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江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第二次周考(理)数学试题


吉安一中 2015-2016 学年度周考(二) 高三数学试卷(理科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? x x ? 4 x ? 0 , N ? x m ? x ? 8 ,若 M ? N ? x 6 ? x ? n ,则 m+n=

?

?

?

?

?

?

A.10

B.12

C.14

D.16

2.若复数 z ? (cos ? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数,则 tan( ? ? A.-7 C.7

3 5 1 B. ? 7

4 5

?

4 1 D.-7 或 ? 7

) 的值为

3.已知等比数列 ?an ?的各项都是正数,且 3a1 , A.1 B.3 C.6

1 a ?a a3 , 2 a2 成等差数列,则 20 19 ? 2 a18 ? a17
D.9

4.给出下列结论:①命题“ ?x ? R, sin x ? 1”的否定是“ ?x ? R, sin x ? 1 ” ; ②命题“ ? ?

?
6

”是“ sin ? ?

1 ”的充分不必要条件; 2

③数列 ?an ?满足“ an?1 ? 3an ”是“数列 ?an ?为等比数列”的充分必要条件. 其中正确的是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 为 A. ?

1 2

B.-3

C.

1 3

D.2

6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 4 ,数列 ?an ?是公差为 d 的等差数列,若 a1 ? f (d ?1) ,

a3 ? f (d ? 1) ,则 ?an ?的通项公式为
A.2n-1 B.2n+1 C.2n+3 D.n+2

7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.

16 3

B.

80 3

C.

64 3

D.

43 3

8.若实数 x,y 满足 ? A.-2

?

y?2

? x ? y ?1 ? 0

,则 z ?

x? y 的最小值为 x?2
D.-5

B.-3

C.-4

b ? f (3) , 9.已知函数 f(x+1)是偶函数, 当 x ? (1,??) 时, 函数 f(x)=sinx-x, 设 a ? f (? ) , c ? f (0) ,则 a、b、c 的大小关系为
A.b<a<c B.c<a<b C. b<c<a D.a<b<c

1 2

10.已知 P 是△ABC 所在平面内一点, 4PB ? 5PC ? 3PA ? 0 ,现将一粒红豆随机撒在△ABC 内,则红豆落在△PBC 内的概率是 A.

1 4

B.

1 3

C.

5 12

D.

1 2

11.点 F(c,0)为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,点 P 为双曲线左支上一点,线段 a 2 b2

c 2 b2 2 PF 与圆 ( x ? ) ? y ? 相切于点 Q,且 PQ ? 2QF ,则双曲线的离心等于 3 9
A. 2 B. 3 C. 5 D.2

12.已知 f ( x) ? a ln(x ? 1) ? x 2 在区间(0,1)内任取两个实数 p、q,且 p ? q ,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q
A. [15,??) B. (??,15] C.(12,30] D. (-12,15]

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.多项式 (2 x ?

1 6 ) 的展开式中常数项是_______. x

14.记等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , 若 Sk ?1 ? 8 , 则正整数 k=_______. Sk ? 0 , Sk ?1 ? ?10 , 15.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且角 A=60°,若 S△ ABC ? =3sinC ,则△ABC 的周长等于______. 16.若集合 ?a, b, c, d ? ? ? 1,2,3,4?,且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只 有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15 3 ,且 5sinB 4

18.(本小题满分 12 分)甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛.在比赛第二阶段,两队 各剩最后两名队员上场,甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是 员通过第二阶段比赛的概率都是

2 4 和 ,乙队两名队 5 5

3 .通过了第二阶段比赛的队员,才能进入第三阶段比赛(若 5

某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛,则该队进入第三阶段比赛人数为 0).所有参赛队 员比赛互不影响,其过程、结果都是彼此独立的. (1)求第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等的概率; (2)X 表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值,求 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 ABB AB=2,AA 1A 1 为矩形, 1 ? 2 2,

D 是 AA1 的中点,BD 与 AB 1 交于点 O,且 CO⊥平面 ABB 1A 1. (1)证明: BC ? AB1 ; (2)若 OC=OA,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

20.(本小题满分 12 分)已知动点 S(x,y)到直线 l : x ? 2 2 的距离是它到点 T ( 2 ,0) 的距离 的 2 倍. (1)求动点 S 的轨迹 C 的方程; (2)设轨迹 C 上一动点 P 满足:OP ? ?OM ? 2?ON ,其中 M,N 是轨迹 C 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

1 3 3 ,若 Q(? , ? ) 为一动点, E1 (? ,0) , E2 ( ,0) 为两定点,求 2 2 2

QE1 ? QE2 的值.
21.(本小题满分 12 分)已知函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 线 L 与直线 x+2y=0 垂直. (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g(x)存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1 、 x2 ( x1 ? x2 )是函数 g(x)的两个极值点,若 b ?

