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《正弦定理和余弦定理(1)》ppt课件



湘北职专高三数学备课组
对口升学考点解析 ·数学

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第四章 三角函数

第十二节:正余弦定理
第一课时正弦定理

1.正弦定理

a b c 比 相等,即________ sinA sinB sin C ___ =_____

___ = ________.
2.正弦定理的变形公式

在一个三角形中,各________的长和它所对角的_____ 的



正弦

csinA bsinA sinC (1)a= sinB =________________ , csinB asinB sinC b= sinA =______________ , bsinC asinC sinB c= sinA =________________.

a sin B asinC (2)sin A ? ? c b
sin B ? b sin A bsinC ? c a

c sin A csinB sin C ? ? b a a b c (3) ? ? ? 2R sin A sin B sin C

a ? 2RsinA

b ? 2RsinB

c ? 2RsinC

1 1 1 (4)S? ABC ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

3.利用正弦定理解三角形 角 一般地,我们把三角形的三个______ 和它的对 边分别叫做三角形的元素.已知三角形的 几个元素 求 其他元素 ________ ________的过程叫做解三角形.

知识自主训练

1.在△ABC中,已知a=4,b=6,B=60°, 则sinA的值为( )
3 A. 3 6 C. 3 3 B. 2 6 D. 2

[答案] A
[ 解析 ]

asinB a b 由正弦定理,得 sinA = sinB ,∴ sinA = b =

4sin60° 2 3 3 6 =3× 2 = 3 .

4.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边, 若∠A=105° ,∠B=45° ,b=2 2,则 c=________. 2.?

[答案] 2
[解析] 由已知,得 C=180° -105° -45° =30° . 1 2 2×2 bsinC 2 2sin30° b c ∵sinB=sinC,∴c= sinB = sin45° = =2. 2 2

π 1 5.在△ABC 中,若 b=5,B=4,sinA=3,则 a=______.
[答案] 5 2 3

a [解析] 由正弦定理,得 π=1, sin4 3 1 5×3 ∴a= π = sin4 5 3 5 2 = 3 . 2 2

5

课堂典例讲练

在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2, 解此三角形. [分析] 利用A+B+C=180°及正弦定理可解. [解析] 根据三角形内角和定理知: C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)= 105°. 根据正弦定理,得

C=180° -(A+B)=180° -(45° +30° )=105° . 根据正弦定理,得 1 2×2 asinB 2sin30° b= sinA = sin45°= = 2, 2 2 6+ 2 2× 4 asinC 2sin105° 2sin75° c= sinA = sin45° = sin45°= 2 2 = 3+1.

在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°,求边C.
[解析] 由三角形内角和定理可知A+B+C=180° , ∴A=180° -(B+C)=180° -(45° +105° )=30° . a c 由正弦定理,得sinA=sinC, asinC 5sin105° ∴c= sinA = sin30°

5sin?60° +45° ? = sin30° 5?sin60° cos45° +cos60° sin45° ? = sin30° 5? 6+ 2? = . 2

在△ABC中,解三角形: (1)b=4,c=8,B=30°; (2)a=,b=2,A=30°; (3)a=5,b=2,B=120°. [分析] 已知三角形的两边和其中一边的对角, 解三角形会出现一解、两解、无解的情况.

[解析] (1)由正弦定理,得 c· sinB 8sin30° sinC= b = 4 =1. ∵30° <C<150° ,∴C=90° . 从而A=180° -(B+C)=60° . a= c2-b2=4 3.

bsinA 2sin30° 2 a b (2)由sinA=sinB,得sinB= a = =2, 2 ∵a<b,∴B>A=30° , ∴B为锐角或钝角(或∵bsinA<a<b,∴B为锐角或钝 角), ∴B=45° 或B=135° . 当B=45° 时, C=180° -(A+B)=180° -(30° +45° )=105° , c a 又sinC=sinA,

6+ 2 2× 4 asinC 2sin105° 2sin75° ∴c= sinA = sin30° = sin30° = 1 2 = 3+1. 当B=135° 时, C=180° -(A+B)=180° -(30° +135° )=15° , 6- 2 2× 4 asinC 2sin15° ∴c= sinA = sin30° = = 3-1. 1 2 ∴B=45° ,C=105° ,c= 3 +1或B=135° ,C=15° ,c= 3-1.

a b (3)解法一:由sinA=sinB得, 3 5× 2 asinB 5sin120° 5 3 sinA= b = = 2 = 4 >1, 2 ∴A不存在,∴此题无解. 解法二:∵a=5,b=2,B=120° , ∵b<a,∴A>B=120° , ∴A+B>240° 与A+B+C=180° 矛盾. ∴这是不可能的,因此本题无解.

解法三:∵a=5,b=2,B=120° , 5 3 ∴asinB=5sin120° = 2 , 又∵b<asinB,∴此题无解.

[点评] 已知三角形两边及一边的对角解三角形时, 利用正弦定理求解,但要注意判定解的情况,要注意 讨论.

已知△ABC 中, a=4, b=4 3, ∠A=30° , 则∠B 等于( A.30° C.60° B.30° 或 150° D.60° 或 120°

)

[答案] D
a b [解析] 由正弦定理,得sinA=sinB, bsinA 4 3×sin30° 3 ∴sinB= a = =2, 4 又∵b>a,∴B>A,∴B=60° 或120° .

在△ABC中,a、b、c分别是三内角A、 B、C的对边,若acosA=bcosB,则△ABC一 定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形

[分析] 判断三角形形状通常从三角形内角的关系 确定,也可以从三角形三边关系确定.本题由 条件式可考虑应用正弦定理把边化为角,寻找 三角形角与角之间的关系,然后予以判定.
a sinA [解析] 由正弦定理,得b=sinB. sinA cosB a cosB 又acosA=bcosB,即b=cosA,∴sinB=cosA, 即sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B. π ∴2A=2B或2A=π-2B.∴A=B或A+B=2. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形,故选D.

[答案] D [点评] 已知三角形中的边角关系式,判断三角形 的形状,可考虑使用正弦定理,把关系式中的 边化为角,再进行三角恒等变换求出三个角之 间的关系式,然后给予判定.在正弦定理的推 广中,a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC是化 边为角的主要工具.

在△ABC中,bcosA=acosB,则△ABC是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 [答案] B
[解析] 由正弦定理,得sinBcosA=sinAcosB,

)

∴sinAcosB-cosAsinB=0,∴sin(A-B)=0,∵-π<A- B<π,∴A-B=0,∴A=B.故选B.



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