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上海市十三校2016届高三数学第二次(3月)联考试题 文



上海市十三校 2016 届高三数学第二次(3 月)联考试题 文

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.若行列式 ,则 x= .

2.二次项(2x﹣

)6 展开式中的常数项为

. , 则椭圆的标准方程为 },则 A∩B= . . .

3. 若椭圆

的焦点在 x 轴上, 焦距为 2, 且经过 4.若集合 A={x||x﹣3|<2},集合 B={x| 5.△ABC 中, ,BC=3, ,则∠C=

6.从 3 名男同学,2 名女同学中任选 2 人参加体能测试,则选到的 2 名同学至少有一名女同学 的概率是 .

7.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,点 E 为棱 AA1 的中点,则异面直线 B1D1 与 DE 所成角的大小是 (结果用反三角函数值表示)

8.若不等式 a +b ≥2kab 对任意 a、b∈R 都成立,则实数 k 的取值范围是

2

2



9.若变量 x,y 满足约束条件

,且 z=2x+y 的最小值为﹣6,则 k=



10.设函数 f(x)=( )x 的图象与直线 y=5﹣x 交点的横坐标为 x1、x2,函数 g(x)=log 的图象与直线 y=5﹣x 交点的横坐标为 x3,x4 则 x1+x2+x3+x4 的值为 .

x

11.对于数列{an}满足:a1=1,an+1﹣an∈{a1,a2,?an}(n∈N+),记满足条件的所有数列{an} 中,a10 的最大值为 a,最小值为 b,则 a﹣b= .

12.定义在 R 上的奇函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,且 f(2)=0,则不等式 xf(x ﹣1)≥0 的解集为 .

1

13.已知正三角形 A1A2A3,A4、A5、A6 分别是所在棱的中点,如图,则当 1≤i≤6,1≤j≤6,且 i≠j 时,数量积 ? 的不同数量积的个数为 .

14.设函数 f(x)的定义域为 D,记 f(X)={y|y=f(x),x∈X? D},f﹣1(Y)={x|f(x)∈Y, x∈D},若 f(x)=2sin(ω x+ 的取值范围是 . )(ω >0),D=[0,π ],且 f(f ([0,2])=[0,2],则 ω
﹣1

二、选择题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 15.二元一次方程组 A.系数行列式 D≠0 B.比例式 存在唯一解的必要非充分条件是( )

C.向量

不平行

D.直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行 16.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )

A.

B.

C.

D.

2

17.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,?600,采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区, 从 301 到 495 住在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( A.26,16,8, B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 )

18.点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离,那么平面内到定圆 C 的距离与到定点 A 的距离相等的点的轨迹不可能是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线 )

三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) 19.用铁皮制作一个容积为 cm 的无盖圆锥形容器,如图,若圆锥的母线与底面所称的
3

角为 45°,求制作该容器需要多少面积的铁皮(铁皮街接部分忽略不计,结果精确到 0.1cm2)

20.复数 z1=2sin

,z2=1+(2cosθ )i,i 为虚数单位,θ ∈[

];

(1)若 z1?z2 是实数,求 cos2θ 的值; (2)若复数 z1、z2 对应的向量分别是 、 ,存在 θ 使等式( 立,求实数 λ 的取值范围. 21.已知{an}是等差数列,a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=bncosnπ ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn,并判断是否存在正整数 m,使得 Sm=2016?若 存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 22.已知抛物线 ρ :x2=4y,P(x0,y0)为抛物线 ρ 上的点,若直线 l 经过点 P 且斜率为 , )?( )=0 成

则称直线 l 为点 P 的“特征直线”.设 x1、x2 为方程 x2﹣ax+b=0(a,b∈R)的两个实根,记 r(a, b)= .

(1)求点 A(2,1)的“特征直线”l 的方程

3

(2)己知点 G 在抛物线 ρ 上,点 G 的“特征直线”与双曲线

经过二、四象限的渐

进线垂直,且与 y 轴的交于点 H,点 Q(a,b)为线段 GH 上的点.求证:r(a,b)=2 (3)已知 C、D 是抛物线 ρ 上异于原点的两个不同的点,点 C、D 的“特征直线”分别为 l1、 l2,直线 l1、l2 相交于点 M(a,b),且与 y 轴分别交于点 E、F.求证:点 M 在线段 CE 上的充要条 件为 r(a,b)= (其中 xc 为点 C 的横坐际).

