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北京2013届高三数学 最新试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题10概率 文



【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期 期末试题精选)专题 10:概率
一、选择题 1 . (2013 届北京大兴区一模文科)若实数 a, b 满足 a + b ≤ 1 ,则关于 x 的方程 x - 2 x + a + b = 0 无 实 . 数根的概率为 A. ( B. )
2 2 2

1 4

r />
3 4

C.

3π + 2 4π

D.

π- 2 4π

2 .(北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(文)试题)已知不等式组

? y ? x ? 1, ? y ? ? x ? 1, ? 表示的平面区域为 M .若在区 域 ? 内随机取 ? y ? 0, 表示的平面区域为 ? ,不等式组 ? ?y ? 0 ?x ? 1 ?
一点 P ,则点 P 在区域 M 内的概率为 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

2 3

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 3 . (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 ? y ? ?2 ?

D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是
A.





4 5 8 9 B. C. D. 13 13 25 25 4 . (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个 球,则恰有一个红球的概率是 ( )

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

5 . (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)在等边 ?ABC 的边 BC 上任取一点 P ,则

S?ABP ?
A.

2 S? ABC 3 的概率是





1 1 2 5 B. C. D. 2 3 6 3 二、填空题 6 . (2013 届北京东城区一模数学文科)从 1,3,5,7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两 位数是 5 的倍数的概率为___.
7 . (2013 届北京门头沟区一模文科数学)用计算机产生随机二元数组成区域 ?

? -1 ? x ? 1 ,对每个二元数组 ?-2 ? y ? 2
1

( x, y ) , 用计算机计算 x 2 ? y 2 的值 , 记“ ( x, y ) 满足 x 2 ? y 2 <1”为事件 A , 则事件 A 发生的概率为
________. 8 . (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)平行四边形 ABCD 中, E 为 CD 的中点.若 在平行四边形 ABCD 内部随机取一点 M , 则点 M 取自△ ABE 内部的概率为______. 三、解答题 9 . (2013 届北京市延庆县一模数学文)某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样 了 n 人,回答问题统计结果如图表所示.

(Ⅰ)分别求出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第 2 组 至少有 1 人获得幸运奖的概率.

10. (2013 届北京东城区一模数学文科)为了解高三学生综合素质测评情况,对 2000 名高三学生的测评结果 进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表: 优秀 男生 人数 女生 人数 良好 380 370 合格 373 377

x
y

(Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这 2000 份综合素质测评结果中随机抽取 80 份进行比较分 析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份? (Ⅱ)若 x ? 245 , y ? 245 ,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.

2

11. (2013 届北京丰台区一模文科)在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f 共 6 人获得抽奖的机会.抽奖 规则如下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最后 还从这 4 人中随机抽取 1 人获三等奖. (Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率; (Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率.

12. (2013 届北京海滨一模文)在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻 辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的 数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽 取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

频率

科目:数学与逻辑

频率

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200 0.075
等级

0.375

0.150 0.025
等级

13. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中 部推荐了 2 男 1 女三名候选人,初中部也推荐了 1 男 2 女三名候选人. (I)若从初高中各选 1 名同学做代表,求选出的 2 名同学性别相同的概率; (II)若从 6 名同学中任选 2 人做代表,求选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的概率. 14. (2013 届北京大兴区一模文科)一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理成绩 如下表: 学生 数学
A1 A2 A3 A4 A5

89

91

93

95

97
3

物理

87

89

89

92

93

(Ⅰ)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定; (Ⅱ)从以上 5 名同学中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率.

15. (2013 届北京西城区一模文科)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超 过 1 小时收费 6 元, 超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车, 两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 停车付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率.

