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平面向量练习卷



暑期数学复习练习 21(平面向量 1)
一、选择题 1.下列命题中,正确的是(
C. 若|a|>|b|, 则 a>b )A. 若|a|=|b|,则 a=b B. 若 a=b, 则 a 与 b 是平行向量

D. 若 a 与 b 不相等,则向量 a 与 b 是不共线向量

2.设 a,b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a D.若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b|

3.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使
A、 a ? ?b B、 a // b

a b 成立的充分条件是( ? |a| |b|



C、 a ? 2b

D、 a // b 且 | a |?| b |

4. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1, AB ? AC ? 2 AO ,且 | OA |?| AC | ,则向量 BA 在向量 BC 方向
上的投影为( A. ) B.

3 2

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

答案:A

5.已知点 A,B,C 在圆 x2 ? y2 ? 1 ,满足 2OA ? AB ? AC ? 0 (其中 O 为坐标原点) ,又 | AB |?| OA | ,
则向量 BA 在向量 BC 方向上的投影为 A.1 B.-1 ( C. ) D. ?? 6,?10? 的值为??????( ) . )

1 2

D. ?

1 2

6.若向量 BA ? ?2,3?, CA ? ?4,7?, 则 BC ? (
A. ?? 2,?4? B. ?2,4?

C. ?6,10? 中,

7.在边长为1的正六边形

.

. 是

. 上的一点,若 AP ? m AB ?

1 AN = NC , 8.如图,在 ABC中, 3
( )

2 AC ,则实数 11

的值为

1

A.

9 11

B.

5 11

C.

3 11

D.

2 11

9.已知平面向量 a ? (1,2),b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b =(
A. (-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8)

) D. (-5,-10) )

? ? 10.在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? (
A.

2? 1? b? c 3 3

B.

2? 2? c? b 5 3

C.

2? 1? b? c 3 3

D. b ?

1? 3

2? c 3

11. ?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角
C 的大小为
A. ( B. )

? 2? D. 3 2 12.如图,在△ABC 中,设 AB ? a , AC ? b ,AP 的中点为 Q,BQ 的中点为 R,CR 的中点为 P,若
C.

? 6

? 3

AP ? ma ? nb ,则 m ? 2n =

A.

13.已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? ?1, 2,3, 4? ,定义函数 f : M ? N ,点 A(1, f (1)) 、 B(2, f (2)) 、 C (3, f (3)) ,
点 E 为 AC 的中点,若△ABC 的内切圆的圆心为 D,且满足 DE ? ? DB ( ? ? R ) ,则满足条件的函数个数 是 (A)16 个 (B)12 个 (C)10 个 (D)6 个

6 7

B.1

C.

8 7

D.

10 7

14.在 ?ABC 中,有命题:① AB ? AC ? BC ; ② AB ? BC ? CA ? 0 ;
③若 ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形; ④若 AC ? AB ? 0 ,则 ?ABC 为锐角三角形.上述命题正确的是 A.①② B.①④ C.②③ D.②③④

二、填空题 15.已知向量 a 的模为 1,且 a, b 满足 | a ? b |? 4, | a ? b |? 2 ,则 b 在 a 方向上的投影等于___________ 16.与向量 a ? (3, 4) 垂直的单位向量为
.

2

17.向量 ( AB ? MB) ? ( BO ? BC) ? OM 化简后等于______________ 18.已知 M 为 ?ABC 中 BC 边的中点,若 BM ? p AB ? q AC ,则 p ? q ? 19.△ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5 ,则 CB ? CA =
. ;

20.已知向量 a=( 3 ,1) ,b=(0,-1) ,c=(k, 3 ) 。若 a-2b 与 c 共线,则 k=___________________。 21.已知 e1、 e2 是平面上两个不共线的向量,向量 a ? 2e1 ? e2 , b ? me1 ? 3e2 .若 a b ,则实数

m?



22.已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1) ,若向量 a ? b 与向量 a ? b 平行,则实数 x = . 23. e1 , e2 是两个不共线的向量,已知 AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,且
点共线,则实数 k = ; .

A, B, D 三

24.已知 a ? (1,0), b ? (2,1), 若向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行,则实数 k ?

25.已知向量 OA ? (0,1), OB ? (1,3), OC ? (m, m), 若 A、B、C 三点共线,则实数 m= 26.在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 中点, AB ? a, AD ? b ,则 BE 等于_______ 27.
,若 a // b ,则 a ? ? m, 1?, b ? ?1 ? n, 1? (其中 m、n 为正数)

1 2 ? 的最小值是 m n

28.已知 | a |?| b |? 1, a 与 b 夹角是 1200 , c ? 2a ? 3b, d ? k a ? 4b 且 c 与 d 垂直,k 的值为_____ 29.
对于 m ? ( x1 , y1 ), n ? ( x2 , y2 ) ,规定向量的“*”运算为: m ? n ? ( x1 x2 , y1 y2 ) .若

a ? ( x, 1), b ? (?1, x), e1 ? (1, 0), e2 ? (0, 1) .解不等式

(a * b) ? e1 ? 1 ? 1. (a * b) ? e2 ? 1

30.已知锐角 ?ABC 中,三个内角为 A、B、C ,向量 p ? ?2 ? 2 sin A, cos A ? sin A? ,

q ? ?sin A ? cos A,1 ? sin A? , p ‖ q ,求 ? A 的大小.
31.在 ?ABC 中,若向量 m ? (sin A ? sin B ? sin C), n ? ( 2 sin A ? sin C,sin A ? sin B) 且 m 与 n 共线
(1)求角 B;
3 (2)若 sin A ? ,求 cosC 的值. 5

3

sin 2C ) 32.已知△ABC 的面积为 9 3 ,且 AC ? ? AB ? CB ? ? 18 ,向量 n ? (1,cos A cos B) 和 m ? (tan A ? tanB,

是共线向量. (1)求角 C 的大小;

(2)求△ABC 的三边长.

33.已知 a ? (? ? 2, ?2 ? cos2x) , b ? (m,
(1)当 m ? 1 时,求 cos( 2 x ? (2)求

?
3

m ? 3 sin x cos x) , ? , m, x ? R ,且 a ? 2b , 2

) 的值;

? 的取值范围. m

? 34.已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos ? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; 2
(2)若 sin(? ? ? ) ?

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

35.如图, ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b ,试以 a , b 为
基底表示 DE 、 BF 、 CG . C E B F G A D

1 36.已知 m ? (sin A, ) 与 n ? (3,sin A ? 3 cos A) 共线,其中 A 是△ABC 的内角. (1)求角 A 的大小; 2
(2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

37.设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? )
(1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

4



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