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江西省新余一中2016届高三3月模拟考试数学理



新余一中 2016 届毕业年级第八次模拟考试 数学(理)试题
命题人:补习数学组 审题人:高三数学组 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求。 1.已知集合 M ? ? x A. ? ??, 2? 2.复数 A.0

? 2 ? ? 1? , N ? ? y y ? 1 ? x 2

? ,则 M ? N ? ( ? x ?
B. ? 0,1? C. ? 0, 2? D. ? 0,1?

B ) .

3 ? 2i 3 ? 2i ? ?( C ) 2 ? 3i 2 ? 3i
B.2 C. 2i D. ? 2i )

3.如图,若输出的函数值在区间 ? , ? 内,则输入的实数 x 的取值范围是(B 4 2

?1 1? ? ?

? 2? A. ?? 3,

? 1? B. ?? 2,

0? C. ?? 1,

1? D. ?0,
) (注:

4.某班对八校联考成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将 70 个同学按 01,02,03….70 进 行编号, 然后从随机数表第 9 行第 9 列的数开始向右读, 则选出的第 7 个个体是 ( B 下表为随机数表的第 8 行和第 9 行) 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 A.07 B. 44 C.15 D.51 5.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 ,a3 ,a13 成等比数列,若 a1 ? 1 ,S n 为数列 ?an ? 的前 n 项 和,则

2 S n ? 16 的最小值为( B ) an ? 3
B.4 C. 2 3 ? 2 D.

A.3

9 2

?3 x ? 4 y ? 10 ? 0 ? 6. 已知不等式组 ? x ? 4 表示区域 D , 过区域 D 中任意一点 P 作圆 ?y ? 3 ?
x 2 ? y 2 ? 1 的 两 条 切 线 且 切 点 分 别 为 A, B , 当 ?APB 最 大 时 ,

cos ?APB ? ( D )

·1·

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D.

1 2

7.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( A ) A. 8 ? 14 C. 2 ? 2 5 ? 14 B. 8 ? 2 14 D. 16 ? 2 14

8. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的图象向左平移

?
6

个单位后的图象关于原点对称,则函数

f ( x) 在 [0, ] 上的最小值为( D 2
A.

?



3 2

B.

1 2
n

C. ?

1 2

D. ?

3 2

1 ? ? 9. 在二项式 ? x ? ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把 展开式中所有的项重 24 x ? ?
新排成一列,有理项都互不相邻的概率为 ( A. D ) D.

1 6

B.

1 4
2

C.

1 3

5 12

10. 已知点 A 是抛物线 x ? 4 y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点, P 在抛物线上且满 足 PA ? m PB ,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A, B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率 为( A ) A. 2 ? 1 B.

2 ?1 2

C.

5 ?1 2

D. 5 ? 1

11.在菱形 ABCD 中,A ? 60?, AB ? 3 , 将 ?ABD 折起到 ?PBD 的位置, 若二面角 P ? BD ? C 的 大小为

2? ,则三棱锥 P ? BCD 的外接球的体积为( C 3
B.



A.

4? 3

3? 2

C.

7 7? 6

D.

7 7? 2

12.关于函数 f ? x ? ?

2 的是( C ? ln x ,下列说法错误 .. x



A. x ? 2 是 f ? x ? 的极小值点

B.函数 y ? f ? x ? ? x 有且只有 1 个零点

C.存在正实数 k ,使得 f ? x ? ? kx 恒成立
·2·

D.对任意两个正实数 x1 , x2 ,且 x2 ? x1 ,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题---第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a ? 1, b ? 的面积为

3 , A ? C ? 2 B, 则 ?ABC

3 2
4
2



14. 如图在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB ? 8, AD ? 4 , CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 , 则 AB ? AD 的值是

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ????


2

15. 已 知 双 曲 线 mx ? ny ? 1(m ? 0、n ? 0) 的 离 心 率 为 2 , 则 椭 圆 mx 2 ? ny 2 ? 1 的 离 心 率 为

6 . 3 16. 对于函数 f ( x) ,若在定义域内存在实数 x , 满足 f (? x) ? ? f ( x) , 则称 f ( x) 为 “局部奇函数” .
若已知 f ( x) ? 4 ? m ? 2
x x ?1

. . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题共 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? (1)求 ?an ? 的通项公式;

?1 ?

3 ,2 2

?

,则实数 m 的取值范围是 ? m 2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”

1 n ?1 , an ?1 ? an . 2 2n

(2)设 bn ? n(2 ? S n ), n ? N * ,若 bn ? ? , n ? N * 恒成立,求实数 ? 的取值范围; 17. (1)由已知得

an ?1 1 an ,其中 n ? N * ? n ?1 2 n

所以数列 {

an 1 1 } 是公比为 的等比数列,首项 a1 = 2 2 n
???? 4 分

?

