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三角函数复习



三角函数指导

近五年北京高考题中三角函数考察的内容
年份 2015 理科 第12题:三角形中三角函数 第15题:正弦型函数性质 文科 第11题:解三角形 第15题:正弦型函数性质

2014
2013

第14题:正弦型函数图象性质 第15题:解三角形
第3题:正弦型函数图象性质 第15

题:解三角形

第12题:解三角形 第16题:正弦型函数图象性质
第5题:解三角形 第 15 题:恒等变形、正弦型函 数图象性质、特殊角的函数值

第11题:解三角形 第 15 题:恒等变形、正弦型函 数图象性质 2011 第9题:解三角形 第 15 题:恒等变形、正弦型函 数图象性质 2012

第11题:解三角形(姊妹题) 第15题:同理科15
第9题:解三角形(姊妹题) 第15题:同理科15

(2015 年北京理科 12)在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则

sin 2 A ? sin C



x x x (2015 年北京理科 15)已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2
(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

(2014· 北京理 14)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在 区间?

? 2? ? π π? ) ? ? f ( ) ,则 f(x)的最小正周期为_____. 上具有单调性,且 f ( ) ? f ( , ?6 2? 2 3 6

π (2014· 北京理 15) 如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上, 3 1 且 CD=2,cos∠ADC= . 7 (1)求 sin∠BAD;

(2)求 BD,AC 的长.

(2013 北京理 3)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )条件 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 (2013 北京理 15)在△ABC 中,a=3,b=2 (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 6,∠B=2∠A.

13、14年有点变化, 15回归常态

(2015 年北京文科 11)在 ???C 中, a ? 3 , b ?

6 , ?? ?

2? 3

,则 ?? ?

. )

(2015 年北京文科 15)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? 0,
? ?

2

x 2



2? ? 上的最小值. ? 3 ?

1 (2014· 北京文 12) 在△ABC 中, a=1, b=2, cos C= , 则 c=___; sin A=___. 4 π (2014 年北京文 16)函数 f(x)=3sin?2x+ ?的部分图像如图所示. 6? ? (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π π (2)求 f(x)在区间?- ,- ?上的最大值和最小值. 12? ? 2
1 (2013 北京文 5) 在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 1 (2013 北京文 15)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; π 2 ,π?,且 f(α)= ,求 α 的值. (2)若 α∈? ?2 ? 2 )

稳定、常规

考 试 说 明 中 的 要 求

指导37页
三角函数定义; 几个恒等公式; 函数图象性质。

复习策略
三角恒等变形是一个难点,应多加强对三角 恒等变形的训练,重视基础知识和技能培养。 在三角函数的学习中重视数形结合的数学思 想方法,借助三角函数图象(或单位圆)理 解三角函数在一个周期上的单调性、最大和 最小值、图象和 轴的交点等性质。

本章知识与方法网络
特殊角的三角函数值、象限符 号特征、图象性质 三角函数定义 (三角函数线) 锐角三角函数 诱导公式、同角关系 式、和差倍半角公式

公式 应用
化简 求值 证明 图象性质

任意角三角函数

角的扩充
角的概念、表示、度量、运算

核心概念

进行知识方法网络构建,做到由厚变薄 再由薄变厚
由厚变薄过程(整合、反思、提炼); 本章所讨论的问题大体可以分为以下几种问题
①给值求值问题(求值、化简、证明等) ; ②转化为正弦型函数,考查函数的图像、性质 (如周期性、奇偶性、单调性、值域等)的有关问题; ③利用正弦(余弦)定理和相应的三角变换,考查与三 角形的边角关系问题; ④把它放在函数背景下考察概念和性质等.

求三角函数值域问题:
① 利用正弦(型)函数的图象性质求值域; ? y ? sin( x ? ) ,(1) x ? R (2) x ? (0, ? ) 6 ? 2 2 y ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x ; x ? [0, ) 2 ② 三角函数与二次函数的复合函数的值域;
例.求函数 y ? 6 ? sin x ? cos x 值域.
2

③ 利用三角函数的有界性求值域;
例.求函数 y ?