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲 3 12

16. (2013 届房山区一模文科数学) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒 物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为 一级; 在 35 微克 /立方米 ? 75 微克/ 立方米之间空气质量为二级 ; 在 75 微克 /立方米以上空气质量为超 标. 某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 6 天的数据作为样本 ,监测 值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (Ⅰ) 若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天,求至多有一天空气质量超标的概率; (Ⅱ)根据这 6 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计算)中平均有多少天的 空气质量达到一级或二级?
PM2.5 日均值(微克/立方米)

3 4

3 8

1
4

7 9

9 7

3

17. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(文)试题)为调查乘客的候 车情况,公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本 分成 5 组,如下表所示: 组别 一 二 三 四 五 候车时 间 人数 2 6 4 2 1

[0,5)

[5,10)
[10,15) [15, 20)

[20, 25]

(Ⅰ)求这 15 名乘客的平均候车时间; (Ⅱ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (Ⅲ)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的 概率.

18. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1 ? 2 ? 3 ? 4 .现从盒子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到 数字 3 的概率.

19. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)某中学举行了一次“环保知识竞赛” , 全校学 生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图 所示)解决下列问题:

5

频率分布表 分组 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100] 合计

频 数 8

频率

0.16 ▓ 0.40 0.08

a
20 ▓ 2 ▓

b

0.040 x

频率 组距

频率分布直方图

▓ ▓
0.008 y 50 60 70 80 90 100

成绩(分)

(Ⅰ)写出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环 保知识的志愿宣传活动. (ⅰ)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率. 20. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)某汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出 租情况,现随机抽取这两种车型各 50 辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下 表: A 型车 出租 天数 车辆 数 3 3 0 B 型车
6

3

4

5

6

7

5

7

5

出租 天数 车辆 数

3

4

5

6

7

10

10

15

10

5

(I) 试根据上面的统计数据,判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只 需写出结果) ; (Ⅱ)现从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽 车是 A 型车的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据 所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

21. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一 批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于 45 至 70 之间.将数据分成以 下 5 组:第 1 组 [ 45, 70] ,得 50) ,第 2 组 [50, 55) ,第 3 组 [55, 60) ,第 4 组 [60, 65) ,第 5 组 [65, 到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第 3,4,5 组中随机抽取 6 名学生做初检. (Ⅰ)求每组抽取的学生人数; (Ⅱ)若从 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生进行复检,求这 2 名学生不在同一组的概率.

22. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版) ) (本小题满分 13 分)某校从参加 高三年级期中考试的学生中随机选取 40 名学生,并统计了他们的政治成绩,这 40 名学生的政治成绩全 部 在 40 分 至 100 分 之 间 , 现 将 成 绩 分 成 以 下 6 段 :

[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90,100] ,据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求成绩在 [80,90) 的学生人数; (Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机 0.045 生,求至少有 1 名学生成绩在 [90,100] 的
0.020 0.015 0.005 0 分数 40 50 60 70 80 90 100 7 频率/组距

选 2 名学 概率.

【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题 10: 概率参考答案 一、选择题 1. D 2. A 3. 【答案】D 解:不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y +2=0 的距离等于 2,所以要 使 点 D 到 直 线 的 距 离 大 于 2 , 则 点 D 应 在 三 角 形 BCF 中 。 各 点 的 坐 标 为

B(?2,, 0) C(4,, 0) D(?6, ? 2),E(4, ? 2),F (4, 3) ,所以 DE ? 10,EF ? 5, BC ? 6,

S CF ? 3 , 根 据 几 何 概 型 可 知 所 求 概 率 为 P ? ?BCF S?DEF

1 ? 6?3 9 2 ? ? , 选 1 ?10 ? 5 25 2

D.

4.

【答案】C 解:从袋中任取 2 个球,恰有一个红球的概率 P ?
1 1 C2 C2 4 2 ? ? ,选 C. 2 C4 6 3

5.

【答案】C 解:当 S?ABP ?

1 2 1 2 2 2 ,即 PD ? CO,则有 BP ? BC ,要使 ? CO S?ABC 时,有 AB?PD? ? AB 3 2 3 2 3 3

S?A B P ?

2 2 S? A B C S?ABP ? S?ABC BP 2 3 3 ,则点 P 在线段 BP 上,所以根据几何概型可知 的概率是 ? ,选 C.

BC

3

二、填空题 6.

1 4
8

7.