23.已知 μ (x)表示不小于 x 的最小整数,例如 μ (0.2)=1. (1)当 x∈( ,2)时,求 μ (x+log2x)的取值的集合; (2)如函数 f(x)= 有且仅有 2 个零点,求实数 a 的取值范围;
+

(3)设 g(x)=μ (xμ (x)),g(x)在区间(0,n](n∈N )上的值域为 Ma,集合 Ma 中的 元素个数为 an,求证: .

4

2016 年上海市十三校联考高考数学二模试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.若行列式 【考点】二阶矩阵. 【专题】计算题. 【分析】先根据行列式的计算公式进行化简,然后解指数方程即可求出 x 的值. 【解答】解:∵ ∴2×2 ∴x=2 故答案为:2 【点评】本题主要考查了行列式的基本运算,同时考查了指数方程,属于基础题.
x﹣1

,则 x= 2 .



﹣4=0 即 x﹣1=1

2.二次项(2x﹣

) 展开式中的常数项为 ﹣20 .

6

【考点】二项式系数的性质. 【专题】对应思想;定义法;二项式定理. 【分析】根据二次项展开式的通项公式,写出含 x 项的指数,令指数为 0 求出 r 的值,再计算 二项展开式中的常数项. 【解答】解:二次项(2x﹣ Tr+1= ?(2x)6﹣r? )6 展开式中的通项公式为: = ?26﹣r? ?x6﹣2r,

由 6﹣2r=0 得:r=3; ∴ ?2 ? 故答案为:﹣20.
5
3

二项展开式中的常数项为: =﹣20.

【点评】本题考查了二项式系数的性质问题,利用二项展开式的通项公式求出 r 的值是解题的 关键,是基础题.

3. 若椭圆的焦点在 x 轴上, 焦距为 2, 且经过 【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】先根据椭圆的焦点位置,求出半焦距,经过 求短半轴,从而写出椭圆的标准方程. 【解答】解:由题意知,椭圆的焦点在 x 轴上,c=1,a= ∴b =4, 故椭圆的方程为为
2

, 则椭圆的标准方程为



的椭圆的长半轴等于

,可



故答案为:



【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结 合思想,属于基础题.用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法.

4.若集合 A={x||x﹣3|<2},集合 B={x| 【考点】交集及其运算. 【专题】集合思想;定义法;集合.

},则 A∩B= [4,5) .

【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:﹣2<x﹣3<2, 解得:1<x<5,即 A=(1,5), 由 B 中不等式变形得:x(x﹣4)≥0,且 x≠0, 解得:x<0 或 x≥4,即 B=(﹣∞,0)∪[4,+∞), 则 A∩B=[4,5), 故答案为:[4,5) 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

6

5.△ABC 中, 【考点】正弦定理. 【专题】计算题.

,BC=3,

,则∠C=



【分析】由 A 的度数,求出 sinA 的值,设 a=BC,c=AB,由 sinA,BC 及 AB 的值,利用正弦定 理求出 sinC 的值,由 c 小于 a,根据大边对大角得到 C 小于 A 的度数,得到 C 的范围,利用特殊角 的三角函数值即可求出 C 的度数. 【解答】解:由 根据正弦定理 = ,a=BC=3,c= 得: ,

sinC=

=



又 C 为三角形的内角,且 c<a, ∴0<∠C< 则∠C= . ,

故答案为: 【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,正弦定理很好的建立了三角形的边 角关系,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,同时注意判断 C 的范围.

6.从 3 名男同学,2 名女同学中任选 2 人参加体能测试,则选到的 2 名同学至少有一名女同学 的概率是 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】先求出基本事件总数,由选到的 2 名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的 2 名 同学都是男同学,利用对立事件概率计算公式能求出选到的 2 名同学至少有一名女同学的概率. 【解答】解:从 3 名男同学,2 名女同学中任意 2 人参加体能测试, 基本事件总数 n= ,

选到的 2 名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的 2 名同学都是男同学,
7

∴选到的 2 名同学至少有一名女同学的概率: p=1﹣ = .

故答案为:



【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的 合理运用.