1 2 x ? bx ,函数 f(x)=x+alnx 在 x=1 处的切 2

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 x ? 3? t ? ? 2 (t 为参数).在以原点 O 为 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?

极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标为 (3, 5 ) ,圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求 PA ? PB 的值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2 , g ( x) ? ? x ? 2 ? 3 . (1)解不等式: g ( x) ? ?2 ; (2)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? m ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

吉安一中 2015-2016 学年度周考(二)高三数学试卷(理科)答案 一、选择题 1-5 CCDAD 二、填空题 13.-160 三、解答题 14.9 15. 8 ? 19 16.16 6-10 BBBAA 11-12C A

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z . 12 12 ? (2)∵将 f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6 ? ? ? 2? ) ? 1 (或写成 ∴ g ( x) ? f ( x ? ) ? 2 sin[ 2( x ? ) ? ] ? 2 sin( 2 x ? 6 6 3 3
所以函数的单调递增区间是 [ ?

g ( x) ? 2 cos( 2 x ? ) ? 1 ) 6 ? 2? 2? 5? ?[ , ] , ∵ x ? [0, ] ,∴ 2 x ? 2 3 3 3
∴当 2 x ? 当 2x ?

?

2? 2? 2? 3 ? )? 时, sin(2 x ? ,g(x)取最大值 3 ? 1 ; 3 3 3 2

2? 3? 2? ? ) ? ?1,g(x)取最小值—3. 时, sin( 2 x ? 3 2 3

18.解: (1)设 ? 、η 分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数, ? 、η 的可能取值为 0,1,2.

3 1 3 2 1 3 4 14 2 4 8 P(? ? 0) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? , P(? ? 2) ? ? ? , 5 5 25 5 5 5 5 25 5 5 25 2 2 4 3 2 12 3 3 9 P(η ? 0) ? ? ? , P (η ? 1) ? 2 ? ? ? , P (η ? 2) ? ? ? . 5 5 25 5 5 25 5 5 25
设参加第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等为事件 A,则

P( A) ? P(? ? 0) P(η ? 0) ? P(? ? 1) P(η ? 1) ? P(? ? 2) P(η ? 2) ?
答:第三阶段比赛,甲、乙两队人数相等的概率为

252 , 625

252 . 625

(2)根据题意,随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. 由(1)得, P( X ? 0) ? P( A) ?

252 , 625
59 , 625

P( X ? 2) ? P(? ? 2) P(η ? 0) ? P(? ? 0) P(η ? 2) ?

P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?
∴X 的分布列是 X P ∴ E( X ) ? 0 1

314 . 625

2

252 625

314 625

59 625

432 . 625

19.解: (1)由题意 tan?ABD ? 又 0 ? ?ABD , ?AB1 B ?

AD 2 AB 2 , tan?AB1B ? , ? ? AB 2 BB1 2

?
2

,∴ ?ABD ? ?AB1B ,

∴ ?AB1 B ? ?BAB1 ? ?ABD ? ?BAB1 ? ∵ ?AOB ?

?
2



?
2

,∴ AB1 ? BD .又 CO ? 平面 ABB 1A 1 ,∴ AB 1 ? CO ,

∵BD 与 CO 交于点 O,∴ AB1 ? 平面 CBD, 又 BC ? 平面 CBD,∴ AB1 ? BC . (2)如图,分别以 OD, OB1 ,OC 所在直线为 x,y,z 轴,以 O 为坐标原点,建立如图所示 的空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0,?

2 3 2 6 2 3 6 ,0) , B(? ,0,0) ,C (0,0, ) , D( ,0,0) , 3 3 3 3

AB ? (?

2 6 2 3 2 3 2 3 6 2 3 , ,0) , AC ? (0, , ) , CD ? ( ,0,? ), 3 3 3 3 3 3

? 2 6 2 3 ? x? y?0 ? ? ? 3 ? n ? AB ? 0 3 设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ,即 ? , ? ? 2 3 y? 2 3 x?0 ?n ? AC ? 0 ? 3 3 ?
令 y=1,则 z=-1, x ?

2 2 ,1,?1) , ,所以 n ? ( 2 2

设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos ? CD, n ??

CD ? n CD ? n

?

