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高中数学基础公式及总结大全



袁轲教学资料(高中数学)
高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系
x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .

2.德摩根公式
CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B .

3.包

含关系

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A
? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R

4.容斥原理
card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) .

5.集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个;非 空的真子集有 2n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式
N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0

? | f ( x) ?

f ( x) ? N M ?N M ?N ?0 |? ? M ? f ( x) 2 2

1

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?
1 1 . ? f ( x) ? N M ? N

8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必 要而不是充分条件.特别地, 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1 , k 2 ) 内,等价于
f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k ? k2 b k1 ? k 2 b ,或 f (k 2 ) ? 0 且 1 ? ?? ? k2 . 2a 2 2 2a

9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 取得,具体如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?
x?? b b ? ? p, q? ,则 f ( x)min ? f (? ), f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a b 处及区间的两端点处 2a

b ? ? p, q? , f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b b ( ) (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ? ? p, q? , 则 f ( x)m i n ? m i n f (p ) ,f q , 若 x ? ? ? ? p, q? , 则 ? ? 2a 2a
f ( x)m a x ? m a x f (p ) ,f q , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . ( ) ? ?

10.一元二次方程的实根分布

依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则
? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; (2)方程 ? ?m ? ? 2
? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ? 或 f ( x) ? 0 在 区 间 (m ,n )内 有 根 的 充 要 条 件 为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? ? af ( n) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2

2

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? f ( n) ? 0 ; ? ? af (m) ? 0

? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ? ?m ? ? 2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ?, ?? ,??? 不同)上含参数的二次不 等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条 件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .
?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . ?c ? 0 ?b ? 4ac ? 0 ?

12.真值表 p q 非p 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 真 p或q p且q 真 真 真 假 真 假 假 假

13.常见结论的否定形式 原结论 是 反设词 不是 原结论 反设词

至 少 有 一 一个也没有 个

都是

不都是

至 多 有 一 至少有两个 个

大于

不大于

至少有 n 个

至多有( n ? 1 ) 个 至少有( n ? 1) 个
3

小于

不小于

至多有 n 个

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对所有 x , 存在某 x , 成立 不成立

p 或q

?p 且 ?q

对任何 x , 存在某 x , 不成立 成立

p 且q

?p 或 ?q

14.四种命题的相互关系

原命题 若p则q 互 互 否

互逆

逆命题 若q则p 互





互 否

逆 否 否命题 若非p则非q 互逆

逆 否 逆否命题 若非q则非p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件.

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注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么
( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

(2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则
f (x) 为减函数.

17.如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如 果函数 y ? f (u) 和 u ? g (x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于 原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 19. 若函数 y ? f (x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则
f ( x ? a) ? f (? x ? a) .

20. 对 于 函 数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒 成 立 , 则 函 数 f (x) 的 对 称 轴 是 函 数
x? a?b a?b ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f (x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函 2

数 y ? f (x) 为周期为 2a 的周期函数. 22.多项式函数 P( x) ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)
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? f (2a ? x) ? f ( x) .

(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?
? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) 2

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f (x) 和 y ? f
?1

a?b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若将曲 线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系
f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .

1 27.若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数,则其反函数为 y ? [ f ?1 ( x) ? b] ,并不是 y ? [ f ?1 (kx ? b) , k 1 而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ? [ f ( x) ? b] 的反函数. k

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x)