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山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学



山东省日照市 2015 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题
2015.03 本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2

B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置: 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? y y ? A. ? ??, 1? ? ? 2, ? ??

?

x ,0 ? x ? 4 , B ? ?x x 2 ? x ? 0?,则A ? B ?
B.

?

0? ? ?1 , 2? ? ??,

C. ?

D. ?1 , 2?

2.已知复数 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? t ? i, 且z1 ? z2 是实数,则实数 t 等于 A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4

x 3.已知命题 p : ?x ? R, log 2 3 ? 1 ? 0 ,则 x A.p 是假命题: ?p : ?x ? R, log 2 3 ? 1 ? 0 x B. p 是假命题: ?p : ?x ? R, log 2 3 ? 1 ? 0 x C. p 是真命题: ?p : ?x ? R, log 2 3 ? 1 ? 0 x D. p 是真命题: ?p : ?x ? R, log 2 3 ? 1 ? 0

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4.一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示,则其俯视图不可能为 .... ①长方形;②正方形;③圆;④椭圆. 中的 A.①② B.②③ C.③④ D.①④

?y ? x ? 5.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 2,且z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 ?x ? a ?
倍,则 a 的值是

3 4 2 C. 11
A.

B.

1 4

D.4

6.运行如右图所示的程序框图,则输出的结果 S 为 A.1008 B.2015 C.1007 D. ?1007 7.已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? cos x, f ? ? x? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 4

f ? ? x ? 的图象大致是

8.已知函数 f ? x ? ? ? A.

?2?2 x , x ? ?1, ?2 x ? 2, x ? ?1,
B.

则满足 f ? a ? ? 2 的实数 a 的取值范围是

? ??, ?2? ? ? 0, ???

? ?1,0?

C.

? ?2,0?

D.

? ??, ?1? ??0, ???

9.在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,D 在线段 AC 上,AD=kAC(k 为常数,且 0 ? k ? 1 ) ,BD=l 为定长,则△ABC 的面积最大值为 A.

l2 1? k 2

B.

l 1? k 2

C.

l2 2 ?1 ? k 2 ?

D.

l 2 ?1 ? k 2 ?

10. 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 为 y ? f ? ? x? , 当 x ? 0 时 ,

f ?? x? ?

f ? x? 1 ? 0 ,若 a ? x 2

?1? ? 1? f ? ? , b ? ?2 f ? ?2 ? , c ? ? ln ? f ?2? ? 2?
C. a ? b ? c

? 1? ? ln ? ,则 a, b, c 的大小 ? 2?

关系正确的是 A. a ? c ? b

B. b ? c ? a

D. c ? a ? b

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的离心率为 2,则 a ? ________. a 2 32

2 12.设随机变量 ? ~ N ? , ? ,且P ?? ? ?1? =P ?? ? 2 ? =0.3 ,则 P ? ?2? ?? 0 ? = ______.

?

?

ABgAC ? 13.如右图, 在?ABC 中, 若 AB ? 1,AC ? 3,

uu u r uuu r

3 ,则BC = _. 2

14.学校体育组新买 2 个同样篮球,3 个同样排球,从中取出 4 个发 放给高一 4 个班,每班 1 个,则共有______种不同的发放方法. 15.圆 O 的半径为 1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的 正方形(实线所示,正方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆周逆时针滚 动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路径的长度为 _________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ? x ? ? 2a sin ? x cos ? x ? 2 3 cos ? x ? 3 ? a ? 0, ? ? 0 ? 的最大值为 2,且最

小正周期为 ? . (I)求函数 f ? x ? 的解析式及其对称轴方程; (II)若 f ?? ? ?

4 ?? ? , 求 sin ? 4? ? ? 的值. 3 6? ?

17. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC, ?ACD与?ACB 是边长为 2 的等边 三角形,BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (I)求证:DE//平面 ABC; (II)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值. 18. (本小题满分 12 分) 学校为测评班级学生对任课教师的满意度,采用“100 分制” 打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取 10 名,以下茎 叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎, 个位数字为叶) : 规定若满意度不低于 98 分,测评价该教师为“优秀”. (I)求从这 10 人中随机选取 3 人,至多有 1 人评价该教师是“优秀”的概率; (II)以这 10 人的样本数据来估计整个班级的总体数据,若从该班任选 3 人, 记 ? 表示抽到评价该教师为“优秀”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

19. (本小题满分 12 分)

?1 ? an ? n, n为奇数, 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 ?an ? 3n, n为偶数. ?
(I)求证:数列 ?a2 n ? ? 是等比数列; (II)若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n. 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos ? x ?

? ?

3? 2?

? ?

??

x ? , g ? x ? ? e ? f ? ? x ? ,其中 e 为自然对数的底数. 2?

(I)求曲线 y ? g ? x ? 在点 0, g ? 0? 处的切线方程; (II)若对任意 x ? ? ?

?

?

? ? ? , 0 ,不等式 g ? x ? ? x ? f ? x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ? 2 ? ?

(III)试探究当 x ? ?

?? ? ? 时,方程 g ? x ? ? x ? f ? x ? 的解的个数,并说明理由. , ?4 2? ?

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,其中 F1 , F2 为左、右焦点,O 为坐标原点.直线 l 与椭 a 2 b2

圆交于 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 两个不同点.当直线 l 过椭圆 C 右焦点 F2 且倾斜角为

? 时,原点 4

O 到直线 l 的距离为

2 .又椭圆上的点到焦点 F2 的最近距离为 3 ? 1 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)以 OP,OQ 为邻边做平行四边形 OQNP,当平行四 边形 OQNP 面积为 6 时, 求平行四边形 OQNP 的对角线 之积 ON ? PQ 的最大值; ( III )若抛物线 C2:y ? 2 px ? p ? 0?以F2 为焦点,在
2

抛物线 C2 上任取一点 S(S 不是原点 O) ,以 OS 为直径作圆,交抛物线 C2 于另一点 R,求该 圆面积最小时点 S 的坐标.

2015 年高三模拟考试

理科数学参考答案与评分标准

2015.03

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. DABBB DADCA 1.解析: 答案 D ,

A ? [0,2], B ? ?x | x ? 0或x ? 1?,? A ? B ? (1,2] .故选 D.

2.解析: 答案 A ,求出 z1· z2 的虚部,令其为 0. ∵ 复数 z1=3+4i,z2=t+i, ∴ z1? z2 =(3t+4)+(4t﹣3)i,∵ z1? z2 是实数,∴ 4t﹣3=0,∴ t=

3 .故选 A. 4

3.解析: 答案 B ,由 log2 (3x ? 1) ? 0 得 3x ? 1 ? 1 即 3x ? 0 ,显然无解,所以 p 是假命题, 又由含量词命题的否定易得 ? p: ?x ? R , log2 (3x ? 1) ? 0 .故选 B. 4.解析:答案 B,若俯视图为正方形,则正视图中的边长 3 不成立;若俯视图为圆,则正视 图中的边长 3 也不成立. 5.解析: 答案 B ,

? y?x ? 先画出 x , y 满足 ? x ? y ? 2 的可行域如右图: ? x?a ?
由?

? y?x ?x ? a , 得 B(1, 1), 由? , 得 C(a, a), 当直线 z ? 2 x ? y ?y ? x ?x ? y ? 2

过点 B(1, 1)时, 目标函数 z ? 2 x ? y 取得最大值, 最大值为 3; 当直线 z ? 2 x ? y 过点 C(a, a)时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最小值,最小值为 3a;由条件得 3 ? 4 ? 3a ,所以 a= 故选 B. 6.解析:答案 D , 由程序框图可知 S ? 1 ? 2 ? 3 ?

