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2-3概率-独立事件及独立重复试验



概率——独立事件
知识点 1:独立事件概念
一.引入 【问题】 :甲坛子里有 3 个白球,2 个黑球,乙坛子里有 2 个白球,2 个黑球,从这两个坛子 里分别摸出 1 个球,它们都是白球的概率是多少?

二.新课讲解 1.相互独立事件 把“从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球”叫做事件 A,把“从乙坛子里摸出 1 个球,得到白 球”叫做事件

B.很明显,从一个坛子里摸出的是白球还是黑球,对从另一个坛子里摸出白 球的概率没有影响. 定义:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两

个事件叫做相互独立事件.
在上面的问题里,事件 A, B 分别指什么?事件 A 与 B , A 与 B, A 与 B 是否也是相互独 立的? 2.相互独立事件同时发生的概率乘法公式 “从两个坛子里分别摸出 1 个球,都是白球”是一个事件,它的发生就是事件 A,B 同时 发生,我们把它记作 A·B.于是需要研究,上面两个相互独立事件同时发生的概率 P(A·B) 是多少? 从甲坛子里摸出 1 个球,有 5 种等可能的结果;从乙坛子里摸出 1 个球,有 4 种等可能 的结果。于是从两个坛子里各摸出 1 个球,共有 5×4 种等可能的结果。在上面 5×4 种结果 中,同时摸出白球的结果有 3×2 种。因此,从这两个坛子里分别摸出 1 个球,都是白球的概 率 P(A·B)= 又 P(A)=
? ?

?

?

?

?

3? 2 5? 4

3 2 3? 2 3 3 ,P(B)= .由 = × ,得 P(A·B)= P(A)· P(B) 5 4 5? 4 5 5

即两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的乘积 一般地,如果事件 A1,A2,?An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个事 件发生的概率的乘积,即 P(A1·A2·?·An)=P(A1)·P(A2)·?·P(An).

注意: (1)如果事件 A、B 独立,独立不一定互斥,互斥一定不独立; (2)如果事件 A、B 独立,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也 都是独立事件

例 1、甲,乙两人各进行 1 次射击,如果 2 人击中目标的的概率都是 0.6,计算: ⑴2 人都击中目标的的概率; ⑵其中恰有 1 人击中目标的概率; ⑶至少有 1 人击中目标的的概率。

例 2、已知 A,B,C 为三个独立事件,若事件 A 发生的概率是 C 发生的概率是

1 2 ,事件 B 发生的概率是 ,事件 2 3

3 ,求下列事件的概率: 4

(1)事件 A,B,C 均发生; (2)事件 A,B,C 均不发生; (3)事件 A,B,C 不都发生; (4)事件 A,B,C 至少发生 1 个; (5)事件 A,B,C 只发生 1 个; (6)事件 A,B,C 只发生 2 个; (7)事件 A,B,C 至多发生 2 个。

典型例题
例 1.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 发生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是______ 例 2.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三 个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得 0 分,假设这位同学答对第一、二、三个问 题的概率分别为 0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响,则这名同学得 300 分 的概率为_____________;这名同学至少得 300 分的概率为_____________ 例 3.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全 相同的概率是________

1 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不 9

例 4.一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所 出现的点数之和大于 n ,则算过关,那么,连过前二关的概率是________
2

例 5.有甲、 乙两口袋,甲袋中有六张卡片,其中一张写有 0, 两张写有 1,三张写有 2; 乙袋中有七张卡片,四张写有 0,一张写有 1,两张写有 2,从甲袋中取一张卡片,乙袋中 取两张卡片。 设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为 m1 , m2 ?mn 且 m1 ? m2 ? ? ? mn , 其相应的概率记为 P(m1 ), P(m2 ),?P(mn ) ,则 P(m3 ) 的值为_____________

例 6.平面上有两个质点 A、B 分别位于(0,0) 、 (2,2)点,在某一时刻同时开始每隔 1 秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动 1 个单位,已知质点 A 向左、右移动的概 率都是

1 1 ,向上、下移动的概率分别是 和 p,质点 B 向四个方向中的任何一个方向移动的 4 3

概率都是 q。①求 p 和 q 的值;②试判断最少需要几秒钟,A、B 能同时到达 D(1,2)点? 并求出在最短时间内同时到达的概率.

