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极限、归纳法、矩阵行列式、复数练习(教师用)



极限、归纳法、矩阵行列式算法、复数练习

极限、归纳法、矩阵行列式算法、复数练习
1.用数学归纳法证明 ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? n ) ? 2 ?1 ?3 ?? ?( 2 n ? 1)( n ? N ) ,从“ k 到 k ? 1 ”左端需增 的代数式为 ( )
n

10.复数 z ? arccos x ? ? ? ( 2 ? 2 ) i( x ? R , i 是虚数单位),在复平面内的对应点只可能位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B
x



11.设 x ? C ,方程 | x | ? | x |? 0 的解集为
2

( C. {0 , ? 1, 1, ? i , i }

)

A. 2 k ? 1

B. 2( 2 k ? 1)

C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

A. { 0 , 1} 答案:D 开始 k←1 S←0 k≤100? 是 S←S+2k-1 k←k+1 输出S 结束 否

B. { 0 , ? 1, 1}

D.以上都不对

答案:B 2. co s(? ? ? ) 计算公式可用行列式表示为_____________. 答案:
cos ? sin ? ? sin ? cos ?

12.已知复数 w 满足 2 w ? 4 ? (3 ? w )i (i 为虚数单位) ,则| w ? i |=_________________. 答案: 2 13.关于 x 的方程 x ? 4 x ? k ? 0 有一个根为 ? 2 ? 3 i ( i 为虚数单位),则实数 k =_________. 答案:13 开始
2

3.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S =_________ . 答案:10000
?2 x ? z ? ?1 ? 4.线性方程组 ? x ? 2 y ? 0 的增广矩阵是__________________. ?y? z ? 2 ?

14.运行如图所示的程序流程图,则输出 I 的值为 _________________.答案: 7 是

P←1,I←1

? 2 0 -1 -1 ? ? ? 答案: 1 2 0 0 ? ? ?0 1 1 2 ? ? ?

P ? 100

否 输出 I I←I+2 结束 P←P×I

5.若

x ?1 1

3 x

=3,则 x=_________________.

答案:2 或-3
2 6.已知复数 z 满足方程 z ? 2 z ? 3 ? 0 ,则 | z |? _____________.答案: 3

0

2

0

1+i 15.在复平面内,复数 2 对应的点位于第____象限.答案:二 (1-i)
1? i 1? i ? __________.

2009

7.若 z

3 i i = 4 i ? 2 ( i 为虚数单位),则复数 z =_______. 2

?i 0

16.计算: ( 答案: i
1 co s ? sin ? sin ? co s ?
开始 输入 n=3 S←1,k←1 k≤n S←S×2 k←k+1 否 输出 S 结束

)

2009

答案: 1 ? i

17.如图,已知正△ A1 B 1 C 1 的边长是 1,面积是 P1 ,取△ A1 B 1 C 1 各边的中点 A 2 , B 2 , C 2 , △ A 2 B 2 C 2 的面 积 为 P2 , 再 取 △ A 2 B 2 C 2 各 边 的 中 点 A 3 , B 3 , C 3 , △ A 3 B 3 C 3 的 面 积 为 P3 , 依 此 类 推 . 记
S n ? P1 ? P2 ? ? ? Pn , 则 lim S n =__________.
n? ?

8. ? ? [0, ? ] ,且 0
1

co s ? -sin ? ? 0 ,则 ? ? ____________.

答案:

?
4


A1

9.如右图所示的程序框图的输出结果是( A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 6 答案:C



C2 B3 B1

A3 C3 A2

B2

C1

极限、归纳法、矩阵行列式算法、复数练习 答案:
3 3
3 a n?1

所以 ? ?

?
3

, a ? ? 2 .??(12 分)

18.已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 3 , a n ? a n ? 1 ?

(n ? 2, n ? N ) ,
*

开始
1 M
输入 a1,a2,a3,a4

1

记 M 为下列程序框图的输出结果,则行列式 -1 1 M 中元素
1
? 1 的代数余子式的值是(

1

1
13 2

) C.
13 2

n←1,M←a1 D. ? n←n+1 M←an an>M 是

A. 2 答案:A

B. ? 2

否 否

19. 已知关于 t 的方程 t ? 2 t ? a ? 0 的一个根为 1 ? (1)求方程的另一个根及实数 a 的值;
2

3 i .( a ? R )

n>4 是 输出 M

结束 2 2 (2)是否存在实数 m ,使对 x ? R 时,不等式 lo g a ( x ? a ) ? m ? 2 k m ? 2 k 对 k ? [ ? 1, 2 ] 恒成立? 1. (Ⅰ)另一根为 1 ?
? a ? (1 ?
3i

若存在,试求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由..
3 i )(1 ? 3i) ? 4
2 2

(Ⅱ)设存在实数 m 满足条件,不等式为 m ? 2 k m ? 2 k ? lo g 4 ( x ? 4 ),
? lo g 4 ( x ? 4 ) 的最小值为 1,
2

? m ? 2 km ? 2 k ? 1 对 k ? [ ? 1, 2] 恒成立,
2

即 2(1 ? m ) k ? m ? 1 ? 0 对 k ? [ ? 1, 2] 恒成立,
2

设 g ( k ) ? 2(1 ? m ) k ? m ? 1
2

? g ( ? 1) ? m ? 2 m ? 3 ? 0 ? 则? 2 ? g (2) ? m ? 4m ? 3 ? 0 ?
2

?m ?1, ?1 ? m ? 3 因此存在 m ? 1 满足条件.

解得 ?

? ?3 ? m ? 1

20.设复数 z ? ( a ? 4 sin ? ) ? (1 ? 2 cos ? ) i ,其中 i 为虚数单位, a 为实数, ? ? ( 0 , ? ) .若 z 是方程
2 2

x ? 2 x ? 5 ? 0 的一个根,且 z 在复平面内所对应的点在第一象限,求 ? 与 a 的值.
2

答案:解:方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 的根为 x ? 1 ? 2 i ,??(4 分) 因为 z 在复平面内所对应的点在第一象限,所以 z ? 1 ? 2 i ,
2

所以 ?

? a 2 ? 4 sin

2

? ?1

?1 ? 2 cos ? ? 2
1 2

,??(6 分)
?
3

解得 cos ? ?
2

,因为 ? ? ( 0 , ? ) ,所以 ? ?
2

.??(8 分)

所以 a ? 1 ? 4 sin ? ? 1 ? 4 ?

3 4

? 4 , a ? ? 2 .??(11 分)



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