1 , 4

? 2013 ? 2014 ? 1007 ? (?1) ? ?1007 .所以选 D.

1 2 π 1 π 1 x +sin( +x), ∴ f ?( x ) = x+cos( +x)= x 4 2 2 2 2 π π f ?( ) ? ? 1 ? 0 ? ﹣sinx.∴ 函数 f ( x ) 为奇函数,故 B、D 错误;又 ,故 C 错误;故选 A. 2 4
7.解析: 答案 A , 本题可用排除法, ∵f (x) = 8.解析:答案 D ,当 a ? ?1 时, f (a) ? 2
时 a ? ?1 ; 当 a ? ?1 时,
?2 a

1 ? 2 ,解得 a ? ? ,此 2

f (a) ? 2a ? 2 ? 2 ,解得 a ? 0 ,此时 a ? 0 .

故实数 a 的取值范围是 (??, ?1]

[0, ??) .故选 D.

9. 解析: 答案 C,如图所示,以 B 为原点,BD 为 x 轴建立平面直角坐标系, 设

A ? x, y ? , y ? 0 , AB ? AC, ? AD ? kAC ? kAB ,即
2 2 整理得: ? (x ? l) ? y 2 ? k( x2 ? y 2), AD 2 ? k 2 AB 2,

y ?
2

? ?1 ? k 2 ? x 2 ? 2lx ? l 2 1? k 2
ABC max

? ? x2 ?

2l l2 k 2l 2 kl x ? ? , 2 ,即 ymax ? 2 2 2 1? k 1? k 1? k 2 ?1 ? k ?
l2 ? .故选 C. 2 ?1 ? k 2 ?

?S ∴ BD ? l,

?

1 ? ?S k

ABD max

?

10. 解析: 答案 A,利用条件构造函数 h(x)=xf(x) ,∴ h′ (x)=f(x)+x?f′ (x) ,∵ y=f(x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,∴ h(x)是定义在实数集 R 上的偶函数,当 x>0 时,h'(x)

1 1 1 f( )=h( ) ,b=﹣2f(﹣2) 2 2 2 1 1 1 1 =2f(2)=h(2) ,c=(ln )f(ln )=h(ln )=h(﹣ln2)=h(ln2) ,又 2>ln2> ,∴ b 2 2 2 2
=f(x)+x?f′ (x)>0,∴ 此时函数 h(x)单调递增.∵ a= >c>a.故选 A. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 3 ; 12. 0.2 ; 13.

7 ; 14. 10 ; 15.

(2 ? 2) π . 2

11.解析:答案 3 ,由题意知 e ?

a2 ? 9 =2, (a>0) ,由此可以求出 a 的值 3 . a

12.解析:答案 0.2 ,因为 P(? ? ?1) ? P(? ? 1) ,所以正态分布曲线关于 y 轴对称,又因 为 P(? ? 2) ? 0.3 ,所以 P(?2 ? ? ? 0) ?
13.解析:答案 BC

1 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 . 2

? 7,

因为 AB, AC ? 60 ,所以 BC 2 ? 1 ? 32 ? 2 ? 1 ? 3 ? cos 60 =7.
14.解析:答案 10,分 1 个篮球 3 个排球和 2 个篮球 2 个排球两种情况. C4 ? C4 ? 10 .
1 2

15.解析:答案

(2 ? 2) π ,每次转动一个边长时,圆心角转 2

D D C A (P) A B C

过 60°,正方形有 4 边,所以需要转动 12 次,回到起点.在 这 11 次中,半径为 1 的 6 次,半径为 2 的 3 次,半径为 0 的 2 次,点 A 走过的路径的

1 1 (2 ? 2)? ? 2? ? 1 ? 6 + ? 2? ? 2 ? 3 = 长度= . 12 12 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.