π 8 【答案】

8.

1 2

解:

, 根 据 几 何 概 型 可 知 点 M 取 自 △ ABE 内 部 的 概 率 为

1 AB?h S?ABE 1 P? ?2 ? ,其中 h 为平行四边形底面的高。 S? ABCD AB?h 2
三、解答题 9. 解:(Ⅰ)第 1 组人数 5 ? 0.5 ? 10 , 所以 n ? 10 ? 0.1 ? 100 , 第 2 组人数 100 ? 0.2 ? 20 ,所以 a ? 20 ? 0.9 ? 18 , 第 3 组人数 100 ? 0.3 ? 30 ,所以 x ? 27 ? 30 ? 0.9 , 第 4 组人数 100 ? 0.25 ? 25 ,所以 b ? 25 ? 0.36 ? 9 第 5 组人数 100 ? 0.15 ? 15 ,所以 y ? 3 ? 15 ? 0.2 (Ⅱ)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 18 : 27 : 9 ? 2 : 3 : 1 ,所以第 2,3,4 组每组应各依次抽取 2 人, 3 人, 人 (Ⅲ)记抽取的 6 人中,第 2 组的记为 a1 , a 2 ,第 3 组的记为 b1 , b2 , b3 ,第 4 组的记为 c , 则从 6 名学生中任 取 2 名的所有可能的情况有 15 种,它们是:

(a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , c) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , c) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , c) ,
(b2 , b3 ) , (b2 , c) , (b3 , c)
其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种,它们是:

(a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , c) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , c)
故所求概率为

9 3 ? 15 5
9

10. (共 13 分) 解:(Ⅰ)由表可知,优秀等级的学生人数为:

x ? y ? 2000 ? (380 ? 373 ? 370 ? 377) ? 500 .
因为 500 ?

80 ? 20 , 2000

故在优秀等级的学生中应抽取 20 份. (Ⅱ)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件 A . 因为 x ? y ? 500 , x ? 245 , y ? 245 ,且 x , y 为正整数, 所以数组 ( x, y ) 的可能取值为:

(245, 255) , (246, 254) , (247, 253) ,, (255, 245) ,共 11 个.
其中满足 x ? y 的数组 ( x, y ) 的所有可能取值为:

(255, 245) , (254, 246) , (253, 247) , (252, 248) , (251, 249) 共 5 个,即事件 A 包含的基本事件数为 5 .
所以 P( A) ?

5 . 11 5 . 11

故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为

11.在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f 共 6 人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从 6 人中随机 抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获三等 奖. (Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率; (Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率. 解:(Ⅰ)设“a 能获一等奖”为事件 A, 事件 A 等价于事件“从 6 人中随机取抽两人,能抽到 a”.从 6 人中随机抽取两人的基本事件有(a、b)、 (a、c)、(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、(b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、 e)、(d、f)、(e、f)15 个, 包含 a 的有 5 个,所以,P(A)= 答: a 能获一等奖的概率为

5 1 ? , 15 3

1 3

(Ⅱ)设“若 a、b 已获一等奖,c 能获奖”为事件 B, a、b 已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c,c)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d,c)、(d、d)、 (d、e)、(d、f)、(e,c)、(e、d)、(e、e)、(e、f)、(f,c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16 个, 其中含有 c 的有 7 种,所以,P(B)=

7 , 16 7 16
10

答: 若 a、b 已获一等奖,c 能获奖的概率为

12.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人,

所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人 所 以 该 考 场 考 生 中 “ 阅 读 与 表 达 ” 科 目 中 成 绩 等 级 为 A 的 人 数 为

4 0 ?

(?1

0 . ?3 7 5 ? 0 . 3?7 5

0? . 1 5 ?

