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2.2.1直线、平面平行的判定及其性质



复习提问
直线与平面有什么样的位置关系?
1.直线在平面内 ——有无数个公共点; 2.直线与平面相交 ——有且只有一个公共点;

3.直线与平面平行 ——没有公共点。
a

a

?

a

?

?

探究问

题,归纳结论
如图,平面 ? 外的直线 a平行于平面 ? 内的直线b。 (1)这两条直线共面吗? (2)直线

a与平面 ? 相交吗?

?

a
b

?

归纳结论
直线与平面平行的判定定理:
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行 .
(线线平行 ? 线面平行)

a
b

符号表示:
a ??? ? ? b ? ? ? ? a // ? ? a // b ?

定理巩固:
1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行

平面BC1 、平面CD1 的平面是___________________.
D A
1
1

C B

1

1

D A B

C

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D
C

求证:EF∥平面BCD.

变式1:
1.如图,在空间四边形ABCD中,E、F分
AE AF 别为AB、AD上的点,若 EB ? FD ,则EF

EF//平面BCD 与平面BCD的位置关系是_____________.
A
F E B D C

变式2:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.
证明:连结OF, ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF, B

A

F
D

E
O
C

AB ? 平面DC F? ? O F ? 平面DC F? ? AB //平面DC F ? AB //O F ?

巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点, 求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB,
又∵DE=ED1, A1 B1 E D O B C D1 C1

∴BD1//EO. A BD1 ? 平面 AEC ? ? EO ? 平面 AEC ? ? BD1 // 平面 AEC ? BD1 // EO ?

归纳小结,理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法:
(1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行; (2)判定定理:(线线平行

? 线面平行);

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定等来完成。

一.两个平面的位置关系
1、两个平面相交————有一条公共直线
两个平面平行——没有公共点;

2、 位置关系画法:
?
?

?

?
?

?

? // ?

不正确画法

? ?? ? l

Q1:如果平面α内的任意直线都平行于平面β,则α∥β吗? Q2 :若平面α内有一条直线a平行于平面β,则能保证α∥β吗?

Q3:若平面α内有两条直线a、b都平行于平面β,能保证α∥β吗?

α

a
α

β α a

β
a

b

b
α

β

β

二、平面与平面平行
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别平行 于另一个平面,那么这两个平面平行.

?
?

P a
b

线不在多, 重在相交.

c

判断下列命题是否正确?
(1)平行于同一条直线的两平面平行

(×)

(×) (3)若平面α内有无数条直线都平行于平面β,则α∥β. (×)
(2)若平面α内有两条直线都平行于平面β,则α∥β.

α

a β

a

b α

β

α

β

(4)过平面外一点,只可作1个平面与已知平面平行 (√)
(5)设a、b为异面直线,则存在平面α、β,使

a ? ?,b ?

?且? // ? .

(√)

α β b

a

例1、已知 正方体 ABCD? A1B1C1D1

求证: 平面AB1C//平面A C1D 如图: 1
D1 C1 B1 D C B

A1

A

推论1:如果一个平面内的两条相交直线分别平行与另 一个面的两条直线那么这两个面平行。

思考1?
平行公理:平行与同一条直线的两条直线互相平行。那么面和面 之间是否也有这样的关系?

推论2:平行于同一面的两个面互相平行。
思考2?
如果两个平面同时和两条一面直线平行,那么这两个平面平行。

(推论2)

思考3:垂直于同一直线的两个平面平行?

例2.如图:已知,?

? 是两个不同平面,? ? AA'

且 ? ? AA' , 求证
分析:

? / /?

.

因为 AA′⊥α, AA′⊥β, 所以 AA′⊥a,AA′⊥a′, 故 a∥a′.则a′∥α. 同理 b′∥α, 又因为a′∩b′=A, 所以α∥β.

定理2:垂直于同一直线的两个平面平行。

小 结:
面面平行的判定: (1)定义法;(2)反证法;(3)判定定理及推论

证明步骤:
(1)证明两条相交直线分别平行与另一平面 (2)在一个平面内找出两条相交直线 (3)利用判定定理得出结论 面面平行判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面,那么这两个平面平行。

例2、点P是△ABC所在平面外一点,A’,B’,C’分别 是△PBC 、 △PCA、 △PAB的重心. 求证:平面A’B’C’//平面ABC

P

B’

A

C’

A’

C
E

F
B

D

练习1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,Q, R,分别 为A1A,AB,AD的中点 求证:平面PQR∥平面CB1D1.

分析:连结A1B,
PQ∥ A1B
P

A1B ∥CD1
R

故PQ∥CD1
Q

同理可得,……

思考:
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a
a b α

b α

(2)已知直线 a∥平面α,如何在平面α 内找出和直线 a 平行的一条直线?

求证:a∥b.
证明:(反证法). 假设直线a不平行于直线b.

o
∴ 直线a与直线b相交,假设 交点为O,则a∩b=O. ∴a∩α=O,这与“a∥α”矛盾 . ∴a∥b.

线面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。 β α∩β= m

l??

l ∥α

l

l ∥m
m

α

线面平行

线线平行

练习1:
如果一条直线和一个平面平行,则这条直线( D )

A 只和这个平面内一条直线平行;
B 只和这个平面内两条相交直线不相交; C 和这个平面内的任意直线都平行; D 和这个平面内的任意直线都不相交。

练习2:
如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一 条,那么它们的交线和这两条直线平行。

已知a//b, a ? ? , b ? ? ,? ? ? ? l 求证: a//b // l
l

a

b

α

β

练习3:
ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD 外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点 G,过点G和AP作平面交平面BDM与GH, 求证:AP ∥ GH (金版新学案P34页 变式训练1)

例题分析
例3 有一块木料,棱BC平行于面A1C1 要经过
面A1C1内一点P和棱BC锯开木料,应该怎样画 线? 这线与平面AC有怎样的关系?
D1 P E C1

A1
D

F

B1
C B

A

例4已知平面外的两条平行直线中的一条 平行于这个平面,

求证:另一条也平行于这个平面。
a b c

?

?

小结
直线和平面平行的判定定理: 直线与直线平行 直线与平面平行

直线和平面平行的性质定理: 注意:
平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行, 则就可以得到这条直线和这个平面平行;但是若一条直 线与一个平面平行,则这条直线并不是和平面内的任一 条直线平行,它只与该平面内与它共面的直线平行.

问题讨论
1、若 则

? // ?,l ? ? ,

的位置关系如何?该结论有何功能作用?

l与?

α

l

判定线面平行的依据

β

2、若

的位置关系如何?

α//β,// ? γ ? a, 则β与γ
则直线a、b的位置关系如何?为什么?

设? ? ? ? b,
α β a

b γ

3、上述结论是两平行平面的一个性质,称之为两平面平行的性质定理,试用文字语 言表述这个定理.

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.

4、上述定理有何功能作用?

判定线线平行的依据

5、若? // ?,A、B ??,C、D ? ?,
且AC∥BD,则AC与BD的长度关系如何?

α

A

B

βC

D

6、设? // ?,A ??, l // ? , 则l与?的位置关系如何?为什么?
过点A作直线

α A

l

β

7、如果平面α、β都与平面γ相交,且交线平行,则α∥β吗?

γ a α β

b

巩固练习
如图,已知α∥β,A、C∈α,B、D∈β,E、F分别为AB、CD的中点,求证: EF∥β

α

A M

C
F

E

D
β B



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