第(15)题图

16.解析: (Ⅰ ) f ( x) ? a sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 由题意知: f ( x ) 的周期为 ? ,由
2

a 2 ? 3 sin(2? x ? ? ) ,

2π ? π ,知 ? ? 1 ………………………………………………………2 分 2?

由 f ( x) 最大值为 2,故 a ? 3 ? 2 ,又 a ? 0 ,? a ? 1 ∴ f ( x ) ? 2sin(2 x ? 分 令 2x ? 分 (Ⅱ )由 f (? ) ? ∴ sin ? 4? ? 分

π ) 3

………………………………………………………………………………………………………4

?
3

?

?
2

? k? ,解得 f ( x) 的对称轴为 x ?

π kπ ? ( k ? Z ) ……………………………………6 12 2

4 π 4 π 2 知 2 sin(2? ? ) ? ,即 sin(2? ? ) ? , 3 3 3 3 3

? ?

π? π ? π? π? ? ? ? ? ? sin ?2 ? 2? ? ? ? ? ? ? cos2 ? 2? ? ? ……………………………………………10 6? 3 ? 2? 3? ? ? ?
2

π? 1 ? ?2? ? ?1 ? 2sin ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? ………………………………………………………………12 分 3? 9 ? ? 3?
2

17.解析: (Ⅰ )证明:由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点

O ,连接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC , DO ⊥ 又∵ 平面 ACD ⊥ 平面 ABC ,∴ 平面 ABC ,作 EF ⊥ 平面 ABC , 那么 EF / / DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上,
?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 , ∴

DE / / OF ,∴ DE / / 平面 ∴ 四边形 DEFO 是平行四边形,∴ ABC …………6 分
(Ⅱ )建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,可知平面 ABC 的一 个法向量为 n1 ? (0, 0,1) , B (0, 3,0) , C ( ?1,0,0) , E (0, 3 ? 1, 3) , 设平面 BCE 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z ) , 则, ? 分 所以 cos ? n1 , n2 ??

? ?n2 ? BC ? 0 ? ?n2 ? BE ? 0

可求得 n2 ? (?3, 3,1) . ………………9

n1 ? n2 13 ? , | n1 | ? | n2 | 13

又由图知,所求二面角的平面角是锐角, 所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为

13 .……12 分 13

(18)解: (Ⅰ)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人评价该教师为“优秀” ,至多有 1 人评价该教师 为 “优秀” 记为事件 A , 则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? 6分 (Ⅱ) ξ 的可能取值为0、1、2、3 ,
3 1 2 C7 C 98 49 3 C 7 ????? ? ? ? 3 3 C10 C10 120 60

P(? ? 0) ? (

7 3 343 ) ? ; 10 1000

1 P(? ? 1) ? C3 ?

3 7 2 441 ?( ) ? ; 10 10 1000

3 7 189 P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? ; 10 10 1000
分布列为

3 27 P(? ? 3) ? ( )3 ? . 10 1000

?
P

0
343 1000

1

2

3
27 1000
?????10分

441 1000

189 1000

E? ? 0 ?

343 441 189 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? 0.9 . 1000 1000 1000 1000 3 , 2

?????12分

注:用二项分布直接求解也可以. 19.解: (Ⅰ)设 bn ? a2 n ? 因



3 1 1 3 1 3 1 (a2 n ? 6n) ? (2n ? 1) ? a2 n ? a2 n ?1 ? (2n ? 1) ? bn ?1 2=3 2 ?1, 2=3 2?3 ? 3 3 3 3 bn 3 a2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ? 2 2 2 2 3 1 3 1 所以数列 {a2 n ? } 是以 a2 ? 即 ? 为首项,以 为公比的等比数列. ??? 5 分 2 3 2 6 a2 n ? 2 ?
(Ⅱ )由(Ⅰ)得 bn ? a2 n ? 由 a2 n ?

3 1 ?1? ? ? ?? ? 2 6 ?3?

