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高中新课标数学选修(2-1)椭圆练习题



椭 圆(1)
1.椭圆的定义: 第一定义:平面内到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0<e<1)的点 的轨迹是椭圆 , 定点叫做椭圆的焦点 , 定直线 l 叫做椭圆的准线 ,常数 e 叫做椭圆 的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 图形
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a 2

顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率

(? a, 0) , (0, ?b)

(0, ? a) , (?b, 0)

x 轴, y 轴,长轴长为 2a ,短轴长为 2b
F1 (?c,0) 、 F2 (c,0)
焦距为 F1F2 ? 2c(c ? 0),
a

F1 (0, ?c) 、 F2 (0, c)
c 2 ? a 2 ? b2

e ? c (0<e<1)

1.过点(3, -2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆的方程是 (A)
x2 y 2 ? ?1 15 10

(B)

x2 y 2 ? ?1 5 10

(C )

x2 y 2 ? ?1 10 15

(D)

x2 y 2 ? ?1 25 10

2.若椭圆 a2x2-
1

a 2 y =1 的一个焦点是(-2, 0),则 a= 2

(A)

1? 3 4

(B)

?1 ? 3 4

(C)

1? 5 4

(D)

?1 ? 5 4

3.若△ABC 顶点 B, C 的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC, AB 边上的中线长之和 为 30,则△ABC 的重心 G 的轨迹方程为 (A)
x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 100 36 x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 100 36

(B)

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 100 84 x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 100 84

(C)

(D)

4.点 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点,以点 P 以及焦点 F1, F2 为顶点的三角形的面 5 4

积为 1,则点 P 的坐标是 (A)(±
15 15 15 15 , 1) (B)( , ±1) (C)( , 1) (D)(± , ±1) 2 2 2 2

5.化简方程 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 =10 为不含根式的形式是 (A)
x2 y 2 ? ?1 25 16

(B)

x2 y 2 ? ?1 25 9

(C )

x2 y 2 ? ?1 16 25

(D)

x2 y 2 ? ?1 9 25

6.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是 m?2 m?5

(A)(±7, 0) (B)(0, ±7) (C)(± 7 ,0) (D)(0, ± 7 ) 7.过椭圆 4x2+2y2=1 的一个焦点 F1 的弦 AB 与另一个焦点 F2 围成的三角形△ ABF2 的周长是 .

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1 和 F2 是其焦点,若∠F1PF2=60° 8.P 为椭圆 ,则△ 100 64

F1PF2 的面积为

.

x2 y2 9.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横 a b
2

坐标为 c,则椭圆的离心率为

. .

1 10. 若 y2-lga· x2= -a 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则 a 的取值范围是 3

11.P 点在椭圆 标是 .

x2 y2 ? ? 1 上,F1、F2 是两个焦点,若 PF1 ? PF2 ,则 P 点的坐 45 20

12.椭圆的两焦点为 F1(-4, 0), F2(4, 0),点 P 在椭圆上,已知△PF1F2 的面积的 最大值为 12,求此椭圆的方程。

椭 圆(2)
1.方程 Ax2+By2=C 表示椭圆的条件是 (A)A, B 同号且 A≠B (C)A, B, C 同号且 A≠B (B)A, B 同号且 C 与异号 (D)不可能表示椭圆

2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为 (A)
3 5

(B)

1 3

2

(C)

3 4

(D)

9 10

3.椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a, b, c,则其焦点到相应准线的 距离 P 是 (A)
a2 c

(B)

b2 c

(C)

b2 a

(D)

a2 b

x2 y2 4. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左焦点 F 到过顶点 A(-a, 0), B(0, b)的直线的距离 a b
3

等于

b ,则椭圆的离心率为 7
1 2

(A)

(B)

4 5

(C)

7? 7 6

(D)

7? 7 6

5.设 F1(-c, 0), F2(c, 0)是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点,P 是以|F1F2|为 a2 b2

直径的圆与椭圆的一个交点,且∠PF1F2=5∠PF2F1,则该椭圆的离心率为 (A)
1 3

6

(B)

3 2

(C)

2 2

(D)