1 an 1 ? n ,所以 an = n( ) n n 2 2

(2)由(1)知 Sn =

1 2 3 n 1 1 2 3 n + 2 + 3 + L + n 所以 Sn = 2 + 3 + 4 L + n + 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以

1 1 1 1 1 n 1 n?2 S n = + 2 + 3 + L + n - n+ 1 ? S n ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2
n?2 2n
???? 8 分

? Sn ? 2 ?
因此 bn =

( n + 1)( n + 3) n( n + 2) - n 2 + 3 n( n + 2) b b = = , n+ 1 n 2n+ 1 2n 2n+ 1 2n
·3·

所以,当 n = 1, b2 - b1 > 0 即 b2 > b1 , n ? 2, bn ?1 ? bn ? 0 即 bn+ 1 < bn 所以 b2 是最大项

b2 = 2,

所以 ? ? 2 .

???? 12 分

18. (本题满分 12 分)在一个盒子中放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球, 若是红球记 1 分,白球记 2 分,黄球记 3 分。现从这个盒子中有放回地先后摸出两球,所得分数分 别记为 x, y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ? x ? 2, x ? y ?, 记? ? OP . (1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望。 解: (1)
2

2 9

(2)

?
P
E? ? 2

0

1

2

5

1 9

4 9

2 9

2 9

19. ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AD // BC , ?ADC ? 90 0 ,

AE ? 平面ABCD , EF // CD , BC ? CD ? AE ? EF ?
(1)求证: CE // 平面ABF ;

1 AD ? 1 . 2
E

(2) 在直线 BC 上是否存在点 M ,使二面角 E ? MD ? A 的大小 为

?
6

? 若存在,求出 CM 的长;若不存在,请说明理由。

F

A

D

(1)略

3 (2) 3
20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 :

B

C

y2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 与抛物线 C 2 : x 2 ? 2 py ? p ? 0 ? 有一 a2 b2 个公共焦点,抛物线 C 2 的准线 l 与椭圆 C1 有一坐标是 2 ,?2 的交点。

?

?

(1)求椭圆 C1 与抛物线 C 2 的方程; (2)若点 P 是直线 l 上的动点,过点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A, B ,直线 AB 与椭圆

C1 分别交于点 E , F ,求 OE ? OF 的取值范围。
·4·

答案: (1)

y2 x2 ? ? 1, x2 ? 8y 8 4
1 tx ? 2. 联 立 椭 圆 方 程 , 由 韦 达 定 理 可 得 : 4

( 2 ) 设 点 P ?t ,?2 ? , 可 得 AB方程为:y ?

OE ? OF ?

320 ? 8 ,范围为 ?? 8,2?。 t ?32
2

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

(1)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调增区间; (2)当 b ? 1 时,若存在 x1 , x2 ? e, e 中 e 为自然对数的底数)

bx ? ax . lnx
2

?

? ,使 f ( x ) ≤ f ?( x ) ? a 成立,求实数 a 的最小值. (其
1 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请用 2B 铅
·5·

笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22. 23.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? a cos ? ( a ? b ? 0, ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? b sin ? 轴建立极坐标系,射线 l : ? ? ? ,与 C1 , C2 各有一个交点,当 ? ? 0 时,这两个交点间的距离为 2, ? 当 ? ? ,这两个交点重合. 2 ? (1)分别求 C1 , C2 的直角坐标方程; (2)设当 ? ? 时, l 与 C1 , C2 的交点分别为 A1 , B1 ,当 4 ? ? ? ? , l 与 C1 , C2 的交点分别为 A2 , B2 ,求四边形 A1 A2 B2 B1 的面积. 4 23、 (1) C1 是圆, C2 是椭圆.
当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别是 ?1, 0 ? , ? a, 0 ? 因为这两点间的距离为 2,所以

? x ? cos ? ( ? 为参数) , ? y ? sin ?

a?3
当? ?

?
2

,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别是 ? 0,1? , ? 0, b ? 因为这两点重合,所以 b ? 1 ;
2 2

故 C1 , C2 的普通方程为 x ? y ? 1,

x2 ? y2 ? 1 9
·6·

(2)当 ? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横纵标是 x ?

2 , 2

与 C2 交点 B1 的横坐标是 x ' ? 当? ? ?

?
4

3 10 10

时,射线 l 与 C1 , C2 的两个交点 A2 , B2 分别与交点 A1 , B1 关于 x 轴对称,因此四边形
' '

? 2 x ? 2 x ?? x ? x ? ? 2 . A A B B 为梯形,故四边形 A A B B 的面积为
1 2 2 1 1 2 2 1

2

5

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 2 x, 其中a ? 0 . (2)若当 x ? ?? 1,?? ?时,恒有f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. (1)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集;

解: (1) ?? ?,1? ? ?3,?? ? (2) ?1,?? ?

·7·



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