知识点 2:独立重复事件
例题引入:某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,现连续射击 4 次 求(1)恰前 3 次击中的概率; (2)恰好击中 3 次的概率。

二新课讲解 独立重复试验:在同样的条件下重复地,各次之间相互独立地进行的一种试验。 在这种试验的结果只要两种,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中 发生的概率是一样的。 一般地,如果在一次试验中某事件发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中,这个 事件恰好发生 k 次的概率:
k k n ?k Pn (k ) = Cn ? p ? (1 ? p)

思考:这个公式与前面表示二项式定理的公式有什么联系?

例 1. 某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留两个有效数字) (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率。

例 2 袋子里装有 5 张卡片,用 1,2,3,4,5 编号。从中抽取 3 次,每次抽出一张且放回. 求 3 次中恰有两次抽得奇数编号的卡片的概率.

例 3 设有两门高射炮,每一门击中飞机的概率是 0.6,求同时发射一发炮弹,击中飞机的概 率是多少?

例 4、 甲,乙两个篮球运动员在罚球线投球的命中率均为 0.7,每人投球 3 次,则每人都各 投进 2 球的概率为多少?

例 5、甲,乙两个篮球运动员的投篮命中率分别为 0.7 和 0.6,现两人各投篮 3 次,求甲比 乙进球数多的概率

基础关
1.将 1 枚硬币连抛 6 次, 出现 3 次正面向上的概率为 A. 1 B 5 C ( D
5 32



2

16

5 8

2.在某一次试验中, 事件 A 出现的概率为 P, 则在 n 次试验中 A 出现 k 次的概率为 ( A 1- P
k



B (1 ? P) k P n?k

C 1- (1 ? P) k

D

k n ?k Ck n (1 ? P) P

3.在人寿保险事业中, 如果 1 个投保人能活到 65 岁的概率为 0.6, 则 3 人投保有 2 人活到 65 岁的概率为 ( ) A 0.288 B 0.216 C 0.432 D 0.6 4.电灯泡使用时数在1000 小时以上的概率为0.8,则3个灯泡在使用 1000 小时后坏了1 个的概率为 ( ) A 0.128 B 0.104 C 0384 D 0333 5.将一枚硬币连抛 5 次,设出现 1 次正面朝上的概率为 P1,出现 4 次正面朝上的概率为 P4, 则 ( ) A P1 <P4 B P1 > P 4 C P1 =P4 D P1 与 P4 大小不定

6.100 件产品中有 3 件不合格,有放回地连续抽取 10 次,每次取一件,10 件产品中恰有 2 件不合格的概率为 . 7. 某种新药的临床疗效为 98%, 今有 5 人服用, 有 4 人被治愈的概率为 . 8.某人每天早晨乘的某一班次公共汽车的准时到站率为 90%,他在 7 天乘车中,此班次公 共汽车恰好有 5 天准时到站的概率为多少?

课后练习
1.某战士射击中靶的概率为 0.99。若连续射击两次,则至多有 1 次中靶的概率为( A 0.0001 B 0.0099 C 0.0198 D 0.0199 2、在一段时间内,甲去某地的概率是 )

1 1 ,乙去此地的概率是 ,假定两人的行动相互之间 4 5
1 人 此 地 的 概 率 是

没 有 影 响 , 那 么 在 这 段 时 间 内 至 少 有 ( ) A.

