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必修一二次函数 零点 二分法



2014-2015 学年高二数学学考复习学案

教材 必修一

编号:04

使用时间:

班级:

姓名:

标题:二次函数、零点、二分法 知识点回顾
一、二次函数 1.二次函数的解析式,图像与性质 解析式 类型 图 像 及 主 要 特 征 备注 一

般式 顶点式 两交点式

5.一元二次不等式解法:(理解一元二次方程、一元二次不等式以及二次函数之间的关系;利用二 次函数的图象来写出一元二次不等式的解集) 以 ax 2 ? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 为例

ax2 ? bx ? c ? 0 (a > 0)

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)





二、零点与二分法 1、零点概念:一般地,如果函数 y ? f ( x) 在实数 x ? a 处的值 函数的零点,求函数的零点即求 方程 f(x)=0 有实数根 即 , 则 a 叫该



2.二次函数的性质: ⑴、开口方向:_______________________________________; ⑵、对称轴方程:____________________________________;

函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点

函数 f(x)=0 有零点。 。 相邻两个

如果函数的图象是连续的,当它通过零点(不是二重零点)时,函数值 零点之间的函数值 。


⑶、顶点坐标:_______________________________________; ⑷、增减性变化情况:__________________________________________________________

2.所谓二分法,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼 近零点,进而得到零点的近似值的方法。 3、研究零点的方法:

线

____________________________________________________________________________ 3. 二次函数的图象变换: ⑴、 y ? ax 与 y ? x 的图象之间的关系。
2 2

典型例题
题型一:二次函数求解析式 例 1 :已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点为 (?1,0), (3,0) ,其形状与抛物线
2

⑵、 y ? a( x ? h) ? k 与 y ? ax 的图象之间的关系。
2 2

4.解一元二次方程: (1)判断根的存在条件: (2)求根公式与韦达定理:
1

y ? ?2 x 2 相同,求 y ? ax2 ? bx ? c 的解析式。
例 2:已知二次函数y = f(x)的图像过原点,且f x ? 1 = f x + x ? 1,求f(x)的表达式.

2014-2015 学年高二数学学考复习学案 题型二:二次函数的性质 例 3:已知 2 x 2 ? 3x ? 0 ,求函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 的最值;

教材 必修一

编号:04

使用时间:
2

班级:
2

姓名:

例 11: (1)关于 x 的方程2x + 7mx + 5m + 1 = 0的两个实根中,一个比 2 大,一个比 2 小,求 实数 m 的取值范围。

例 4:若函数 y ? x 2 ? (a ? 2) x ? 3 , x ? [a, b] 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 b =

(2)关于 x 的方程2x2 ? 4 m ? 1 x + m2 + 7 = 0的两根之差的绝对值小于 2,求实数 m 的取值范 围。

例 5:已知函数 y ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 1 在 (??,4) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是

题型五:二次函数定区间动轴和动区间定轴时的最值问题 例 12:已知 f ( x) ? ?4x 2 ? 4ax ? 4a ? a 2 在区间[0,1]内有最大值-5,求 a 的值。



例 6: 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 5 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 若 x ? [0, m] 时, 函数 f ( x) ?[1,5] ,
2

则实数 m ? 题型三:二次不等式



例 13:已知 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ,求函数在定义域为[m,m+1]内的最小值。



例 7:已知不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 (??,2) ? (3,??) ,则不等式 bx 2 ? ax ? c ? 0 的解集 为 例 8: f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ,如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

题型六:零点与二分法 例 14: 下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是 y y








例 9: 对于不等式8 2t ? t 2 ≤ x 2 ? 3x + 2 ≤ 3 ? t 2 ,试求对区间[0,2]上的任意 x 都成立的实数 t 的取 值范围。 y
1

0 A

x

0 y B

x

线
0 题型四:一元二次方程实根分布问题 例 10: (1)若关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则 a 的范围是
2 2

x :C
2

0 D

x

例 15:函数 y ? 2 x ? 7 x ? 15的零点为 例 16: (1)方程 log3x+x=3 的近似解所在区间是 A (0,2) B (1,2) C (2,3) D (3,4) (2) 方程 logax=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 ( ( ) )

(2)m 是什么实数时,关于 x 的方程mx 2 ? 1 ? m x + m = 0有两个正实根?

2



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