7.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,点 E 为棱 AA1 的中点,则异面直线 B1D1 与 DE 所成角的大小是 arccos (结果用反三角函数值表示)

【考点】异面直线及其所成的角;反三角函数的运用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间角. 【分析】以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空是直角坐标系,利用向量法 能求出异面直线 B1D1 与 DE 所成角的大小. 【解答】解:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空是直角坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2, 则 B1(2,0,2),D1(0,2,2),D(0,2,0),E(0,0,1), =(﹣2,2,0), =(0,﹣2,1),

设异面直线 B1D1 与 DE 所成角为 θ , cosθ = = = ,

∴θ =arccos

. .

∴异面直线 B1D1 与 DE 所成角的大小是 arccos 故答案为:arccos .

8

【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法 的合理运用.

8.若不等式 a2+b2≥2kab 对任意 a、b∈R 都成立,则实数 k 的取值范围是 [﹣1,1] . 【考点】基本不等式. 【专题】计算题;函数思想;综合法;不等式. 【分析】化简 a +b ﹣2kab=(a﹣kb) +b ﹣k b ,从而可得 b ﹣k b ≥0 恒成立,从而解得. 【解答】解:∵a +b ﹣2kab=(a﹣kb) +b ﹣k b , ∴对任意 k,b,都存在 a=kb; ∴不等式 a2+b2≥2kab 对任意 a、b∈R 都成立可化为: b ﹣k b ≥0 恒成立, 即 1﹣k ≥0 成立, 故 k∈[﹣1,1], 故答案为:[﹣1,1]. 【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

9.若变量 x,y 满足约束条件

,且 z=2x+y 的最小值为﹣6,则 k= ﹣2 .

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即先确定 z 的最优解, 然后确定 k 的值即可.
9

【解答】解:作出不等式对应的平面区域,(阴影部分) 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最小,此 时 z 最小. 目标函数为 2x+y=﹣6, 由 ,解得 ,

即 A(﹣2,﹣2), ∵点 A 也在直线 y=k 上, ∴k=﹣2, 故答案为:﹣2.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

10.设函数 f(x)=( )x 的图象与直线 y=5﹣x 交点的横坐标为 x1、x2,函数 g(x)=log 的图象与直线 y=5﹣x 交点的横坐标为 x3,x4 则 x1+x2+x3+x4 的值为 10 . 【考点】函数的图象;函数的零点与方程根的关系. 【专题】计算题;规律型;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】x1、x2 是( ) =5﹣x 的两个根,得到 x1=5﹣
x

x

,x2=5﹣

,再根据 f

(x)与 g(x)互为反函数得到 x3=y2=

,x4=y1=

,问题得以解决.

10

【解答】解:函数 f(x)=( ) 的图象与直线 y=5﹣x 交点的横为 x1、x2, ∴x1、x2 是( )x=5﹣x 的两个根,

x

∴x1=5﹣

,x2=5﹣



∵f(x)=( )x 的图象与 g(x)=log

x 关于 y=x 对称,

∴x3=y2=

,x4=y1=



∴x1+x2+x3+x4═5﹣ 故答案为:10.

+5﹣

+

+

=10.

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质,以及方程的根的问题,关键是 f(x)与 g(x) 互为反函数,属于中档题

11.对于数列{an}满足:a1=1,an+1﹣an∈{a1,a2,?an}(n∈N ),记满足条件的所有数列{an} 中,a10 的最大值为 a,最小值为 b,则 a﹣b= 502 . 【考点】数列递推式. 【专题】计算题;阅读型;分类讨论;归纳法;等差数列与等比数列. 【分析】由 a1=1 知,数列{an}都是正数,故数列{an}是递增数列,从而可得 a10 的最小值 b=1×10=10,a10 的最大值 a=2 =512,从而解得. 【解答】解:∵a1=1, ∴a2﹣a1∈{a1}, ∴a2﹣a1=1, 故 a2=2, a3﹣a2∈{a1,a2}, ∴a3﹣a2=1,a3﹣a2=2, ∴a3=3 或 a3=4; 同理可得, a10 的最小值 b=1×10=10, a10 的最大值 a=29=512,
11
9

+

故 a﹣b=512﹣10=502, 故答案为:502. 【点评】本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力,同时考查了等比数列与等差数列的 应用.