2 9 D. 5 20 1 1 3、从甲口袋内摸出 1 个白球的概率是 ,从乙口袋内摸出 1 个白球的概率是 ,从两个口 3 2 5 袋内各摸出 1 个球,那么 等于 ( ) 6
B. C. A 2 个球都是白球的概率 B.2 个球都不是白球的概率 C.2 个球不都是白球的概率 D.2 个球中恰好有 1 个是白球的概率 4、甲、乙两名射手分别同时向一目标射击,甲击中目标的事件 A 与乙击中目标的事件 B 之间是 ( ) A.独立不互斥 B.互斥不独立 C.独立且互斥 D.不独立也不互斥 5、 若P (A· B) =0, 则事件 A 与 B 的关系是 ( ) A.互斥事件 B.A、B 中至少有一个是不可能事件 C.互斥事件或至少有一个是不可能事件 D.以上都不对 6、从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体形合格的概率是 格的概率是

3 20

1 5

1 ,身体关节构造合 5

1 ,从中任挑一个儿童,这个儿童体形和身体关节构造都合格的概率是 4

(假定体形与身体关节构造合格与否相互之间没有影响) 7、甲、乙两个气象台同时作天气预报,如果它们预报准确的概率分别是 0.8 与 0.7,那么在 一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 8、将一个硬币连掷 5 次,5 次都出现正面的概率是 9、设 A、B 是两个概率不为零的随机事件,以下说法中: (1)若 A、B 互斥,则 A、B 一 定不独立(2)若 A、B 独立,则 A、B 互斥(3)若 A、B 对立,则 A、B 一定不独立(4) 若 A、B 独立,则不能保证 A、B 对立,其中正确的是 10、制造一种零件,甲机床的废品率是 0.04,乙机床的废品率是 0.05,从它们制造的产品中 各任抽 1 件,其中恰有 1 件废品的概率是多少?

11、 一个工人负责看管 4 台机床, 如果在 1 小时内这些机床不需要人去照顾的概率第 1 台是 0.79,第 2 台是 0.79, 第 3 台是 0.80, 第 4 台是 0.81,且各台机床是否需要照顾相互之间没有影 响,计算在这个小时内这 4 台机床都不需要人去照顾的概率。

12、有甲、乙、丙 3 批罐头,每批 100 个。其中各有 1 个是不合格的,从三批罐头中各抽出 1 个,计算: (1) 3 个中恰有 1 个不合格的概率; (2)3 个中至少有 1 个不合格的概率。

1. 一批产品的次品率 P(0<P<1), 每次取 1 件, 独立抽取 n 次, 其中出现次品的概率为 ( A P
n



B (1 ? P)

n?1

P

C 1- (1 ? P)

n

D

以上都不对

2.一箱磁带最多有一个次品,每箱装 25 盒磁带,而生产过程产生次品带的概率是 0.01,一 盒磁带最多有一个次品的概率为 ( ) A 0.778 B 0.196 C 0.974 D 0.789 3 某人投篮的命中率为 A

211 243

2 , 现连续投 5 次, 则 “至多投中 4 次” 的概率为 3 112 80 32 B C D 243 243 243





4.设在一次试验中事件 A 发生的概率为 p ,在 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率 为 pk , 则 A. ( )

? pk ? 1
k ?1

n

B.

? pk ? 1
k ?0

n

C.

?p
k ?0

n

k

?0

D. p1 p2 ? pn ? 1

5.从甲口袋里摸出一个白球的概率为 0.25,从乙口袋里摸出一个白球的概率为 0.2,现从两 个口袋里各摸出一个球, 则 0.6 是两个球 ( ) A.都是白球的概率 B.都不是白球的概率 C.不都是白球的概率 D.恰好有一个是白球的概率 6.某批种子的发芽率为 80%,播下 4 粒种子,则不超过 3 粒种子发芽的概率为 7.将一枚硬币连抛 8 次,出现正面的次数为 求 5 ? k ? 7 的概率 8.某人对一目标进行射击,每次命中率 0.25,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,问至 少应射击多少次?



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