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盐城市20082009学年度高三摸底考试数学参考



盐城市 2008/2009 学年度高三摸底考试数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. ?2? 8.4 2.

1 ?i 2

3. x ? ? 10.

5 2

4.甲 11. 4
n

5.

>? 3
12. ①④

6. 4 x ? y ? 6 ? 0 13. 2 2

7. 2? 14. ①③④

9.24

3? 6

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分. 15. 解: ( Ⅰ ) 因 为 ? ?(
2

?
2

, ? ) , cos ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 分

7 1 ,所以 cos ? ? ? ??????????????????6 分 9 3 2 2 2 (Ⅱ)根据(Ⅰ) , 得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ????????????????? 8 分 3 ? 3? 7 4 2 2 ) , 且 sin(? ? ? ) ? 而 ? ? ? ?( , , 所 以 cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin (? ? ? ) ? ? 2 2 9 9
又 cos 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? ? ?????????????10 分 故 sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 = 分

7 1 4 2 2 2 1 ? (? ) ? (? )? ? ????????????????????????14 分 9 3 9 3 3 16. 证明: ( Ⅰ ) 连 结 A C , 则 F 是 AC 的 中 点 , 在 △ CPA 中 , E F ∥ P A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 分 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,∴EF∥平面 PAD??????????????????6 分
(Ⅱ)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,又 CD⊥AD,所以 CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PA???????????????????????????????????9 分 又 PA=PD=

? 2 AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? ,即 PA⊥PD?????12 分 2 2
QM x ? ,又 ON ? 3 ? x2 , 0 tan 60 3

而 CD∩PD=D,∴ PA⊥平面 PDC,又 EF∥PA,所以 EF⊥平面 PDC???????????14 分 17. 解:(Ⅰ) ① 因为 QM ? PN ? x ,所以 OM ?

? OM ?3 ? 所 以 M N? O N
故 y ? MN ? PN ? x ? 3 ? x ?
2

2

x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 分 3


3 3x 2 ( 0? x? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 3 QM ? sin ? ,又 ON ? 3 cos? , ② 当 ?POB ? ? 时, QM ? PN ? 3sin ? ,则 OM ? tan 600 所 以 M N? O ? N O ?M3 c o ? s? ? s i? n??????????????????6 ? 故 y ? MN ? PN ? 3sin ? cos? ? 3sin 2 ? ( 0 ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 3 3 3 ? 3 (1 ? cos 2? ) = 3 sin(2? ? ) ? (Ⅱ)由②得 y ? sin 2? ? ??????????11 分 2 2 6 2 ? 3 故当 ? ? 时,y 取得最大值为 ???????????????????????14 6 2 1 18. 解: (Ⅰ)? l 与 m 垂直,且 k m ? ? ,? k l ? 3 ,又 k AC ? 3 , 3 所以当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C .??????????????????????4 ( Ⅱ ) ① 当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 , 易 知 x ? ?1 符 合 题 意 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 , 4 | ?k ? 3 | 因为 PQ ? 2 3 ,所以 CM ? 4 ? 3 ? 1 ,则由 CM ? ? 1 ,得 k ? ????9 分 2 3 k ?1 ? 直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 从而所求的直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 ???10 分 ???? ? ???? ??? ? ???? ? ???? ??? ? ???? ???? ? ???? ??? ? ???? (Ⅲ)因为 CM⊥MN, ? AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN ?12 分

分 分



分 分

① 当 l 与 x 轴垂直时,易得 N (?1, ? ) ,则 AN ? (0, ? ) ,又 AC ? (1,3) ,

???? ? ???? ??? ? ???? ? AM ? AN ? AC ? AN ? ?5 ??????????????????????????13 分 ② 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , ???? ? y ? k ( x ? 1) ?5 ?5k ?3k ? 6 ? 5k , ) ??????14 分 , 则由 ? ,得 N ( ),则 AN ? ( 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k ?x ? 3 y ? 6 ? 0 ???? ? ???? ??? ? ???? ?5 ?15k ? ? ?5 ??????????????????15 分 ? AM ? AN ? AC ? AN = 1 ? 3k 1 ? 3k
综上, AM ? AN 与直线 l 的斜率无关,且 AM ? AN ? ?5 .?????????????16 分 另解 1:①当 l 与 x 轴垂直时,易得 M ( ?1, 3), N ( ?1, ? ) ,又 A(?1, 0) ,

5 3

????

5 3

??? ?

5 3

5 3 ②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入圆的方程得

则 AM ? (0, 3), AN ? (0, ? ) ,? AM ? AN ? ?5 ????????????????11 分

x1 ? x 2 ? k 2 ? 3k ? , yM ? k ( xM ? 1) 2 1? k 2 ???? ? 3k ? 1 3k 2 ? k 3k 2 ? k ? k 2 ? 3k 3k 2 ? k M , AM ?( , ) ???????13 分 ? , 即 ( ) , 则 1? k 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2 ???? ? y ? k ( x ? 1) ?3k ? 6 ? 5k ?5 ?5k , , ) ?????14 分 又由 ? ,得 N ( ), 则 AN ? ( 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k ?x ? 3 y ? 6 ? 0

(1 ? k 2 ) x 2 ? (2k 2 ? 6k ) x ? k 2 ? 6k ? 5 ? 0 ,则 x M ?