12.定义在 R 上的奇函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,且 f(2)=0,则不等式 xf(x ﹣1)≥0 的解集为 [﹣1,0]∪[1,3] . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】综合题;分类讨论;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】根据奇函数的性质求出 f(﹣2)=0,由条件画出函数图象示意图,结合图象并对 x 分 类列出不等式组,分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集. 【解答】解:∵f(x)为奇函数,且 f(2)=0,在(﹣∞,0)是减函数, ∴f(﹣2)=﹣f(2)=0,f(x)在(0,+∞)内是减函数, 函数图象示意图:其中 f(0)=0, ∵xf(x﹣1)≥0, ∴ 或 ,

解得﹣1≤x≤0 或 1≤x≤3, ∴不等式的解集是[﹣1,0]∪[1,3], 故答案为:[﹣1,0]∪[1,3].

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用,正确画出函数的示意图是解题的关键, 考查分类讨论思想和数形结合思想.

13.已知正三角形 A1A2A3,A4、A5、A6 分别是所在棱的中点,如图,则当 1≤i≤6,1≤j≤6,且 i≠j 时,数量积 ? 的不同数量积的个数为 9 .

12

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;分析法;平面向量及应用. 【分析】以 A1A2 所在直线为 x 轴,中点 A4 为坐标原点,建立直角坐标系,可设 A1(﹣1,0), A2(1,0),A3(0, ),A4(0,0),A5(﹣ , ),A6( , ),运用向量的坐标运算和

数量积的坐标表示,计算即可得到所求个数. 【解答】解:以 A1A2 所在直线为 x 轴,中点 A4 为坐标原点,建立直角坐标系, 可设 A1(﹣1,0),A2(1,0),A3(0, A4(0,0),A5(﹣ , 可得 =(2,0), ? =2( +1), ),A6( , ), ),

若 i=1,则

可得 4,2,2,1,3; 若 i=2,则 ? =2( ﹣1),

可得﹣4,﹣2,﹣2,﹣3,﹣1; 若 i=3,则 ? =2( ),

可得﹣2,2,0,﹣1,1; 若 i=4,则 ? =2( ),

可得﹣2,2,0,﹣1,1; 若 i=5,则 ? =2( + ),

可得﹣1,3,1,1,2; 若 i=6,则 ? =2( ﹣ ),

可得﹣3,1,﹣1,﹣1,﹣2. 综上可得取值有±1,±2,±3,±4,0 共 9 个.
13

【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示,考查运算能力,属于中档题.

14.设函数 f(x)的定义域为 D,记 f(X)={y|y=f(x),x∈X? D},f (Y)={x|f(x)∈Y,
﹣1

x∈D},若 f(x)=2sin(ω x+ 的取值范围是 [ ,+∞) . 【考点】正弦函数的图象.

)(ω >0),D=[0,π ],且 f(f﹣1([0,2])=[0,2],则 ω

【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由题意可得 ≥2π + ≤ω x+ ≤ω π + ,2sin(ω x+ )∈[0,2],可得 ω π +

,由此求得 ω 的范围. )(ω >0)的定义域为 D, )∈[0,2].

【解答】解:由题意得,D=[0,π ],f(x)=2sin(ω x+
﹣1

∵f ([0,2])={x|f(x)∈[0,2],x∈R},故 2sin(ω x+ ∵ω >0,x∈[0,π ],∴ ∴由 2sin(ω x+ ≤ω x+ ≤ω π + ,

)∈[0,2],可得 ω π +

≥2π +

,∴ω ≥ ,

故答案为:[ ,+∞). 【点评】本题考查了对应关系的应用,以及函数的定义域与值域的关系的应用,属于中档题.

二、选择题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 15.二元一次方程组 A.系数行列式 D≠0 存在唯一解的必要非充分条件是( )

14

B.比例式

C.向量

不平行

D.直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时,系数行列式不等于 0,即可得到 A,B,C 为充要 条件,对于选项的,直线分共面和异面两种情况. 【解答】解:当两直当两直线共面时,直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行,二元一次方程组 存在唯一解

当两直线异面,直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行,二元一次方程组

无解,

故直线 a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2 不平行是二元一次方程组 分条件. 故选:D.

存在唯一解的必要非充

【点评】本题考查二元一次方程组的解,解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时,系 数行列式不等于 0,以及空间两直线的位置关系,属于基础题.

