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一道竞赛题的多种解法



3 6卷 第 2期 
2 0 1 4年 2月  







学 

VoI . 3 6   NO . 2  
Fe b.2 0 1 4  

PH YS I CS   TEACHI NG 


/>道 竞 赛 题 的 多 种 解 法 
王建秋 ( 乐亭第一中学 河北 0 6 3 6 0 0 )  

摘  要

本 文 用 多种 方 法研 究 了 3 O届 全 国物 理 竞 赛 预 赛 最 后 一 题 。研 究 结 果 表 明 , 建 立 物 理 模 型 和 灵 活 地 运 用 物 理 方 

法是 很 重 要 的 。这 对 新 课 标 形 式 下 的 物 理 教 学 有 一 定 的 意 义 。  
关 键 词  简谐 振 动  质 心  惯 性 力 

文 章 编 号  1 0 0 2— 0 7 4 8 ( 2 0 1 4 ) 2 — 0 0 6 4  

中 图分 类 号  G 6 3 3? 7  

文 献 标 识 码  B  





问题 的提 出  
1删

m7 2 0一 my 1 + m7 2 2  
~   ~ 删 。一  删 1 十  删 z 2 +意 十 忌  

① 

如 图 1所示 , 一质 量为 m, 半径 为 R 的由绝缘 材  料 制成 的薄球 壳 , 均 匀 带正 电 , 电荷 量 为 Q, 球 壳 下  面 有与 球壳 固连 的底 座 , 底 座 静 止 在光 滑 的水 平 面  上 。球 壳 内部 有 一 劲度 系数 为 叼的轻 弹 簧 ( 质 量 不  计) , 弹 簧始 终 处 于 水平 位 置 , 其 一端 与球 壳 内壁 固  连, 另 一端恰 位 于球 心处 。球 壳上 开 有 一小 孔 C, 小 

2 一   。



z   +  1

② 

当 P进入 壳 内 场 强 为零 , P做匀速直线 运动 ,   两者 相对 速度 为 V 。 一  , 相 对位 移为 R, 所 以 
£  一   ③ 

孑 L 位 于过球心 的水 平线 上 。在 此 水平 线上 离 球 壳很 
远 的 0处 , 有一 质量 为  电荷 量也 为 Q 的带 正电 的 

点 电荷 P, 它 以足够大 的初速 度  沿水平 的 0 C方 向 
开 始运 动 。并 知 P能 通 过 小 

由 ① ② ③ 得 £ 。 = = = R (   一   4 k Q   2 ) 一 专  
当两 球与 弹簧 相 互 作 用结 束 后 , 由 于二 者 质 量  相同, 因此交换 速度 , P变 为 7 J   , R 变 为  , 相 对 速 
度 仍 为  1 一   , 相 对 位 移 为 R, 所以  

孔 C进 入 球 壳 内。不 考 虑 重  … 一 一  
力 和 底 座 的影 响 。已知 静 电  

力常 量为 k 。求 P 刚 进 入 C  
孑 L 到 刚好 再 由 C孔 出来 所 经 
历 的时间 。   二 、问题 的 求 解   1 . 理 解 情 景 

图 1  

问题 的关 键就是 两球 与 弹簧相 互作 用过 程 的时 
间t 2一?  

[ 方法一 : 动 力学方 程法 ]   设z   , z 。 分别 表示 弹簧 两端 的位 置 , 则 弹簧 的 
形 变为 X —R一 ( z   一  ) , 以n   和n   分别 表示 P和  R 的加 速度 ; 由胡克定 律和 牛顿 定律有 :  
1 一 一  

由于水平 面 光 滑无 外 力 , 所 以两物 体 水 平 方 向   满 足动 量守 恒 、 能 量守 恒 , 类 似于碰 撞 。进入 小孔 后  两物体 的库仑 力 为零 , 并 且 点 电荷 P 的速 度 大 于球  壳 R 的速度 , 当两 者 的相 对 位 移 为 R 时 , 再 次 发 生  相互作 用 , 由于动 量守 恒 , 所 以两物 体 的质心 做匀 速  直 线运 动 , 在 质心参 考 系 中 , 两 物体 相对 质心 做简 谐 
振动。  
得 

④ 

T Y l a  2 一  

⑤ 

2 .建立模 型
3 . 寻 找 规 律 

碰 撞模 型 、 弹 簧振子 模 型 。  

( n 1 一n 2 )一一 2  

⑥ 

即两 者 的相对 运动 为简谐 振 动 。其 周期 为 :  

取 光滑水 平 面为参 考 系 , 取 P 刚好 与 弹 簧接 触 
时的位 置为 坐标原 点 , 水 平 向右 为  轴 正 方 向。设  P 到达 C孔 时 的速 度 为  , 球 壳 的速 度 为 。 , 规 定 
P 与球相 距无 限远 时 电势 为零 。   对 P、 R, 由动量守 恒和 能量守 恒 :  
?  6 4  ?  

