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浙江省台州市书生中学12-13学年高二下学期期中考试数学(理)试题



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书生中学 2012-2013 学年高二下学期期中考试数学(理)试题 ( 满分:150 分 时间:120 分钟) 2013.5 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、若复数 Z 满足 A、第一象限

z ? 2i ,则 Z 对应点位于( 1? i<

br />B、第二象限 C、第三象限

) D、第四象限 )

2、设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= A.

1 9

B.

1 6

i ,i=1,2,3,则 P(X=2)等于( 2a 1 1 C. D. 3 4
( )

3、过抛物线 y = x 2 上一点 P (

3 , 2

3 ) 的切线的倾斜角是 4

A、90° B、45° C、60° D、30° 4、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时,反设正确的是( A、假设三个内角都不大于 60° B、假设三个内角至多有两个大于 60° C、假设三个内角至多有一个大于 60° D、假设三个内角都大于 60° 5 5,用二项式定理计算 9.98 ,精确到 1 的近似值为( ) A.99000 B.99002 C.99004 D.99005 6,函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导函数 y ? f '( x) 的图象是如图 所示的一条直线,则 y ? f ( x) 图象不经过 ( ... A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )



7,从甲袋中摸出 1 个红球的概率为 个球,则

1 1 ,从乙袋中摸出 1 个红球的概率为 ,从两袋中各摸出一 3 2

2 等于( 3

)

A.至少有 1 个红球的概率 B.2 个球都是红球的概率 C.2 个球都不是红球的概率 D.2 个球中恰有 1 个红球的概率 8. 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照, 要求排成一排, 位老人相邻但不排在两端, 2 不同的排法共有多少种( ) A 1440 B 960 C 720 D 480
/ 9, f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? x ? f ( x) ? 0 ,且 f (?4) ? 0

则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为(



A. (?4,0) ? (4,??) B. (?4,0) ? (0,4) C. (??,?4) ? (4,??) D. (??,?4) ? (0,4) 10. 某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下,从最下面 的六个出口出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中, 猜 得珠子从出口 3 出来,那么你取胜的概率为
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(

)?
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? A.

5 16

B.

5 32

C.

1 6

D.以上都不对?

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 利用数学归纳法证明“1+a+a2+ ? +an 1= 左边应该是
m 12.已知 A10 ? 10 ? 9 ??? 5,那么 m ?


1 ? a n?2 , (a≠1,n∈ N)”时,在验证n=1成立时, 1? a

13. 已知 (1 ? 2x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a7 x 7 , 那么 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? .

14.今有 1 个红球、2 个黄球、3 个白球,同色球不加以区分,将这 6 个球排成一列有 不同的方法(用数字作答). 15.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? (?1)n (an ? 1) ,记 Sn 为 {an } 前 n 项的和, 则 S2013 = .
'



16. 设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ( x) 为奇函数,则 ? ? ____ 17.已知命题:“若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b (m≠n,m,n∈N+),则 b?n ? a?m a m? n ? ”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N+)为等比数列,且 bm=a,bn=b (m≠n, n?m m,n∈N+),若类比上述结论,则可得到 bm+n= _________

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2012 学年第二学期 高二数学

(理)期中答卷
一、选择题(每题 5 分,共 50 分)

座位号

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题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(每题 4 分,共 28 分) 11. 14. 12. 15. 13. 16.

17. 三 、解答题(本大题共 5 题,18—20 每题 14 分,21—22 每题 15 分,共 72 分) 18.已知 ( x ?

2 n * ) (n ? N )展开式中第五项的系数与第三项的系数之比为 10 : 1 . x2 (1)求 n 的值;
3

(2)求展开式中含 x 2 的项;

19.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记 第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b.设复数 z ? a ? bi 。 (1)求事件“ z ? 3i 为实数”的概率; (2)求事件“ Z ? 2 ? 3 ”有多少种不同的情况,并加以说明。
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20.对于命题 P :存在一个常数 M ,使得不等式 意正数 a , b 恒成立。 (1)试给出这个常数 M 的值; (2)在(1)所得结论的条件下证明命题 P 。

a b a b ? ?M ? ? 对任 2a ? b 2b ? a a ? 2b b ? 2a

21.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3 分, 在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次,某同学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投, 用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

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(1)求 q 2 的值; (2)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述 方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。

?
p 3

0 0.0

2 P1 P2

3

4 P3

5 P4

22.已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ?R
x

(Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

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高二数学(理)期中答案
一、 选择题(每题 5 分,共 50 分)

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二、填空题(每题 4 分,共 28 分) 11 . 1 + a+ a2 16. 12 . -2 17. bm? n ? n ?m
bn am

13.

6

14. 60

15 . ?1005

? 6

三 、解答题(本大题共 5 题,18—20 每题 14 分,21—22 每题 15 分,共 72 分)
r 18、 (1) Tr ?1 ? Cn ? ( x ) n?r ? (?

2 r r ) ? (?2) r ? Cn ? x x2

n?5 r 2

-------------------3 分

依题意:

4 (?2) 4 C n ? 10 ,化简得: n 2 ? 5n ? 24 ? 0 ,∴ n ? 8 ------------8 分 2 (?2) 2 C n

8 ? 5r 3 1 (2)令 ? 得 r ?1 ,故含 x 2 的项为 T2 ? (?2)C8 x 2 ? ?16x 2 -------14 分 2 2

3

3

3

19.解: (1) z ? 3i 为实数,即 a ? bi ? 3i ? a ? (b ? 3)i 为实数, ∴b=3 又依题意,b 可取 1,2,3,4,5,6 故出现 b=3 的概率为

--3 分

1 6 1 6
--------------------------------7 分

即事件“ z ? 3i 为实数”的概率为

(2)由已知, z ? 2 ?| a ? 2 ? bi |? 可知,b 的值只能取 1、2、3

(a ? 2) 2 ? b 2 ? 3

---------------------------------9 分 --------------------------------11 分

当 b=1 时, (a ? 2) ? 8 ,即 a 可取 1, 2, 3, 4
2 2

当 b=2 时, (a ? 2) ? 5 ,即 a 可取 1,2,3, 4 当 b=3 时, (a ? 2) ? 0 ,即 a 可取 2
2

由上可知,共有 9 种情况下可使事件“ z ? 2 ? 3 ”成立 20, (1)令

------14 分

a b a b ? ? ? 2a ? b 2b ? a a ? 2b b ? 2a 2 得:a=b 故 M ? ;????????????( 5 分) 3 a b 2 ? ? 。 (2)先证明 2a ? b 2b ? a 3

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2 1,解析:解:(1)设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25, P( A) ? 0.75 , P(B)= q 2 , P(B) ? 1 ? q2 . 根据分布列知: ? =0 时 P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1 ? q2 )2 =0.03, (5 分) 所以 1 ? q2 ? 0.2 ,q 2 =0.8 --------7 分

(2)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( BBB ? BBB ? BB)

? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 ------11 分
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. ---14 分 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. ------ 15 分
x x 22,解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .------1 分

, 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 ? ?) ,

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, ②当 k ? (1 ? ?) 时, ln k ? 0 .
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, k ) ln

ln k
0
极小值

(ln k, ?) ?

?
单调递减

?
单调递增

? 由此可得,在 [0, ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .
, 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 ?1 ? k ? e .---------------------14 分
综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .-----------------15 分

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