2 3

6.若 AB 为过椭圆 积的最大值是 (A)b2

x2 y2 ? ? 1 中心的弦,F(c, 0)为椭圆的右焦点,则△AFB 面 a2 b2

(B)bc (C)ab

(D)ac

7.已知 A(4, 2.4)为椭圆 ______________.

x2 y 2 ? ? 1 上一点,则点 A 到该椭圆的左焦点的距离是 25 16

8.若方程 x2cosα-y2sinα+2=0 表示一个椭圆,则圆(x+cosα)2+(y+sinα)2=1 的圆 心在第 9.椭圆 _________象限。

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1,F2, 点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 12 3

y 轴上,则|PF1|是|PF2|的

倍。

10.线段|AB|=4,|PA|+|PB|=6, M 是 AB 的中点,当点 P 在同一平面内运动时, PM 长度的最大值、最小值分别为 .

11. 设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C, A(1, 0)是圆内一定点, Q 为圆周上任意一点, AQ 的 垂直 平 分线 与 CQ 的 连线 的交 点为 M , 则点 M 的轨 迹方 程
4


2

.

12.直线 y=x- 1 被椭圆 x2+4y2=4 截得的弦长为 13.求过点 P(3, 0)且与圆 x2+6x+y2-91=0 相内切的动圆圆心的轨迹方程。

椭 圆(3)
2 1.离心率为 ,长轴长为 6 的椭圆的标准方程是 3

(A)

x2 y 2 ? ?1 9 5

(B)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 9 5 5 9

x2 y 2 ?1 (C) ? 36 20

x2 y 2 x2 y 2 ?1或 ? ?1 (D) ? 36 20 20 36

2.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有 n 个不同的点 P1, P2, P3,……, Pn,椭圆的右焦点为 F, 4 3
1 的等差数列,则 n 的最大值为 100

数列{|PnF|}是公差大于 200 (C)198

(A)199

(B)

(D)201
x2 y2 ? ? 1 上的点,F1, F2 分别为椭圆的两个焦 a2 b2

3.点 P 是长轴在 x 轴上的椭圆

点,椭圆的半焦距为 c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是 (A)1 (B)a2 (C)b2 (D)c2

4.一个圆心在椭圆右焦点 F2,且过椭圆的中心 O(0, 0),该圆与椭圆交于点 P, 设 F1 是椭圆的左焦点,直线 PF1 恰和圆相切于点 P,则椭圆的离心率是 (A) 3 -1 (B)2- 3 (C)
2 2

(D)

3 2

5

5.椭圆短轴的两端点为 B1, B2,过其左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,若
| PF1 | |F1B2|是|OF1|和|B1B2|的比例中项(O 为中心),则 等于 | OB2 |
l D B P Q A F O x y

(A) 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

2 3

6.如图,已知椭圆中心在原点,F 是焦点,A 为顶点,准线 l 交 x 轴于点 B,点 P, Q 在椭圆上,且 PD⊥l 于 D,QF⊥AO, 则椭圆的离心率 是①
| PF | | QF | | AO | | AF | | FO | ;② ;③ ;④ ;⑤ ,其中正确的个数是 | PD | | BF | | BO | | AB | | AO |

(A)1 个

(B)3 个

(C)4 个

(D)5 个
3 ,则 P 的轨迹方 3

7.点 P 与定点(1, 0)的距离和它到直线 x=5 的距离的比是 程为 .

x2 y2 8 . 椭 圆 2 ? 2 ? 1 (b>a>0) 的 准 线 方 程 是 a b

;离心率

是 9.椭圆


x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2 的连线的夹角为直角,则 Rt 49 24

△PF1F2 的面积为

.
3 ,则长轴的最大值等 2

10.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 满足 0<e≤ 于 .

11.若椭圆的一个焦点分长轴为 3 : 2 的两段,则其离心率为 12.椭圆

.

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)长轴的右端点为 A,若椭圆上存在一点 P,使∠ a2 b2

6

APO=90° ,求此椭圆的离心率的取值范围。

13. 设 F 1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭 a 2 b2

圆 C 相交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 1 到直线 l 的距离为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

7



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