16.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(



A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图.

15

【分析】根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面 上有一条对角线,对角线是由左下角都右上角的线,得到结果. 【解答】解:被截去的四棱锥的三条可见棱中, 在两条为长方体的两条对角线, 它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合, 另一条为体对角线, 它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合, 对照各图,只有 D 符合. 故选 D. 【点评】本题考查空间图形的三视图,考查侧视图的做法,本题是一个基础题,考查的内容比 较简单,可能出现的错误是对角线的方向可能出错.

17.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,?600,采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区, 从 301 到 495 住在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( A.26,16,8, B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 )

【考点】等差数列的性质;等差数列的通项公式. 【分析】根据系统抽样的方法的要求,先随机抽取第一数,再确定间隔. 【解答】解:依题意可知,在随机抽样中,首次抽到 003 号,以后每隔 12 个号抽到一个人, 则分别是 003、015、027、039 构成以 3 为首项,12 为公差的等差数列, 故可分别求出在 001 到 300 中有 25 人,在 301 至 495 号中共有 17 人,则 496 到 600 中有 8 人. 故选 B 【点评】本题主要考查系统抽样方法.

18.点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离,那么平面内到定圆 C 的距离与到定点 A 的距离相等的点的轨迹不可能是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线 )

【考点】轨迹方程. 【专题】压轴题;运动思想.

16

【分析】根据题意“点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离”,将 平面内到定圆 C 的距离转化为到圆上动点的距离,再分点 A 现圆 C 的位置关系,结合圆锥曲线的定 义即可解决. 【解答】解:排除法:设动点为 Q, 1.当点 A 在圆内不与圆心 C 重合,连接 CQ 并延长,交于圆上一点 B,由题意知 QB=QA, 又 QB+QC=R,所以 QA+QC=R,即 Q 的轨迹为一椭圆;如图. 2.如果是点 A 在圆 C 外,由 QC﹣R=QA,得 QC﹣QA=R,为一定值,即 Q 的轨迹为双曲线的一支; 3.当点 A 与圆心 C 重合,要使 QB=QA,则 Q 必然在与圆 C 的同心圆,即 Q 的轨迹为一圆; 则本题选 D. 故选 D.

【点评】本题主要考查了轨迹方程,以及分类讨论的数学思想,属于中档题.

三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) 19.用铁皮制作一个容积为 cm3 的无盖圆锥形容器,如图,若圆锥的母线与底面所称的
2

角为 45°,求制作该容器需要多少面积的铁皮(铁皮街接部分忽略不计,结果精确到 0.1cm )

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 【专题】数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】求出圆锥的侧面积即为答案. 【解答】解:设圆锥形容器的底面半径为 r,则圆锥的高为 r,圆锥的母线为 ∵V= = ,∴r=10cm. =100 cm2≈444.3cm2.
17



∴圆锥形容器的侧面积 S=

【点评】本题考查了圆锥的结构特征,面积,体积计算,属于基础题.

20.复数 z1=2sin

,z2=1+(2cosθ )i,i 为虚数单位,θ ∈[

];

(1)若 z1?z2 是实数,求 cos2θ 的值; (2)若复数 z1、z2 对应的向量分别是 、 ,存在 θ 使等式( 立,求实数 λ 的取值范围. 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;转化思想;平面向量及应用;数系的扩充和复数. 【分析】(1)利用复数的乘法化简复数,通过复数是实数求出 θ ,然后求解即可; (2)写出复数 z1,z2 对应的向量,代入等式( 求得实数 λ 的取值范围. 【解答】解:复数 z1=2sin (1)z1?z2=2sinθ +2 ,z2=1+(2cosθ )i,i 为虚数单位,θ ∈[ )i, , ]. )?( )=0,展开数量积即可 )?( )=0 成

cosθ +(4sinθ cosθ ﹣ =0,sin2θ =

z1?z2 为实数,可得 4sinθ cosθ ﹣ 解得 2θ = ,

∴cos2θ =﹣ ; (2)复数 z1=2sinθ ﹣ i,z2=1+(2cosθ )i, ,

复数 z1,z2 对应的向量分别是 =(2sinθ ,﹣ ( ∵ )?(
2

), =(1,2cosθ ), )=0, ) +1+(2cosθ ) =8, cosθ , =8λ ﹣(1+λ 2)(2sinθ ﹣2
2 2

=(2sinθ ) +(﹣ =(2sinθ ,﹣

)?(1,2cosθ )=2sinθ ﹣2 )=λ (

∴( cosθ )=0,

)?(

)﹣(1+λ 2)

化为 sin(θ ﹣

)=



18

∵θ ∈[ ∴(θ ﹣ ∴0≤

], )∈[0, ],∴sin(θ ﹣ )∈[0, ]. . ,+∞).