? AM ? AN ?

? 5k (3k 2 ? k ) ? 5(1 ? k 2 )(1 ? 3k ) ? 15k ? 5 ? ? ? ?5 ? ? ? ? ? ? ? 1 5 (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? k 2 )(1 ? 3k ) (1 ? k 2 )(1 ? 3k )



综上, AM ? AN 与直线 l 的斜率无关,且 AM ? AN ? ?5 .?????????????16 分 另解 2:连结 CA 并延长交 m 于点 B ,连结 CM , CN ,由(Ⅰ)知 AC ? m ,又 CM ? l ,

?四点 MCNB 都在以 CN 为直径的圆上,由相交弦定理得: AM ? AN ? ? AM ? AN ? ? AC ? AB ? ?5 .

? 1 9 . 解 : ( Ⅰ ) 因 为 f ?( x ) ? 2 x

8 , 所 以 切 线 的 斜 率 k ? f ?(1) ? ?6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 分 x 又 f (1) ? 1 , 故 所 求 切 线 方 程 为 y ? 1 ? ?6( x ? 1) , 即 y ? ?6 x ? 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 分 2( x ? 2)( x ? 2) (Ⅱ)因为 f ?( x) ? ,又 x>0,所以当 x>2 时, f ?( x) ? 0 ;当 0<x<2 时, f ?( x) ? 0 . x 即 f ( x ) 在 (2, ??) 上递增,在(0,2)上递减?????????????????????6 分
又 g ( x) ? ?( x ? 7)2 ? 49 , 所 以 g ( x) 在 (??,7) 上 递 增 , 在 (7, ??) 上 递 减 ? ? ? ? ? ? 7 分 欲 f ( x ) 与 g ( x) 在 区 间 ? a, a ? 1? 上 均 为 增 函 数 , 则 ?
2

? a?2 ,解得 2?a?6 ?????10 分 ?a ? 1 ? 7

(Ⅲ) 原方程等价于 2 x ? 8ln x ? 14 x ? m ,令 h( x) ? 2x2 ? 8ln x ?14x ,则原方程即为 h( x) ? m . 因为当 x ? 0 时原方程有唯一解,所以函数 y ? h( x) 与 y ? m 的图象在 y 轴右侧有唯一的交点 ??12 分

8 2( x ? 4)(2 x ? 1) ? 14 ? ,且 x>0,所以当 x>4 时, h?( x) ? 0 ;当 0<x<4 时, h?( x) ? 0 . x x 即 h( x) 在 (4, ??) 上递增,在(0,4)上递减.故 h(x)在 x=4 处取得最小值????????14 分 ?? 16 ln ?2 ? 24 从 而 当 x ? 0 时 原 方 程 有 唯 一 解 的 充 要 条 件 是 m ? h( 4 ) ???????16 分
又 h?( x) ? 4 x ? 20. 解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, a1 ? 1, a2 ? ? ? 1, a3 ? ? 2 ? ? ? 2 ???????????????2 分 假设 ?an ? 是等差数列,由 a1 ? a3 ? 2a2 得 ? ? ? ? 3 ? 2(? ? 1) ,即 ? 2 ? ? ? 1=0 ,
2

∵△=1-4=-3<0,方程无解。

故对于任意的实数 ? , ?an ? 一定不是等差数列???????????????????4 分 (Ⅱ)当 ? ? ?

1 1 2n 4 2(n ? 1) 4 ? ,所以 bn ?1 ? an ?1 ? ? 时, an ?1 ? ? an ? n .而 bn ? an ? 2 2 3 9 3 9 1 2(n ? 1) 4 1 n 2 1 2n 4 1 ? (? an ? n) ? ? = ? ? an ? ? ? ? (an ? ? ) ? ? bn ??????6 分 2 3 9 2 3 9 2 3 9 2 2 4 2 又 b1 ? m ? ? ? m ? ?????????????????????????7 分 3 9 9

