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高中数学基础公式及总结大全



袁轲教学资料(高中数学)
高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系
x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .

2.德摩根公式
CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B .

3.包

含关系

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A
? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R

4.容斥原理
card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) .

5.集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个;非 空的真子集有 2n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式
N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0

? | f ( x) ?

f ( x) ? N M ?N M ?N ?0 |? ? M ? f ( x) 2 2

1

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?
1 1 . ? f ( x) ? N M ? N

8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必 要而不是充分条件.特别地, 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1 , k 2 ) 内,等价于
f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k ? k2 b k1 ? k 2 b ,或 f (k 2 ) ? 0 且 1 ? ?? ? k2 . 2a 2 2 2a

9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 取得,具体如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?
x?? b b ? ? p, q? ,则 f ( x)min ? f (? ), f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a b 处及区间的两端点处 2a

b ? ? p, q? , f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b b ( ) (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ? ? p, q? , 则 f ( x)m i n ? m i n f (p ) ,f q , 若 x ? ? ? ? p, q? , 则 ? ? 2a 2a
f ( x)m a x ? m a x f (p ) ,f q , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . ( ) ? ?

10.一元二次方程的实根分布

依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则
? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; (2)方程 ? ?m ? ? 2
? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ? 或 f ( x) ? 0 在 区 间 (m ,n )内 有 根 的 充 要 条 件 为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? ? af ( n) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2

2

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? f ( n) ? 0 ; ? ? af (m) ? 0

? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ? ?m ? ? 2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ?, ?? ,??? 不同)上含参数的二次不 等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条 件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .
?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . ?c ? 0 ?b ? 4ac ? 0 ?

12.真值表 p q 非p 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 真 p或q p且q 真 真 真 假 真 假 假 假

13.常见结论的否定形式 原结论 是 反设词 不是 原结论 反设词

至 少 有 一 一个也没有 个

都是

不都是

至 多 有 一 至少有两个 个

大于

不大于

至少有 n 个

至多有( n ? 1 ) 个 至少有( n ? 1) 个
3

小于

不小于

至多有 n 个

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对所有 x , 存在某 x , 成立 不成立

p 或q

?p 且 ?q

对任何 x , 存在某 x , 不成立 成立

p 且q

?p 或 ?q

14.四种命题的相互关系

原命题 若p则q 互 互 否

互逆

逆命题 若q则p 互





互 否

逆 否 否命题 若非p则非q 互逆

逆 否 逆否命题 若非q则非p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件.

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注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么
( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

(2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则
f (x) 为减函数.

17.如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如 果函数 y ? f (u) 和 u ? g (x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于 原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 19. 若函数 y ? f (x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则
f ( x ? a) ? f (? x ? a) .

20. 对 于 函 数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒 成 立 , 则 函 数 f (x) 的 对 称 轴 是 函 数
x? a?b a?b ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f (x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函 2

数 y ? f (x) 为周期为 2a 的周期函数. 22.多项式函数 P( x) ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)
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? f (2a ? x) ? f ( x) .

(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?
? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) 2

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f (x) 和 y ? f
?1

a?b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若将曲 线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系
f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .

1 27.若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数,则其反函数为 y ? [ f ?1 ( x) ? b] ,并不是 y ? [ f ?1 (kx ? b) , k 1 而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ? [ f ( x) ? b] 的反函数. k

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? log a x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,
f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

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或 f ( x ? a) ?
1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 ( f ( x) ? 0) , f ( x)

或 f ( x ? a) ? ?
1 或 ? 2

f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f (x) 的周期 T=2a;
1 ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f ( x ? a)
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , f (x) 的周期 T=4a; 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

(3) f ( x) ? 1 ?

(4) f ( x1 ? x2 ) ?

(5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a)
? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a;

(6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1) a ?
? m n

m n

1
n

a
1

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

(2) a

?

a

m n

31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n a n ? a ;
? a, a ? 0 当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? . ? ? a, a ? 0

32.有理指数幂的运算性质 (1)
a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) .

(2) (a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q) . (3) (ab)r ? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) . 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对
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于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

34.对数的换底公式
log a N ? log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ). log m a

推论 log am bn ?

