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椭圆的参数方程公开课课件



椭圆的参数方程
高二数学组

椭圆的参数方程 一、知识回顾
问题: 圆( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2的参数方程是什么 ? 是怎样推导出来的 ?
2 2

? x ?a ? ? y ?b? ? ? ?? ? ?1 ? r ? ? r ?
?x ?a ? cos? ? ? r

令:? ? y ? b ? sin ? ? ? r
? x ? a ? r cos? 得: ? ? y ? b ? r sin ? (? 为参数)

x2 y 2 问题2:你能仿此推导出椭圆 2 ? 2 ? 1的参数方程吗? a b

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

?

? x? ? y? ? ? ?? ? ?1 ?a? ?b?

2

2

?x ? a ? co s? 令? y ? ? sin ? ?b

? x ? a cos? (?为参数) ? ? ? y ? b sin ?

这就是椭圆的参数方程

椭圆参数方程的推导 从几何变换的角度看, 通过伸缩变换 1 x? ? x 2 2 x y a 则椭圆的方程 ? { ? 1可以变成 2 2 1 a b y? ? y b 2 2 ? ? x +y ? 1.利用圆的参数方程 x? ? cos? { (?为参数)可以得到椭圆的参数 y? ? sin ? 方程为 { x ? a cos? y ? b sin ?

如图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半 径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A 作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM ⊥ AN,垂足为M,当 半径OA绕点O旋转时点M的轨迹为椭圆.

? x ? a cos ? (? 为参数) ? ? y ? b sin ?
——此即为椭圆的参 数方程,其中 ? 的几何 意义为——离心角.

y A B O

?

M N x

圆的参数方程与椭圆的参数方程中参数的几何意义
Y Y

M (x,y)
B

A
M(x,y)
N

?
O
N

?
X

O

X

? x ? a cos? (?为参数) ? ? y ? a sin ?
?为OX轴逆时针旋转到与 OM重合时所转过的角度

? x ? a cos? (?为参数) ? ? y ? b sin ?
?并非为OX轴逆时针旋转到 与OM重合时所转过的角度

【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 ? ? 1 x ? ? 1 (2) (1) 4 9 16 x ? 2 cos ? x ? cos ? (1) (2) y ? 3sin ? y ? 4sin ?

2

2

?

?

把下列参数方程化为普通方程 ? x ? 3cos ? ? x ? 8cos ? (3) ? (4) ? y ? 10sin ? ? ? y ? 5sin ?

(3)

x 9

2

? ? 1 (4)
y 25

2

x 64

2

?

y 100

2

?1

例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M 到直线 l:x+2y-10=0的距离最小.
y

分析1

O

x

P

平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.

分析2

设M(3 cos? ,2 sin ? ),
| 3 cos? ? 4 sin ? - 10 | 则d ? 5

小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意 一点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解 决。

思考: 与简单的线性规划问题 进行类比,你能在实数 x2 y2 x, y满足 ? ? 1的前提下,求出 z ? x ? 2 y的 25 16 最大值和最小值吗?

设M (5 cos? ,4 sin ? )是椭圆上的一点,则 z ? 5 cos? ? 8 sin ? ? 89 cos(? ? ? 0 ) ? cos(? ? ? 0 ) ? [?1,1] ? z ? [? 89, 89]

x2 y 2 例2.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,求椭圆内接矩形面积 a b

的最大值.

解:设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(a cos ? , b sin ? )

? S矩形 ? 4 a cos ? ? b sin ? ? 2ab sin 2? ? 2ab
k? ? ?当? ? ? (k ? Z )时,S矩形 ? 2ab最大。 2 4
所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.

练习3:已知A,B两点是椭圆 x ? ?1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2

y2 4

解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos? ,2sin? ) S?ABC 面积一定, 需求 S?ABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
x 线AB的方程为 3 ? y 2

? 1 ? 2x ? 3y ? 6 ? 0 ?
6 13

d?

| 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 | 22 ? 32

2 sin( ? ??) 4

所以当? =

?

4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)

时, d 有最大值, 面积最大

三、课堂小结
(1)椭圆的参数方程与应用

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

? x ? a cos? ?? (?为参数) ? y ? b sin ?

注意:椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。

(2)椭圆与直线相交问题



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