T 一 2 丌 √  
弹簧 分离 所经 历 的时 间 t  应 该 为 

⑦  

所以, 从 P开 始 与 弹 簧左 端 接触 , 到 P 刚好 与 

3 6卷第 2 期 







学 

z =  

一 丌 √  
一 丌

⑧  

得 m a  一 m a+  ( 一n o )一 F +  ( 一n o ) 。  

为构造 类 似于 牛 顿 第 二定 律 的关 系式 , 要 引入 

因此 ,  

称 为平 移惯 性力 的虚 拟力 
F 一 m ( ~ 口 o ) ,  

H 
设 质心 的速 度为 

, r  

( 诟 一   )  

使 F   一 F十 F   , 便有 F   一m a   。  

[ 方法 二 : 微 分法 、 等效 法 ]  
由质 心 运动定 理 : 2 my  一  l +m y 2 , 所 以 
一 —

( 3 )二体 约化 质量  质 量分 别 为  和m  的质 点 A 和 B, 其 问作 用  力 与反 作用 力分 别为 F A和 F  。无 外力 , 试 求 A 相 
对 于 B 的动力 学 方程 。  



 

+ 2  




 

。  
。 

任 取惯 性 系 s, B相对 于 s系 的加速度 为 a  一  
FB  
m B 

在 相 同 时 间 内 有 : d 一 ( x I t c   一 丢   Q f   + 丢   d a x   2 , 所 以  
z  =  ( z。 +z   ) 。  

建立随 B   平 动 的非惯 性 系 s  , A在 S  系 中的 
加 速度 a  即为 A 相对 于 B 的加速 度 , 有 
FA+ F 一 mA nt A,  

因为 质心 做匀 速直 线运 动 , 取质 心惯 性 系 , P相 

F   一  (


。  )一 一 ma F  一 ma F  , 

对 于 质 心 做 简 谐 振 动 。 又 因 为 z   一 号 ( z   +   z ) , 所  即  
以等 效 弹簧 的劲度 系数 叩   一2 7 / , 因此 
FA+ ma FA — mA at A;FA 一  n   A
。 

T一

 



 

测  

丌  

。  

令  一 
[ 方 法三 : 惯性 力 法]  
( 1 )在非 惯性 系 中 , 牛 顿第 二 定 律 不成 立 , 质 点  质 量 m 与 质点 在非 惯性 系 中 的加 速 度 a   的乘 积 , 不  等 于 质点所 受 的真 实力 F。如 果 引入 虚拟 的或 者说  假 想 的力 F 虚, 使得 F  一 F+ F虚, 能 满 足 关 系 式  F  一 m a   , 上式 的数 学 内容 与 第 二 定 律 同 构 , 因此  便 可将 第 二 定 律 及 其 时 空 展 开 关 系 移 到非 惯 性 系 ,  
一  

, 则有 F  一 口 , A ( 称  为二 体 
m B     。 ’  

’  

m A 十

问题 的约 化质 量 )   A 相 对 于 B 的动 力 学 方 程 为 F   一  A 。 其 中 

( 为 二体 问题 的约 化质量 ) 。  
回到 题 目上来 。  

P相对 于 R 的动力 学方 程可 写为 :  
r,  
一  

,  
‘。 P’   一 —

m 2  

m  

直接处 理非惯性 系 中出现 的若 干力 学 问题 , 不 必事事 
都还 原到惯性 系去处 理 。需要注 意 的只是 F 虚并非 真  实力 , 不存在第 三定律 提及 的反作 用力 , 虚 拟力 F 虚又  常称 为惯性 力 , F 虚与真实力 之和  称为表 现力 。  
( 2 )平移 惯性 力  设非惯性 系 S   相 对 于 惯  性系 S做 变 速 平动 , 如 图 所  示, 图中加速 度 a 。未 必 是 常  数 。质 点 m 相 对 于 S 系 的加 

A一  

m ̄ —m 一 一 2’  

所 以 P相对 于 R 做 简谐振 动 , 且 

丁 一 2 丌 √ 等 一 2 丌 √   ,   z 一  一 丌 √  
三 、总  结 

本文 从一 道竞 赛 题 出发 , 将 问题 从 地 面 参 考 系  推广 到 了质心 参 考 系 , 并 由惯 性参 考 系拓 展 到 了非  惯性 参考 系 。用 多种方 法研 究 了简谐 振 动模 型周 期 

速 度 设 为 a, S系 据 牛 顿 第 二  定 律判 定 质 点 受 真 实 力 F 一  
’ 

的计 算 。研究 结果 对新 课标 体 系下 的物 理教 学有 一 
图2  

定 的指导 意 义 。  
参 考 文 献 
[1 ] 韩 叙 虹  周 新 艳 . 三种类 型 的弹簧 问题 [ J ] . 物 理教 学 2 0 1 0  

质 点  相对 S   系 的加速 度为 
a  = a+ ( 一n   ),  

( 1 O): 4 5  



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