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1.2集合的基本关系和运算



集合的基本关系

观察以下几组集合,并指出它们元
素间的关系: ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};

② A={x x>1}, B={x

2 x >1};

③ A={四边形}, B={多边形};
④ A={x x2+1=0}, B={x x > 2} .<

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定 义
一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的任何一个元素都是 集合B的元素,我们就说集合A包含 于集合B,或集合B包含集合A.

记作

A ? B(或B ? A)

也说集合A是集合B的子集.

A ?B
B
A

判断集合A是否为集合B的子集, 若是则在( )打√,若不是则在 ( )打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( √ ) ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} (× )

③A={0}, B={x x2+2=0} ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}

(× ) (√ )

图中A是否为B的子集?

B (1)

A

B

A (2)

第一组: (1)A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} (2) A={长方形}, B={多边形}

第二组
(1) A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}

(2) A={-1,1}, B={x x2-1=0}

注 意
⑴ 集合A不包含于集合B,或集合 B不包含集合A时, 记作 ⑵ 规定:空集是任何集合的子集.
即对任何集合A,都有: ? ?A

子集的性质
(1)对任何集合A,都有:
A ?A (2)对于集合A,B,C,若A? B,且B

? C,则有 A ? C
(3)空集是任何非空集合的真子 集.

例题讲解
例1 写出{0,1,2}的所有子集,并 指出其中哪些是它的真子集. 例2 设A={x,x2,xy}, B={1,x,y}, 且A=B,求实数x,y的值.

例3 若A={x -3≤x≤4}, B={x 2m-1≤x≤m+1},当B ? A时, 求实数m的取值范围.

课堂练习 1.教材P.7 T 1,2,3
② ?∈{?} ③ {0} ?φ ④0 ? φ⑤ φ≠{0} ⑥φ={φ},其中正确的序 号是: ①②③④⑤

2.以下六个关系式:① ??{ ?}

观察集合A,B,C元素间的关系:

A={4,5,6,8},

B={3,5,7,8}, C={5,8}

定 义
一般地,由既属于集合A又属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集. 记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}

A

B

A∩B

观察集合A,B,C元素间的关系:
A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},

C={3,4,5,6,7,8}

定 义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B 的并集,
记作 读作

A∪ B A并 B

即A∪B={x x∈A,或x∈B}

A

B

A∪ B

性 质
⑴ A∩A = A A∩φ = A∩B = B∩A

φ

⑵ A∪ A = A A ∪ φ = A A∪B = B∪A



A∩B A∩B

?A ?B



? A∪ B B ? A∪ B
A

⑸ 若A∩B=A,则A ? B.

反之,亦然.
⑹ 若A∪B=A,则A ?B.

反之,亦然.

例题讲解
例1 设A={x x是等腰三角形}, B={x x是直角三角形}, 则A∩B= {等腰直角三角形}

例2 设A={x x是锐角三角形}, B={x x是钝角三角形}, 则A∩B= Φ A∪B= {斜三角形}

例3 设A={x x>-2},B={x x<3}, 求A∩B, A∪B.

例4

2 已知A={2,-1,x -x+1},

B={2y,-4,x+4}, C={-1,7}
且A∩B=C

求x,y的值及A∪B.

例5 已知集合A={x -2≤x≤4},
bbbbb B={x x>a} ①若A∩B≠φ,求实数a的取值范围;

②若A∩B≠A,求实数a的取值范围.

例6 设A={x x2+4x=0}, 2 2 bbbbbcB={x x +2(a+1)x+a -1=0}, (1) 若A∩B=B,求a的值. (2) 若A∪B=B,求a的值.

课堂小结

1. 理解两个集合交集与并集的概念 bb和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 bbb数轴法和图示法. 3.注意灵活、准确地运用性质解题; 4. 注意对字母要进行讨论 .

观察集合A,B,C与D的关系: A={菱形} B={矩形} C={平行四边形}

D={四边形}

定 义
在研究集合与集合的关系时, 如果一些集合是某个给定集合

的子集,则称这个集合为全集.
全集常用U表示.

A={菱形} B={矩形}
C={平行四边形} D={四边形}

定 义
设U是全集,A是U的一个子集,
则由U中所有不属于A的元素组 成的集合叫作U中子集A的补集
CU A 记作 或(余集).

即 CU A ? {x | x ?U , x ? A}

A

CU A

U

2.

设全集为U={2, 4, a ? a ? 1},
2

A ? {a ? 1, 2}, ? U A ? {7},

求实数a的值.

三、集合之间的运算性质
1.交集的运算性质 ?A , A∩B? ? B , A∩A = A , A∩B = B∩A , A∩B? ? A∩Φ=Φ,A? B?A∩B=A 2.并集的运算性质 ? A , A∪B? A∪B = B∪A , A∪B? ? B , A ∪A = A , ?B?A∪B=B A∪Φ=A,A? 3.补集的运算性质 CS(CSA)=A,CSΦ=S,A∩CSA=Φ, A∪CSA=S CS(A∩B)=(CSA)∪(CSB), CS(A∪B)=(CSA)∩(CSB)



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