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? , 2 ?3? 2 ?3? 2

n

n

1 1 1 15 a2 n ?1 ? (2n ? 1) ,得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3(2n ? 1) ? ? ? ( ) n ?1 ? 6n ? , 3 2 3 2 1 1 n ?1 1 n 1 n 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? [( ) ? ( ) ] ? 6n ? 9 ? ?2 ? ( ) ? 6n ? 9 , 2 3 3 3

S2n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

? (a2n?1 ? a2n )
? n) ? 9 n 1 1 ? ( ) n ? 1 ? 3n 2 ? 6n ? ( ) n ? 3( n ? 1) 2 ? 2 ? ? 3 3

1 1 1 ? ?2[ ? ( ) 2 ? ? ( ) n ] ? 6(1 ? 2 ? 3 3 3 1 1 [1 ? ( )n ] 3 ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ?2 ? 3 1 2 1? 3
10 分 显然当 n ? N ? 时, {S2 n } 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 >0,当 n ? 2 时, S 4 ? ? <0,所以当 n ? 2 时, S 2 n <0; 3 9 3 1 5 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ? ? ( ) n ? ? 3n 2 ? 6n , 2 3 2

同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n ?1 >0, 综上,满足 S n ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.????????????????? 12 分 20.解: (Ⅰ)依题意得, 0 f?x s x? 0 .? ? e c o s?0 ,1 ? ? s i n x , ?g ? x? x e ? c o g

g ? ? x ? ? ex cos x ? ex sin x, g ?(0) ? 1 ,
所以曲线 y ? g ? x ? 在点 (0, g (0)) 处的切线方程为

y ? x ? 1 ???????????????4 分
? π ? (Ⅱ)等价于对任意 x ? ? ? ,0? , m ≤[ g ? x ? ? x ? f ? x ?]min . ? 2 ? ? π ? 设 h( x) ? g ? x ? ? x ? f ? x ? , x ? ? ? ,0? . ? 2 ? x x 则 h? ? x ? ? e cos x ? e sin x ? sin x ? x cos x ? e x ? x cos x ? e x ? 1 sin x

? ? π ? 因为 x ? ? ? ,0? ,所以 ? e ? x ? cos x ≥ 0, ? e ? 2 ?
x

?

?

?

x

? 1 sin x ≤ 0 ,

?

? π ? 所以 h? ? x ?… 0 ,故 h( x) 在 ? ? , 0? 单调递增, ? 2 ? π ? ? ?? 因此当 x ? ? 时,函数 h( x) 取得最小值 h ? ? ? ? ? ; 2 2 ? 2? ? π ? ? 所以 m ≤ ? ,即实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2? ? ?π π? (Ⅲ)设 H ( x) ? g ? x ? ? x f ? x ? , x ? ? , ? . ?4 2? ?π π? ?π π? 当 x ? ? , ? 时, H ?( x) ? ex (cos x ? sin x) ? sin x ? x cos x ? 0 ,所以函数 H ( x) 在 ? , ? 上单 ?4 2? ?4 2? π π ? ? 调递减,故函数 H ( x) 在 ? , ? 至多只有一个零点, ?4 2?

π 2 π π π π ?π π? 又 H( ) ? (e 4 ? ) ? 0, H ( ) ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x) 在 ? , ? 上是连续不断的, 4 2 4 2 2 ?4 2? ?π π? 因此,函数 H ( x) 在 ? , ? 上有且只有一个零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ?4 2?
21.解析: (Ⅰ)直线 l 的倾斜角为

? , F2 (c,0) ,直线 l 的方程 y ? x ? c , 4

c 2 , c ? 1 , T ( x0 , y0 ) 为椭圆 C 上任一点, ? 2 2
TF2 ? ( x0 ? 1)2 ? y02
2

= ( x0 ? 1)2 ? (1 ?