(

6 2 3 2 6 2 2 3 ,0,? )?( ,1,?1) ? ? 0 ? (? ) ? (?1) 15 3 3 2 3 2 3 ? ? 5 10 5 2? 2

, 所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为

15 . 5

20.解: (1)点 S(x,y)到直线 l : x ? 2 2 的距离是到点 T ( 2 ,0) 的距离的 2 倍,则

x ? 2 2 ? 2 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ,化简得

x2 y2 ? ?1. 4 2

(2)设 P(x,y), M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则由 OP ? ?OM ? 2?ON 得,

x ? ?x1 ? 2?x2 , y ? ?y1 ? 2?y2 ,
x2 y2 2 2 ? ? 1 上,所以 x12 ? 2 y12 ? 4 , x2 因为点 P,M,N 在椭圆 ? 2 y2 ? 4 , x2 ? 2 y 2 ? 4 , 4 2

2 2 x 2 ? 2 y 2 ? ?2 ( x12 ? 2 y12 ) ? 4? 2 ( x2 ? 2 y2 ) ? 4?? ( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 4?2 ? 16? 2 ? 4?? ( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 4

. 设 kOM , k ON 分别为直线 OM,ON 的斜率, 由题意知, kOM kON ?
2 2

y1 y2 1 ? ? ,因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 , x1 x2 2
2 2

所以 ? ? 4? ? 1 ,所以 Q 点是椭圆上 ? ? 4? ? 1 的点,而 E1 , E2 恰为该椭圆的左右焦点,

所以由椭圆的定义, QE1 ? QE2 ? 2 . 21.解: (1)∵f(x)=x+alnx,∴ f ?( x) ? 1 ?

a . x

∵与直线 x+2y=0 垂直,∴ k ? y? x?1 ? 1 ? a ? 2 ,∴a=1. (2)∵ g ( x) ? ln x ?

1 2 1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 x ? (b ? 1) x ,∴ g ?( x) ? ? x ? (b ? 1) ? , 2 x x

由题意知 g ?( x) ? 0 在 (0,??) 上有解,∵x>0,设 u( x) ? x 2 ? (b ?1) x ? 1 ,则 u(0)=1>0,

b ?1 ? b ?1 ? ?0 ? ?? 所以只需 ? ,故 b 的取值范围是 (3,??) . 2 b ? 3 或 b ? ? 1 2 ? ? ?? ? (b ? 1) ? 4 ? 0
(3)∵ g ?( x) ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? ,所以令 g ?( x) ? 0 . x x

∴ x1 ? x2 ? b ? 1 , x1 x2 ? 1 . ∵ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ln x1 ?

1 2 1 2 x1 ? (b ? 1) x1 ] ? [ln x2 ? x2 ? (b ? 1) x2 ] 2 2

? ln

x1 1 2 x 1 x x 2 ? ( x1 ? x2 ) ? (b ? 1)(x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) , x2 2 x2 2 x2 x1
1 1 x1 (0 ? t ? 1) , h(t ) ? ln t ? (t ? )( 0 ? t ? 1) , 2 t x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ,所以设 t ?

1 1 1 (t ? 1) 2 ? ? 0 ,所以 h(t)在(0,1)单调递减, ∴ h (t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? t 2 t 2t 2
又b ?
2

7 25 2 ,∴ (b ? 1) ? , 2 4
2

即 ( x1 ? x2 ) ? (

x1 ? x2 2 1 25 . ) ?t? ?2? x1 x2 t 4
1 1 15 ? 2 ln 2 , , h(t ) ? h( ) ? 4 4 8

2 ∵0<t<1,∴ 4t ? 17t ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? t ?

故所求的最小值是

15 ? 2 ln 2 . 8

? 2 x ? 3? t ? ? 2 得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 , 22.解: (1) 由? 又由 ? ? 2 5 sin ? ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?

得圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 ,即 x 2 ? ( y ? 5 ) 2 ? 5 . (2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ? 即 t ? 3 2t ? 4 ? 0 ,由于 ? ? (3 2 )2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,
2

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实数根,所以 ? 1

?t ? t 2 ? 3 2 , t t ? 4 ? 12

又直线 l 过点 P(3, 5 ) ,A,B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 , 所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 23.解: (1)由 g ( x) ? ?2 得 x ? 2 ? 5 ,解得 ? 7 ? x ? 3 , 所以不等式的解集是 x ? 7 ? x ? 3?. (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2x ?1 ? x ? 2 ?1,

?

? ? ? 3x ? 2, x ? ?2 ? 3 1 ? 则 h( x) ? ?? x ? 2,?2 ? x ? ,所以 h ( x ) ? . 2 2 ? 1 ? 3 x, x ? ? 2 ?
所以对应任意 x ? R ,不等式 f ( x) ? g ( x) ? m ? 2 恒成立,得 m ? 2 ? 所以最后 m 的取值范围是 m ? ?

3 1 ,得 m ? ? , 2 2

1 . 2


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