④体会数形结合思想方法求值域;
1 ? sin x 例.求函数 y ? 的值域. 2 ? cos x

1 ? sin x 的值域. 2 ? sin x

由薄变厚过程(以给值求值问题为例);
3 (1)若 cos ? ? , ? ? (?? , 0), 求 sin ? . 5
(2)已知 sin ? ?

2 ,则 cos(? ? 2? ) = 3


.

(3) (15 年广东文科)已知 (I)求 的值; (II)求

的值.

1 (4)已知 sin ? ? cos ? ? , ? ? (0, ? ), 求 tan ? 得值. 5

3 ? ? 12 ? 3? ? ? (5)已知 ? , ? ? ? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? , 5 4 ? 13 ? 4 ? ?

?? ? 则 cos? ? ? ? = 4? ?



核心方法(多题归一提炼方法): ? 5 10 ?? ? ? ,且 sin ? ? (6)已知 0 ? ? ? ( ,sin ? ? , 1)抓角度的和差倍半关系 2 5 10 (2)关注次数、名称和结构常见技巧: (1)化弦、弦切互化 求 ? ? ? 的值. (2)角的配凑、压缩角度范围 (3)1的代换、确定符号等

公式的复习
①本章公式多,切记三角函数公式不能死记或记死.死 记就不会变形,记死就不会活用. 多落实公式的推导, 每一个公式要知道至少一种方法进行推导(证明), 理解公式的生成过程,公式间的相互联系。
cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan(? ? ? ) cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan(? ? ? )
cos 2? sin 2? tan 2?

cos 2 ? sin 2 ?
sin ? cos ?

②理解公式的功能,可以把公式分成三个层面: 第一、从三角函数定义层面可以得到诱导公式(反映了 三角函数的周期、奇偶和对称性)(诱导公式) 第二、可以从边角关系中得到同角关系式(体现了方程 (组)思想、转化思想) 第三、可以看作是运算关系,反映了自变量的运算值对 应的函数值和函数值得运算值。可以理解为两种运算顺 序下的运算法则:即给出了 如何运算 f (? ? ? ), f (? ) ? f (? )

典型例题举例分析
1.三角函数的定义

例.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为( )

f ( x) ? cos x ? sin x

A

B

C

D

1.三角函数的定义

BC ? 2 ? 2 cos(? ? ) 3

2

?

3 4? 例. A、B 是单位圆 O 上的动点,∠AOB= 60? ,若 A 点的坐标为? ?5,5?,则 BC =

3 ? cos ? ? ? ? 5 ? ?sin ? ? 4 ? 5 ?

?BOC ?

?
3

??

2.给值求值问题
5 10 ,sin ? ? , 求 ? ? ? 的值. 例.已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 sin ? ? 2 5 10

?

5 3 10 , cos ? ? ? , 求 ? ? ? 的值. 变式:已知 0 ? ? ? ? ? ? ,且 sin ? ? 5 10

核心方法 ?? ?? ?? ? 0 (1)抓角度的关系 cos( ? ? ?) (2 )关注次数、名称和结构 常见技巧: (1)角的配凑 (2)压缩角度范围 (3)确定符号等

0 ? ? ? ? ? 2? ? 3? ?? ?? ? 2 2 sin(? ? ? )

2.给值求值问题
例.(08 天津)已知 cos? x ?

? ?

??

2 ? ? ?? ? ? , x ? ? ? , ?. 4 ? 10 ?2 4 ?

?? ? (Ⅰ)求 sin x 的值; (Ⅱ)求 sin? 2 x ? ? 的值. 3? ?

核心方法:抓角度的和差倍半关系

x ? x?

?
4

?

?
4

x ? 2x ? 2x ? x? x?

?
3

?
6

? 2x ?

