不等式的解集. 解答: 解:不等式 移项得: ,即 , ,

解得:1<x≤7, 则原不等式的解集为(1,7]. 故答案为: (1,7]. 点评: 此题考查了其他不等式的解法, 考查了转化及分类讨论的数学思想, 是高考中常考 的题型.学生进行不等式变形,在不等式两边同时除以﹣1 时,注意不等号方向要改变. 14. (2012?黑龙江)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y=4x﹣3 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 先求导函数,求出切线的斜率,再求切线的方程. 解答: 解:求导函数,可得 y′=3lnx+4, 当 x=1 时,y′=4, ∴曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y﹣1=4(x﹣1) ,即 y=4x﹣3. 故答案为:y=4x﹣3. 点评: 本题考查导数的几何意义,考查点斜式求直线的方程,属于基础题.

15. (2015 春?重庆校级期中) 若实数 x, y 满足: x +y =4, 则 x ﹣3y+2 的最大值为:

2

2

2



考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 化简表达式为 y 的二次函数,利用 y 的范围以及二次函数的最值求解即可. 解答: 解:实数 x,y 满足:x +y =4,可得 y∈[﹣2,2]. 2 2 则 x ﹣3y+2=﹣y ﹣3y+6 =﹣(y﹣ ) +6+ ≤
2 2 2



当且仅当 y= 时,表达式取得最大值. 故答案为: .

点评: 本题考查函数的最值,圆的方程的应用,考查计算能力. 16. (2015?梅州一模)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+a ﹣1,若关于 x 的不等式 f(f(x) )<0 的解集为空集,则实数 a 的取值范围是 a<﹣2 . 考点: 其他不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)<0 解得 a﹣1<x<a+1,不等式 f(f(x) )<0?a﹣1<f(x)<a+1,原 不等式的解集为空集,得到 a﹣1<f(x)<a+1 解集为空集,那么(a﹣1,a+1)与值域的 交集为空集,求出 a 的范围. 解答: 解:f(x)=x ﹣2ax+a ﹣1=x ﹣2ax+(a﹣1) (a+1)=[x﹣(a﹣1)][x﹣(a+1)] 由 f(x)<0 即[x﹣(a﹣1)][x﹣(a+1)]<0 解得 a﹣1<x<a+1, 那么不等式 f(f(x) )<0?a﹣1<f(x)<a+1 (*) 2 又 f(x)=(x﹣a) ﹣1 当 x=a 时,f(x)取得最小值﹣1 即函数的值域为[﹣1,+∞) 若原不等式的解集为空集,则(*)的解集为空集, 那么(a﹣1,a+1)与值域的交集为空集 所以 a+1≤﹣1 所以 a≤﹣2. 故答案为:a≤﹣2. 点评: 本题考查了由一元二次不等式的解集求 参数的范围,属于中档题. 三.解答题 x 17. (2014 秋?莲湖区校级期末)已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=c 在 R 上单调递减;q: 函数 f(x)=x ﹣2cx+1 在( ,+∞)上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围.
2 2 2 2 2 2

考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x 2 分析: 由函数 y=c 在 R 上单调递减,知 p:0<c<1,¬p:c>1;由 f(x)=x ﹣2cx+1 在( ,+∞)上为增函数,知 q:0<c≤ ,¬q:c> 且 c≠1.由“p 或 q”为真,“p 且 q”为 假,知 p 真 q 假,或 p 假 q 真,由此能求出实数 c 的取值范围. 解答: 解∵函数 y=c 在 R 上单调递减,∴0<c<1. (2 分) 即 p:0<c<1, ∵c>0 且 c≠1,∴¬p:c>1. (3 分) 又∵f(x)=x ﹣2cx+1 在( ,+∞)上为增函数,∴c≤ . 即 q:0<c≤ , ∵c>0 且 c≠1,∴¬q:c> 且 c≠1. 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 真 q 假,或 p 假 q 真. (6 分) ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩{c|c> ,且 c≠1}={c| ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩{c|0<c 综上所述,实数 c 的取值范围是{c| }=?.[] }. }. (8 分)
2 x

点评: 本题考查复合命题的真假判断及应用, 解题时要认真审题, 注意指数函数和二次函 数的性质的灵活运用.
3

18. (2015 春?重庆校级期中)设 f(x)=x ﹣ 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