≤ ,解得 λ ≥2+

或 λ ≤2﹣ ]∪[2+

实数 λ 的取值范围是(﹣∞,2﹣

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数为实数的条件,训练了向量的数量积的 应用,是中档题.

21.已知{an}是等差数列,a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=bncosnπ ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn,并判断是否存在正整数 m,使得 Sm=2016?若 存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;分类讨论;构造法;等差数列与等比数列. 【分析】(1)可求得 d= 的通项公式; (2)化简 cn=bncosnπ =(3n+2
n﹣1

=3,{bn﹣an}是等比数列,公比 q=2,从而求数列{an}和{bn}

)cosnπ ,从而分类讨论以确定数列{cn}的前 n 项和 Sn,可求

得 Sn=

,从而讨论即可.

【解答】解:(1)∵{an}是等差数列,a1=3,a4=12, ∴d= ∴an=3n, ∵{bn﹣an}是等比数列,且 b1﹣a1=4﹣3=1,b4﹣a4=20﹣12=8, ∴q=2, ∴bn﹣an=1?2n﹣1, ∴bn=3n+2n﹣1; (2)cn=bncosnπ =(3n+2n﹣1)cosnπ ,
19

=3,

故①当 n 为奇数时, Sn=﹣(3+1)+(6+2)﹣(9+4)+?+(3(n﹣1)+2n﹣2)﹣(3n+2n﹣1) =(﹣3+6﹣9+?+3(n﹣1))﹣3n+(﹣1+2﹣4+?﹣2n﹣1) =3× ﹣3n+ [(﹣2)n﹣1] [(﹣2)n﹣1]

=﹣ (n+1)+

=﹣[ (n+1)+ (2n+1)], ②当 n 为偶数时, Sn=﹣(3+1)+(6+2)﹣(9+4)+?﹣(3(n﹣1)+2n﹣2)+(3n+2n﹣1) =(﹣3+6﹣9+?﹣3(n﹣1)+3n)+(﹣1+2﹣4+?+2n﹣1) =3× + [(﹣2)n﹣1]

= n+ (2n﹣1), 综上所述,

Sn=



若 Sm=2016,故 m 一定是偶数, 故 m+ (2 ﹣1)=2016, 故 (2 ﹣1)=2016﹣ m, 而 (2 ﹣1)>2016, (2 ﹣1)<2016﹣ ×12, 故 m 值不存在. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用,同时考查了数列前 n 项和的求法及分类讨论 的思想应用.
14 12 m m

22.已知抛物线 ρ :x2=4y,P(x0,y0)为抛物线 ρ 上的点,若直线 l 经过点 P 且斜率为



则称直线 l 为点 P 的“特征直线”.设 x1、x2 为方程 x2﹣ax+b=0(a,b∈R)的两个实根,记 r(a, b)= .

20

(1)求点 A(2,1)的“特征直线”l 的方程 (2)己知点 G 在抛物线 ρ 上,点 G 的“特征直线”与双曲线 经过二、四象限的渐

进线垂直,且与 y 轴的交于点 H,点 Q(a,b)为线段 GH 上的点.求证:r(a,b)=2 (3)已知 C、D 是抛物线 ρ 上异于原点的两个不同的点,点 C、D 的“特征直线”分别为 l1、 l2,直线 l1、l2 相交于点 M(a,b),且与 y 轴分别交于点 E、F.求证:点 M 在线段 CE 上的充要条 件为 r(a,b)= (其中 xc 为点 C 的横坐际).