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). m

35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; (2) log a
M ? log a M ? log a N ; N

(3) log a M n ? n log a M (n ? R) . 36.设函数 f ( x) ? log m (ax 2 ? bx ? c)( a ? 0) ,记 ? ? b 2 ? 4ac .若 f (x) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,且

? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
1 ,则函数 y ? log ax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为减函数. a a

若 a ? 0 , b ? 0, x ? 0 , x ?



推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) log m? p (n ? p) ? log m n . (2) log a m log a n ? log a 2 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) x . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ? sn ? sn ?1 , n ? 2
8

m?n . 2

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40.等差数列的通项公式
an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

其前 n 项和公式为
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?

41.等比数列的通项公式
an ? a1q n ?1 ? a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为
? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为
?b ? ( n ? 1) d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?

其前 n 项和公式为
?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d (b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1? q q ?1 1? q ?

43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ?
ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1

44.常见三角不等式 (1)若 x ? (0, ) ,则 sin x ? x ? tan x . 2

?

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(2) 若 x ? (0, ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 45.同角三角函数的基本关系式
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =

?

sin? , tan ? ? cot? ? 1 . cos?

46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

n ? (?1) 2 sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)
n ? n? ?( ?1) 2 co s ? , co s( ??) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 sin ? , ?

47.和角与差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? .

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? ?
48.二倍角公式

b ). a

sin 2? ? sin ? cos? .
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

49. 三倍角公式
sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? )sin( ? ? ) . 3 3 cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos? ? 4cos? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3
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?

?

?

?

.

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tan 3? ? 3 tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3 tan ? 3 3

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的 周期 T ?
T? 2?

? . ?

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期

51.正弦定理
a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C

52.余弦定理
a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

53.面积定理
1 1 1 (1) S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (3) S?OAB ? (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB) . 2

54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)
? C ? A? B ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . ? ? 2 2 2

55. 简单的三角方程的通解
sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) .

co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .

特别地,有
sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) .
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co s? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .

56.最简单的三角不等式及其解集
sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .

tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ? b); ( (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一 对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ .
61. a·b 的几何意义
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数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
??? ??? ??? ? ? ? (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .

(4)设 a= ( x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式
cos ? ? x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式 ??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB
? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式
??? ? ???? 设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是线段 PP2 的分点, ? 是实数,且 P P ? ? PP2 ,则 1 1 1

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ? x2 ???? ???? ??? OP ? ? OP ? 1? ? 1 2 ? OP ? y1 ? ? y2 1? ? 1? ?

??? ? ???? ???? 1 ). ? OP ? tOP ? (1 ? t )OP2 ( t ? 1 1? ?

67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 ) 、 B(x2 ,y2 ) 、 C(x3 ,y3 ) ,则△ABC 的重心的坐标是

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G( x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

68.点的平移公式
???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? ? OP ' ? OP ? PP ' . ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?

???? 注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P ' ( x ' , y ' ) ,且 PP' 的坐标为

(h, k ) .

69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点 P ' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 C 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C ' , 则 C ' 的 函 数 解 析 式 为
y ? f ( x ? h) ? k .

(3) 图象 C ' 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C ' 的函数解析式为
y ? f ( x ? h) ? k .

(4)曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则
??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC .

??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .

71.常用不等式: (1) a, b ? R ? a2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). (2) a, b ? R ? ?
a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2
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(3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4)柯西不等式
(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.

(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;
1 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s 2 . 4

推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) 2 ? ( x ? y) 2 ? 2 xy (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73.一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 同号, 则其解集在两根之外; 如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号, 则其解集在两根之间.简言之: 同号两根之外, 异号两根之间.
x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .

74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有
x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式

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(1)
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? . ? g ( x) ? 0 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x ) ? [ g ( x)]2 ?

(2)

(3)

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,
a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)当 0 ? a ? 1时,
a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

77.斜率公式
k? y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ). 1 x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式
y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). 1 y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
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79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ? A1 ? B1 ? C1 ; A2 B2 C2 ② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; 80.夹角公式 (1) tan ? ?|
k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1

( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) (2) tan ? ?|
A1 B2 ? A2 B1 |. A1 A2 ? B1 B2

( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 81. l1 到 l 2 的角公式 (1) tan ? ?
k2 ? k1 . 1 ? k2 k1

? . 2

( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) (2) tan ? ?
A1 B2 ? A2 B1 . A1 A2 ? B1 B2

( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 )