﹣2x+5,当 x∈[﹣2,2]时,f(x)﹣m>

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由已知条件得,m<f(x) ,x∈[﹣2,2],只要 m<f(x)min 即可,所以求 f′(x) , 根据极小值的概念,求 f(x)在[﹣2,2]上的极小值,并比较端点值得到 f(x)在[﹣2,2] 上的最小值 f(x)min=﹣1,所以 m<﹣1,所以实数 m 的取值范围便是(﹣∞,﹣1) . 解答: 解:由已知条件得,x∈[﹣2,2]时,m<f(x)恒成立,∴m<f(x)min,x∈[﹣2, 2]; f′(x)=3x ﹣x﹣2,令 f′(x)=0 得,x=﹣ ,或 1; ∴ (x)>0; 时,f′(x)>0,x 时,f′(x)<0,x∈(1,2]时,f′
2

∴f(x)在[﹣2,2]上的,极小值是 f(1)= ,又 f(﹣2)=﹣1; ∴在[﹣2,2]上,f(x)min=﹣1,∴m<﹣1; ∴实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣1) . 点评: 考查极小值的概念及求解过程,以及最小值的求解方法. 19. (2010?重庆)已知函数 f(x)=ax +x +bx(其中常数 a,b∈R) ,g(x)=f(x)+f′(x) 是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;奇函数. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: (Ⅰ)由 f'(x)=3ax +2x+b 得 g(x)=fax +(3a+1)x +(b+2)x+b,再由函数 g (x)是奇函数,由 g(﹣x)=﹣g(x) ,利用待系数法求解. (2)由(1)知 ,再求导 g'(x)=﹣x +2,由 g'(x)≥0 求得增区间,
2 3 2

由 g'(x)≤0 求得减区间;求最值时从极值和端点值中取. 2 解答: 解: (1)由题意得 f'(x)=3ax +2x+b 3 2 因此 g(x)=f(x)+f'(x)=ax +(3a+1)x +(b+2)x+b 因为函数 g(x)是奇函数,所以 g(﹣x)=﹣g(x) , 3 2 3 2 即对任意实数 x,有 a(﹣x) +(3a+1) (﹣x) +(b+2) (﹣x)+b=﹣[ax +(3a+1)x +(b+2) x+b] 从而 3a+1=0,b=0, 解得 (2)由(Ⅰ)知 所以 g'(x)=﹣x +2,令 g'(x)=0 解得 则当 时,g'(x)<0 从而 g(x)在区间 , 上是减函数, 当 , 从而 g(x)在区间 上是增函数, 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 而 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 , ,最小值为 .
2

,因此 f(x)的解析表达式为 ,



时取得,

点评: 本题主要考查构造新函数,用导数研究函数的单调性和求函数的最值. 20. (2015 春?重庆校级期中)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣3 (1)求 f(x)在(e,f(e) )处的切线方程
2

(2)若存在 x∈[1,e]时,使 2f(x)≥g(x)恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导函数,确定切线的斜率,即可求 f(x)在(e,f(e) )处的切 线方程 (2)先把不等式 2f(x)≥g(x)成立转化为 a≤2lnx+x+ 成立,设 φ(x)=2lnx+x+ ,x∈[1, e],利用导函数求出 φ(x)在 x∈[1,e]上的最大值即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由 f(x)=xlnx,可得 f'(x)=lnx+1, 所以 f'(e)=2,f(e)=2. 所以 f(x)在(e,f(e) )处的切线方程为 y﹣e=2(x﹣e) ,即 y=2x﹣e; (2)令 h(x)=2f(x)﹣g(x)=2xlnx+x ﹣ax+3≥0, 则 a≤2lnx+x+ , 令 φ(x)=2lnx+x+ ,x∈[1,e],
2

∵φ′(x)=

≥0,

∴φ(x)在[1,e]上单调递增, ∴φmax(x)=φ(e)=2+e+ , ∴a≤2+e+ . 点评: 本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题.当 a≥h(x) 恒成立时,只需要求 h(x)的最大值;当 a≤h(x)恒成立时,只需要求 h(x)的最小值. 21. (2014 春?涡阳县校级期末)已知函数 (Ⅰ)若 f(x)在(2,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f(x)在(0,e)内有极小值 ,求 a 的值. (a∈R) .

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ) 由于 f (x) 在 (2, +∞) 上单调递增, 可得 在(2,+∞)恒成立,即 x ﹣(a+1)x+a≥0 在(2,+∞)恒成立,通过分离参数即可得出;
2

(II)f(x)定义域为(0,+∞) , 过对 a 与 1 的大小关系分类讨论,研究函数是否在(0,e)内有极小值 ,即可.