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】新定义;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)求得特征直线的斜率,哟哟点斜式方程即可得到所求方程; (2)求出双曲线的渐近线方程,可得点 G 的“特征直线”的斜率为 2,求得 G 的坐标,解方程 可得较大的根,进而得到证明; (3)设 C(m,n),D(s,t),求得直线 l1、l2 的方程,求得交点 M,解方程可得两根,再由 向量共线的坐标表示,即可得证. 【解答】解:(1)由题意可得直线 l 的斜率为 1, 即有直线 l 的方程为 y﹣1=x﹣2,即为 y=x﹣1; (2)证明:双曲线 的渐近线为 y=± x,

可得点 G 的“特征直线”的斜率为 2, 即有 G 的横坐标为 4,可设 G 的坐标为(4,4), 可得点 G 的“特征直线”方程为 y﹣4=2(x﹣4), 即为 y=2x﹣4, 点 Q(a,b)为线段 GH 上的点,可得 b=2a﹣4,(0≤a≤4), 方程 x2﹣ax+b=0 的根为 x= ,

即有较大的根为 可得 r(a,b)=2; (3)设 C(m,n),D(s,t), 即有直线 l1:y+n= mx,l2:y+t= sx,

=

=

=2,

21

联立方程,由 n= m ,t= s , 解得 x= (m+s),y= ms, 即有 a= (m+s),b= ms, 则方程 x2﹣ax+b=0 的根为 x1= m,x2= s. 可得 E(0,﹣ m2),

2

2

点 M 在线段 CE 上,则 b= ma﹣ m2= ms, 则 =λ (λ ≥0),即 (m+s)﹣m=λ (0﹣ (m+s)),
2 2

即有(s﹣m)(m+s)≤0,即 s ≤m , 即|s|≤|m|, 则 r(a,b)= ;

以上过程均可逆, 即有点 M 在线段 CE 上的充要条件为 r(a,b)= .

【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查抛物线的切线的方程的求法和运用,考查向量共 线的坐标表示,化简整理的运算能力,属于中档题.

23.已知 μ (x)表示不小于 x 的最小整数,例如 μ (0.2)=1. (1)当 x∈( ,2)时,求 μ (x+log2x)的取值的集合; (2)如函数 f(x)= 有且仅有 2 个零点,求实数 a 的取值范围;

(3)设 g(x)=μ (xμ (x)),g(x)在区间(0,n](n∈N+)上的值域为 Ma,集合 Ma 中的 元素个数为 an,求证: .

【考点】函数零点的判定定理;函数的值域. 【专题】分类讨论;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)当 x∈( ,2)时,(x+log2x)∈ 值的集合. .即可得出 μ (x+log2x)的取

22

(2) 当 x∈ (0, 1]时, 当 x∈(n﹣1,n]时, 函数 ( f x) =

= ∈[1, +∞) ; 当 x∈ (1, 2]时, = ∈[1, );

= ∈[1, 2) ; ?,

有且仅有 2 个零点, 即可得出实数 a 的取值范围是
2 2



(3)当 x∈(n﹣1,n]时,μ (x)=n.可得 xμ (x)=nx 的取值范围是(n ﹣n,n ],进而 g (x)在 x∈(n﹣1,n]上的函数值的个数为 n 个. 可得 Mn 中元素的个数个数,可得 an= ,可得 .

【解答】解:(1)当 x∈( ,2)时,(x+log2x)∈ ∴μ (x+log2x)的取值的集合为{0,1,2,3}. (2)当 x∈(0,1]时, 当 x∈(2,3]时, 当 x∈(n﹣1,n]时, 函数 f(x)= ∴实数 a 的取值范围是 .



= ∈[1,+∞);当 x∈(1,2]时, = ∈[1, );?, = ∈[1, );

= ∈[1,2);

有且仅有 2 个零点,

(3)证明:当 x∈(n﹣1,n]时,μ (x)=n.∴xμ (x)=nx 的取值范围是(n ﹣n,n ],进 而 g(x)在 x∈(n﹣1,n]上的函数值的个数为 n 个. 由于区间(n ﹣n,n ]与((n+1) ﹣(n+1),(n+1) ]没有共同的元素, ∴Mn 中元素的个数为 1+2+?+n)= ,可得 an= ,
2 2 2 2

2

2

. 【点评】本题考查了新定义、函数的性质、等差数列的前 n 项和公式,考查了分类讨论方法、 推理能力与计算能力,属于难题.

23



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