0 . 0 ?2 5 )

4 0

0 . 0 7 5

3

(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40
(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随 机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,一共有 6 个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1

P( B ) ?
个,则

1 6

13.解:设高中部三名候选人为 A1,A2,B.初中部三名候选人为 a,b1,b2 (I)由题意,从初高中各选 1 名同学的基本事件有 (A1,a),(A1,b1),(A1,b2), (A2,a),(A2,b1),(A2,b2), (B,a),(B,b1),(B,b2), 共9种 设“2 名同学性别相同”为事件 E,则事件 E 包含 4 个基本事件, 概率 P(E)=

4 9 4 9

所以,选出的 2 名同学性别相同的概率是

(II)由题意,从 6 名同学中任选 2 人的基本事件有 (A1 ,A2),(A1,B),(A1,a),(A1,b1),(A1,b2), (A2,B), (A2,a),(A2,b1),(A2,b2),(B,a), (B,b1),(B,b2),(a,b1),(a,b2),(b1,b2) 共 15 种 设“2 名同学来自同一学部”为事件 F,则事件 F 包含 6 个基本事件, 概率 P(F)=

6 2 ? 15 5
2 5

所以,选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是

14.解:5 名学生数学成绩的平均分为: (89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ) ? 93 5 名学生数学成绩的方差为:

1 5

1 [(89 ? 93) 2 ? (91 ? 93) 2 ? (93 ? 93) 2 ? (95 ? 93) 2 ? (97 ? 93) 2 ] ? 8 5 1 5 名学生物理成绩的平均分为: (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5
5 名学生物理成绩的方差为:
11

1 24 [(87 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ] ? 5 5
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. (Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分为事件 A 5 名学生中选 2 人包含基本事件有:

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A5 , A2 A3 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A4 , A3 A5 , A4 A5 ,

共 10 个.

事件 A 包含基本事件有: A1 A4 , A1 A5 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A4 , A3 A5 , A4 A5 , 共 7 个.

则 P( A) ?

7 10
7 . 10

所以,5 名学生中选 2 人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率为 15. (Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A , 则 P( A) ? 1 ? ( ?

1 5 1 )? . 3 12 4 1 4

所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是

(Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:

(6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22), (22,30),(30,6),(30,14),(30, 22),(30,30) ,共 16 种情形
其中, (6,30),(14, 22),(22,14),(30,6) 这 4 种情形符合题意 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ?

4 1 ? 16 4

16.解:由茎叶图可知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标 记未超标的 4 天为 w1 , w2 , w3 , w4 ,超标的两天为 c1 , c2 ,则从 6 天抽取 2 天的所有情况为:

w1w2 , w1w3 , w1w4 , w1c1 , w1c2 , w2 w3 , w2 w4 , w2c1 , w2c2 , w3w4 , w3c1 , w3c2 , w4c1 , w4c2 , c1c2 ,
基本事件总数为 15 (Ⅰ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 A ,则“两天都超标”为事件 A , 易得 P ( A) ?

1 , 15 1 14 ? 15 15 4 2 ? 6 3

所以 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

(Ⅱ) 6 天中空气质量达到一级或二级的频率为

365 ?

2 1 ? 243 , 3 3
12

所以估计一年中平均有 243 天的空气质量达到一级或二级 (说明:答 243 天,244 天不扣分) 17. (共 13 分) 解:(Ⅰ)由图表得: 2.5 ?

1 3

? 10.5 ,所以这 15 名乘客的平均候车时间为 10 钟
钟的人数大约等于 60 ?

2 6 4 2 1 ? 7.5 ? ? 12.5 ? ? 17.5 ? ? 22.5 ? 15 15 15 15 15

(Ⅱ)由图表得:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8,所以,这 60 名乘客中候车时间少于 10 分

8 ? 32 15

(Ⅲ)设第三组的乘客为 a, b, c, d , 第四组的乘客为 e, f ,“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件

A .----------------------所得基本事件共有 15 种,即 (a, c), (a, b), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ),

(b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) ,
其中事件 A 包含基本事件 8 种,由古典概型可得 P ( A) ?

8 8 ,即所求概率等于 15 15

18. (Ⅰ)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7 ”,任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可 能的结果是 (1, 2, 3) , (1, 2, 4) , (1, 3, 4) , (2, 3, 4) . 其中数字之和大于 7 的是 (1, 3, 4) , (2, 3, 4) , 所以 P( A) ?
1 . 2

6分

(Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到 3 ”, 第一次抽 1 张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) ,共 16 个基本结果.