.通

解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)在(2,+∞)上单调递增,∴ 在(2,+∞)恒成立, 2 2 即 x ﹣(a+1)x+a≥0 在(2,+∞)恒成立,即(1﹣x)a+x ﹣x≥0 在(2,+∞)恒成立, 2 即(1﹣x)a≥x﹣x 在(2,+∞)恒成立,即 a≤x 在(2,+∞)恒成立, ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]. (Ⅱ)f(x)定义域为(0,+∞) , ①当 a>1 时,令 f'(x)>0,结合 f(x)定义域解得 0<x<1 或 x>a, ∴f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减, 此时 , 矛盾. ,

若 f(x)在(0,e)内有极小值 ,则 1<a<e,但此时 ②当 a=1 时,此时 f'(x)恒大于等于 0,不可能有极小值. ③当 a<1 时,不论 a 是否大于 0,f(x)的极小值只能是 令 ,即 a=﹣1,满足 a<1. ,

综上所述,a=﹣1. 点评: 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分离参数法、分类讨论 的思想方法等基础知识与基本方法,属于难题. 22. (2015 春?重庆校级期中)已知函数 f(x)=ax +1,g(x)=x +bx,其中 a>0,b>0. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点 p(2,c)处有相同的切线(p 为切点) , 求实数 a,b 的值. (2)令 h(x)=f(x)+g(x) ,若函数 h(x)的单调减区间为[﹣ ,﹣ ①求函数 h(x)在区间(﹣∞,﹣1]上的最大值 M(a) . ②若|h(x)|≤3 在 x∈[﹣2,0]上恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)根据曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(2,c)处具有公共切线, 可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求 a、b 的值; ];
2 3

(2)①根据函数 h(x)的单调递减区间为[﹣ ,﹣
3 2 2

]得出 a =4b,构建函数 h(x)=f(x)

2

+g(x)=x +ax + a x+1,求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类 讨论,确定函数在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值. ②由①知,函数 h(x)在(﹣∞,﹣ )单调递增,在(﹣ ,﹣ )单调递减,在(﹣ , +∞)上单调递增,从而得出其极大值、极小值,再根据|h(x)|≤3,在 x∈[﹣2,0]上恒成立, 建立关于 a 的不等关系,解得 a 的取值范围即可. 2 3 解答: 解: (1)f(x)=ax +1(a>0) ,则 f′(x)=2ax,k1=4a,g(x)=x +bx,则 f′(x) 2 =3x +b,k2=12+b, 由(2,c)为公共切点,可得:4a=12+b; 又 f(2)=4a+1,g(2)=8+2b, ∴4a+1=8+2b,与 4a=12+b 联立可得:a=
3 2

,b=5;

(2)①由 h(x)=f(x)+g(x)=x +ax +bx+1, 2 则 h′(x)=3x +2ax+b, 因函数 h(x)的单调递减区间为[﹣ ,﹣ 立, 此时,x=﹣
3

],∴当 x∈[﹣ ,﹣

]时,3x +2ax+b≤0 恒成

2

是方程 3x +2ax+b=0 的一个根,得 3(﹣
2 2

2

) +2a(﹣

2

)+b=0,得 a =4b,

2

∴h(x)=x +ax + a x+1; 令 h′(x)=0,解得:x1=﹣ ,x2=﹣ ; ∵a>0,∴﹣ <﹣ ,列表如下: x +∞) h′(x) h(x) (﹣∞,﹣ ) ﹣ (﹣ ,﹣ ) ﹣ (﹣ ,

+

﹣ 极大值

+ 极小值

∴原函数在(﹣∞,﹣ )单调递增,在(﹣ ,﹣ )单调递减,在(﹣ ,+∞)上单调 递增; 若﹣1≤﹣ ,即 a≤2 时,最大值为 h(﹣1)=a﹣ ;

若﹣ <﹣1<﹣ ,即 2<a<6 时,最大值为 h(﹣ )=1; 若﹣1≥﹣ 时,即 a≥6 时,最大值为 h(﹣ )=1.

综上所述:当 a∈(0,2]时,最大值为 h(﹣1)=a﹣ (﹣ )=1.

;当 a∈(2,+∞)时,最大值为 h

②由①知,函数 h(x)在(﹣∞,﹣ )单调递增,在(﹣ ,﹣ )单调递减,在(﹣ , +∞)上单调递增; 故 h(﹣ )为极大值,h(﹣ )=1;h(﹣ )为极小值,h(﹣ )=﹣ ∵|h(x)|≤3,在 x∈[﹣2,0]上恒成立,又 h(0)=1. +1;





∴a 的取值范围:4﹣2 ≤a≤6. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题 的关键是正确求出导函数和应用分类讨论的方法.



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