?
3

3.三角函数图象性质问题
? 例.已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , 3
(1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它的图象; (3)说明 y ? f ( x) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样变换得到? (4)写出函数的单调区间; (5)写出函数图象对称轴方程和对称中心坐标; (6)当 x 取何值时,函数取得最大值. (7)求函数在区间 (0, ) 上的值域.

?

2

? (8)若 x ? (0, ) , 2sin(2 x ? ) ? m 有两个解,求 m 得取值范围。 3 2
?

3.三角函数图象性质问题
例.已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , 3 (7)求函数在区间 (0, ) 上的值域.

?

?

? y ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3

2

常见错误:
y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
3

)

x ? (0, ) 2

?

2x ?

?

? (0, ) 3 2

?

1 ? cos 2 x cos x ? 2
2

?

4? 3 ? 3 ? 2x ? ? ?? ? 2x ? ? 3 3 3 2 3 2

?

3.三角函数图象性质问题
? 例.已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , 3
(7)求函数在区间 (0, ) 上的值域.

?

? y ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3

2

规范解答:

? x ? (0, ) 2 ? 2x ?

?

?

?( , ) 3 3 3

? 4?

3 ? sin(2 x ? ) ? ( ? ,1] 3 2 ? y ? (? 3, 2]

?

3.三角函数图象性质问题
例.已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

? ), 3

(8)若 x ? (0, ) , 2sin(2 x ? ) ? m 有两个解,求 m 得取值范围。 3 2

?

?

3.三角函数图象性质问题
例.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ? ) 的图象如图所示. (Ⅰ)求 ?,? 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

?

由形到数 T ??

( , 0)、 ( , 1) ? ? 4 2

?

?

例.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ? ) 的图象如图所示. (Ⅰ)求 ?,? 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

?

根据问题设计变形方向

g ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? k
和角公式、降幂公式、辅助角公式

4.解三角形
例. (1) (2015 京理)在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则
sin 2 A ? sin C



1 (2) (2014· 京文)在△ABC 中,a=1,b=2,cos C= ,则 c=___;sin A=___. 4 (3) 若满足条件 C ? 60?, AB ? 3, BC ? a 的 ?ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( ) (A) (1, 2) (B) ( 2, 3) (C) ( 3, 2) (D) (1,, 2)

a ? sin 60 ? 3 ? a
0

π 例(2014· 京理) 如图在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上, 3 1 且 CD=2,cos∠ADC= . 7 3 (1)求 sin∠BAD; ( 14 3 )

核心方法:寻找可解条件

(2)求 BD,AC 的长. (BD=3. AC=7)

?ABD可解 ? AD ? ?ADC可解

三、典型例题举例分析 4.解三角形
已知点 D 是 Rt ?ABC 斜边 BC 上一点,且 AB ? AD , 记 ?CAD ? ? , ?ABC ? ? (1)证明: sin ? ? cos 2? ? 0 (2)若 AC ? 3DC ,求 ? 的值
A

B

D

C

养成良好的书写习惯、思维习惯
(北京理科)已知函数 f ( x) ?

2 sin

x x cos ? 2 2

2 sin 2

x . 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期;
0] 上的最小值. (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [ ? π ,

(Ⅰ) f(x ) ?

2?

1 1 ? cos x sin x ? 2 ? 2 2

2 2 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 ? sin(x ? ) ? 4 2

规范不跳步; 辅助角要准确; 理解恒等变形 公式的功能;

?

(北京理科)已知函数 f ( x) ?

2 sin

x x cos ? 2 2

2 sin 2

x . 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期;
0] 上的最小值. (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [ ? π ,

最值与值域 的求解要求

3? ? ? ? x ? ? , (2)? ?? ? x ? 0,? ? 4 4 4 3? ? ? ,x ? ? 当x ? 时, 4 2 4

? ?? ? x ? 0, 3? ? ? ?? ? x ? ? 4 4 4

?

?

2 f(x )取得最小值为: ?1 ? 2

? 2 ??1 ? sin( x ? ) ? 4 2 2 ??1 ? ? f ( x) ? 0 2



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