x0 2 2 1 )( a ? 1) = 2 ( x0 ? a 2 )2 ≥ ( 3 ? 1)2 , 2 a a

?a ? x0 ? a ,
当 x0 ? a 时, a ? 1 ? 3 ? 1 , a ? 椭圆 C 的方程

3 ,b ? 2 ,

x2 y 2 ? ? 1 ..………………………5 分 3 2

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时, P, Q 两点关于 x 轴对称,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由 P ? x1 , y1 ? 在椭圆上,则 知 ON ? PQ = 2 6 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y ? kx ? m ,代入

x12 y12 6 ? ? 1 ,而 S ? 2 x1 y1 ? 6 ,则 x1 ? , y1 ? 1 , 3 2 2

x2 y 2 ? ? 1 可得 3 2

2x ? 3(kx ? m) ? 6 ,
2 2

第(21)题图

即 (2 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3m ? 6 ? 0 ,
2 2 2

? ? 0 ,即 3k 2 ? 2 ? m2 ,

x1 ? x2 ? ?

6km 3m2 ? 6 , x x ? , 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 , 2 ? 3k 2

d?

m 1? k 2

, S?POQ ?

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m2 6 , ? d ? PQ ? m ? 2 2 2 2 ? 3k 2

化为 4m2 (3k 2 ? 2 ? m2 ) ? (3k 2 ? 2)2 , (3k 2 ? 2)2 ? 2 2m2 (3k 2 ? 2) ? (2m2 )2 ? 0 ,

9k 4 ? 12k 2 ? 4 ? 12m2k 2 ? 8m2 ? 4m2 ? 0 ,
得到, (3k 2 ? 2 ? 2m2 )2 ? 0 ,则 3k 2 ? 2 ? 2m2 ,满足 ? ? 0 ,

y1 ? y2 x1 ? x2 3k 2 1 x1 ? x2 3k ?? ? k( )?m ? ? ?m? , 由前知 , 2 2m 2 2 2m m
设 M 是 ON 与 PQ 的交点,则

OM ? (

2

x1 ? x2 2 y ? y 2 2 9k 2 1 1 1 ) ?( 1 ) ? ? 2 ? (3 ? 2 ) , 2 2 2 4m m 2 m
2

24(3k 2 ? 2 ? m2 ) 2(2m2 ? 1) 1 PQ ? (1 ? k ) ? ? 2(2 ? 2 ) , 2 2 2 (2 ? 3k ) m m
2

OM

2

PQ ? (3 ?

2

1 1 25 1 1 )(2 ? 2 ) ≤ ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 , 2 m m 4 m m

即 m ? ? 2 时等号成立, 综上可知 OM ? PQ 的最大值为

5 . 2

ON ? PQ =2 OM ? PQ 的最大值为 5. ………………………10 分
(Ⅲ)因为以 OS 为直径的圆与 C2 相交于点 R ,所以∠ORS = 90°,即 OR ? SR ? 0 , 设 S ( x1 , y1 ) ,R( x2 , y2 ) , SR =( x2 - x1 , y2 - y1 ) , OR =( x2 , y2 ), 所以 OR ? SR ? x2 ( x2 ? x1 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ?

y2 2 ( y2 2 ? y12 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 , 16

因为 y1 ? y2 , y2 ? 0 ,化简得 y1 ? ? ? y2 ?

? ?

16 ? ? , y2 ?

所以 y1 ? y2 ?
2 2

256 2 256 ? 32 ? 2 y2 ? 2 ? 32 ? 64 , 2 y2 y2

2 当且仅当 y2 ?

256 2 即 y2 =16,y2=± 4 时等号成立. 2 y2

圆的直径|OS|=

x12 ? y12 ?

y14 1 1 ? y12 ? y14 ? 16 y12 ? ( y12 ? 8)2 ? 64 , 16 4 4

因为 y12 ≥64,所以当 y12 =64 即 y1 =± 8 时, OS min ? 8 5 ,

所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,± 8)..……………………14 分



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