事件 B 包含的基本结果有 (1, 3) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 3) , 共 7 个基本结果. 所以所求事件的概率为 P( B) ?
7 . 16

???????13 分

19.解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 .????????4 分 (Ⅱ) (ⅰ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 A, B, C, D ,第 5 组共有 2 人,记为 X , Y . 从竞赛成绩是 80 分以上 (含 80 分) 的同学中随机抽取 2 名同学有 AB, AC, AD, BC, BD, CD, AX , AY ,

BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY
共 15 种情况.????????????????????????????6 分
13

设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E , ????7 分 有 AX , AY , BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY 共 9 种情况. ?????8 分

所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P( E ) ? 答:随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率

9 3 ? . 15 5

3 . ?????10 分 5

(ⅱ)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F ,有 AB, AC, AD, BC, BD, CD, XY 共 7 种情 况. ????????????????????????????11 分 所以 P ( F ) ?

7 15 7 . ????????????13 分 15

答:随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是

20.解: (I)由数据的离散程度可以看出,B 型车在本星期内出租天数的方差较大??3 分 (Ⅱ)这辆汽车是 A 类型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 3 3 ? ? 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 10 ? 3 13
这辆汽车是 A 类型车的概率为

3 13

??????7 分

(Ⅲ)50 辆 A 类型车出租的天数的平均数为

xA ?

3 ? 3 ? 4 ? 30 ? 5 ? 15 ? 6 ? 7 ? 7 ? 5 ? 4.62 50
3 ? 10 ? 4 ? 10 ? 5 ? 15 ? 6 ? 10 ? 7 ? 5 ? 4.8 50

??????9 分

50 辆 B 类型车出租的天数的平均数为

xB ?

??????11 分

答案一:一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62,B 类车型一个星期出租天数的平均值 为 4.8,选择 B 类型的出租车的利润较大,应该购买 B 型车?????13 分 答案二:一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62,B 类车型一个星期出租天数的平均值 为 车 4.8 , 而 B 型 车 出 租 天 数 的 方 差 较 大 , 所 以 选 择 ??????13 分 A 型

21. (Ⅰ)解:由频率分布直方图知,第 3 , 4 , 5 组的学生人数之比为 3: 2 :1 . ????2 分 所以,每组抽取的人数分别为: 第 3 组: ? 6 ? 3 ;第 4 组:

3 6

2 1 ? 6 ? 2 ;第 5 组: ? 6 ? 1 . 6 6
??????5 分

所以从 3 , 4 , 5 组应依次抽取 3 名学生, 2 名学生, 1 名学生.

(Ⅱ)解:记第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ;第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ;第 5 组的 1 位同学为

C.

??????6 分
14

则从 6 位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为:

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C ), ( B2 , C ) ,共 15 种可能.
??????10 分

其中, ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C),

( B1 , C ), ( B2 , C ) 这 11 种情形符合 2 名学生不在同一组的要求.
故所求概率为 P ?

??????12 分 ??????13 分

11 . 15

22. (Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为

1 ? (0.005 ? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045) ?10 ? 0.1 ,

???????3 分

所以,40 名学生中成绩在区间 [80,90) 的学生人数为 40 ? 0.1 ? 4 (人). ???????5 分 (Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有一名学生成绩在区间

[90,100] 内” ,
由已知和(Ⅰ)的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 4 人, 记这四个人分别为 a, b, c, d , 成绩在区间 [90,100] 内的学生有 2 人, 记这两个人分别为 e, f , 则选取学生的所有可能结果为: ???????7 分

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ) ,

(d , e), (d , f ), (e, f )
基本事件数为 15, ???????9 分 事件“至少一人成绩在区间 [90,100] 之间”的可能结果为:

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) ,
基本事件数为 9, 所以 P ( A) ? ???????11 分 ???????13 分

9 3 ? . 15 5

15



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