2 时, ?bn ? 不是等比数列????????????????????????8 分 9 2 2 1 当 m ? 时 , ?bn ? 是 以 m ? 为 首 项 , ? 为 公 比 的 等 比 数 列 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分 9 9 2 2 ( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 知 , 当 m ? 时 , bn ? 0, Sn ? 0 , 不 合 要 求 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 分 9 2 1 (m ? )[1 ? (? ) n ] 2 9 2 ? 2 (m ? 2 )[1 ? (? 1 ) n ] , 要 使 1 ? S ? 2 成 立 , 所 以 m? , 于 是 Sn ? n 1 9 3 3 3 9 2 1 ? (? ) 2 1 2 1 2 则 ? ?m? ? ?????????????????????12 分 1 1 2[1 ? (? )n ] 9 1 ? (? ) n 9 2 2 1 n 3 3 令 f (n) ? 1 ? ( ? ) ,当 n 正奇数时, 1 ? f ( n) ? ;当 n 正偶数时, ? f ( n) ? 1 . 2 2 4 1 n 3 3 故 f (n) ? 1 ? ( ? ) 的最大值为 ,最小值为 ??????????????????14 分 2 2 4 1 2 8 8 8 1 2 1 2 欲 ? S n ? 对任意的正整数 n 都成立,则 ? ? m ? ? ,即 ? m ? ,所以 m ? . 3 9 3 9 3 3 9 9 9 2? 4 2 8 1 2 综 上 所 述 , 存 在 唯 一 的 实 数 m = , 使 得 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 ? Sn ? ? ? ? ? ? ? 1 6 分 9 3 3
故当 m ?

数学附加题部分
21.A. (几何证明选讲选做题)证明:因为 A,M,D,N 四点共圆,所以 AC ? CD ? MC ? CN . 同理有 BC ? CE ? MC ? CN ,所以 AC ? CD ? BC ? CE ???????????????5 分 即 ( AB ? BC ) ? CD ? BC ? (CD ? CE ) ,所以 AB·CD=BC·DE ???????????10 分 ?1? B. (矩阵与变换选做题)解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?, ?1? 3 3 1 1 ? ? ? ?=6? ?,即 c+d=6????????????????????????4 分 得? ? ? ? ? ? ? c d? ?1? ?1? ? 3 ? ? 3 3? ? 3 ? ? 3 ? 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α2=? ?,得? ? ? ?=? ?, ?-2? ? c d? ?-2? ?-2? 即 3c-2d=-2?????????????????????????????????8 分 ?c=2, ? 3 3? ??????????????????????????10 分 解得? 即 A=? ? ? 2 4? ?d=4. C. (坐标系与参数方程选做题)解:以极点为原点,极轴所在直线为 x 轴建立直角坐标系. 将 ? sin ? ? 2 2 化为直角坐标方程,得直线方程 y ? 2 ????????????????3 分 将 ? ? ?2cos ? 化为直角坐标方程,得圆方程 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ??????????????6 分 所以圆心(-1,0)到直线距离为 2,|PQ|的最小值为 2-1=1????????10 分 D .( 不 等 式 选 讲 选 做 题 ) 解 : 由 柯 西 不 等 式 , f ( x) ?

2x ?1 ? 2 ? x ? 2 x ?

1 ? 2? x 2

?????????4 分 ≤ 2 ?1 x ?

1 5 30 ????????????????????8 分 ?2? x ? 3 ? 2 2 2
7 1 30 ,即 x ? 时,f(x)取得最大值为 ??????10 分 6 2 2
2 C32 ? C32 ? C2 1 ? ?????4 分 C82 4

故当且仅当 2 ? 2 ? x ? 1? x ?

2 2 . 解 : ( Ⅰ ) 设 “ 取 出 的 2 个 球 颜 色 都 相 同 ” 为 事 件 A , 则 P( A) ? 答: 取出的 2 球颜色都相同的事件概率为

1 ????????????????????5 分 4

(Ⅱ) x 可取 0、1、2,且 P(x ? 0) ?
x

C52 5 C1C1 15 C2 3 ? , P(x ? 1) ? 3 2 5 ? , P(x ? 2) ? 32 ? , 即 2 C8 14 C8 28 C8 28

0

1

2

P

5 14

15 28

3 28
8 分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 15 3 3 所以 Ex ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? ?????????????????????10 分 14 28 28 4 23.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 0 得 x ? 0 或 6 ,∴ S ? ? ? ( x 2 ? 6 x)dx ???????????????2 分
0 6

1 令 F ( x) ? x3 ? 3x2 ,则 F ?( x) ? x2 ? 6 x ,∴ S ? ? F (6) ? F (0) =36 ????????????4 分 3 ? y ? kx, (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ,由 ? ,得 x2 ? (k ? 6) x ? 0 ,∴ x ? 0 或 x ? 6 ? k . 2 y ? x ? 6 x ? l ∵直线 平分抛物线 f ( x) ? x2 ? 6x 与 x 轴所围封闭区域的面积,
∴? 令
k ?6 0

[kx ? ( x 2 ? 6 x)]dx = ?

k ?6

0

[? x 2 ? (k ? 6) x]dx =18 ?????????????????6 分

1 k ?6 2 1 1 , 则 , ∴ G?( x) ? ? x2 ? (k ? 6) x G( x) ? ? x3 ? x ? (k ? 6)3 ? (k ? 6)3 ? 18 3 2 3 2 3 ∴ k ? 3 4 ? 6 ??????????????????????????????9 分
∴直线 l 的方程为 y ? (33 4 ? 6) x ?????????????????????????10 分

,



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