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特级教师高考数学首轮复习第19讲-导数在函数研究与生活中的应用


一、知识结构

二、重点叙述 1. 导数与函数的单调性 Ⅰ、导数与函数单调性的关系: 一般地,设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 区间内单调递增;如果在这个区间内 >0,那么函数 y=f(x)在这个

<0,那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递减。

Ⅱ、用导数求函数单调区间的步骤: 1o 求函数 f(x)的导数 f′(x); 2o 令 f′(x)>0,解不等式得 x 的范围就是递增区间; 3o 令 f′(x)<0,解不等式得 x 的范围就是递减区间。 2. 导数与函数极值 Ⅰ、函数极值定义: (1)极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)0 ),就 说 f(x0 )是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值 =f(x0 ),x0 是极大值点。 (2)极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0 ),就 说 f(x0 )是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值 =f(x0 ),x0 是极小值点。 (3)极值:极大值与极小值统称为极值。 Ⅱ、定义说明: 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值是函数值。 (1)极值是一个局部概念。极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小, 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (2)函数的极值不是唯一的。一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,一个函数 的极小值未必小于极大值。 (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。 而使函数取得最大值、 最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。

Ⅲ、 判别极值的方法: 若 满足 在 ,且在 的两侧 的导数异号,则 是 是 的极值点, 是

极值。如果 如果 在

两侧满足“左正右负”,则 是

的极大值点,

是极大值; 是极小值。

两侧满足“左负右正”,则

的极小值点,

Ⅳ、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格。 检查 f′(x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值。 Ⅴ、具体操作程序: 设函数 y=f(x), (1)定义域为 R, (2)令 (3)“零点分区间”,列表:(不妨设 a>0) ; ,(不妨设 );

-

0 极小值

+

0 极大值

-

0 极 小 值

+









(4)写出所求的结果。 3. 导数与函数最值 Ⅰ、函数最值背景:如图,一个定义在闭区间 极小值, 是极大值,函数 在 上的函数 上的最大值是 的图象, ,最小值是 与 。 是

Ⅱ、 函数最值的存在性:一般地,在闭区间 线,那么函数 在

上函数

的图象是一条连续不断的曲

上必有最大值与最小值。

如图可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出函 数的最值了。 Ⅲ、函数最值相关说明: ⑴如果在某一区间上函数 这个区间上连续。 ⑵给定函数的区间必须是闭区间,若是开区间,尽管 的图象是一条连续不断的曲线,但不 的图象是一条连续不断的曲线,可以称函数 在

一定有最大值与最小值。如图的函数定义在开区间(a,b)上,它既无最小值,也无最大值。

Ⅳ、“最值”与“极值”的比较: ⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概 念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性; ⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; ⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能 没有一个。 ⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得;有极值的未必有最值,有最 值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值。如下图所示:

有极值无最值 极值成为最值,最值不在端点必定是极值 Ⅴ、利用导数求函数最值的步骤: 一般地,求函数 ⑴求 ⑵将 在 在 上的最大值与最小值的步骤如下:

有最值而无极值

内的极值; 、 比较,其中最大的一个是最大值,最小的

的各极值与端点处的函数值 在

一个是最小值,求得函数

上的最值。

4.生活中的优化问题 ①解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化函数关系式,这需要通过分析,联 想,抽象和转化完成,函数的最值要由极值和端点的函数值确定,当定义域是开区间且函数只 有一个极值时,这个极值就是它的最值。 ②函数最值建模: Ⅰ、解决实际问题的关键:要解决生活中的优化问题,首先是需要分析问题中各个变量之间的 关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,核心问题是建立适当的函数关系。 Ⅱ、解决实际问题的程序: 实际问题 数学模型 Ⅲ、建模框架: 导数方法 解决问题。

③生活中常见的优化问题: 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,也就是解决生活 中的最优问题。常见的主要有以下几个方面: Ⅰ、与几何有关的最值问题; 例如,在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做 成一个无盖的方底的铁皮箱,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少? Ⅱ、与物理学有关的最值问题; 例如,在如图所示的电路中,已知电源的内阻为 r 电动势为 ε。外电阻 R 为多大时,才能使电功率最大? 最大电功率是多少?

Ⅲ、与利润及其成本有关的最值问题; 例如,在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数,记为 C(x),出售 x 单位产品的收益称为 收益函数,记为 R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为 P(x)。 ⑴如果 C(x)= ,那么生产多少单位产品时,边际 最低?(边

际成本指生产规模增加一个单位时成本的增加量) ⑵如果 C(x)=50x+10000,产品的单价 P=100-0.01x,那么怎样定价,可使利润最大? 三、案例分析 案例 1:(1) 设 f(x)=ax3 +x,则函数 f(x)的单调区间是___________。 (2) 已知 (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,

2]上的最小值为______________。

答案:(1) 当 时,函数 分析:(1)函数

时,函数

的递减区间为

;当

不存在递减区间;(2) -37。 是高次函数,用导数法求单调递减区间较好,注意参数 对函数单调

区间的影响;(2)这是关于高次函数在闭区间的最值问题,其最值不是在极值点就是在区间 的端点取得, 用导数法求之较好。 注意熟练应用导数法求函数单调区间、 极值、 最值的步骤, 简捷地解好填空题。 解:(1)∵ 若 ,则 ,令 ,与 , 矛盾;



,则

,∴





所以当 函数 (2)∵

时, 函数

的递减区间为

; 当

时,

不存在递减区间。 ,令 ,∴零点 , 上递增,在 ,则零点为 或 。 。

∵函数的定义域是 ∵ ∴函数 ∴函数 , 在 在

分定义域为区间 , 上递减。 ,

处取得极大值,定义域内唯一的极大值即是最大值。

∴ 所以函数 在

。 上的最小值是 。

案 例 2 :( 2009 浙 江 ·理 22 ) 已 知 函 数 ,其中 (I)设函数 . .若 在区间 上不单调,求 的取值范围;



(II)设函数 零实数 理由. 答案:(1) 分析: “ (I) 从而转化为导数 在区间 ;(2) ( ) ,使得

是否存在

,对任意给定的非零实数 成立?若存在,求

,存在惟一的非

的值;若不存在,请说明

。 上不单调”, 也就是函数 在区间 上既有增也有减, 是分段函数,那么 ,

在区间

上有“变号零点”的研究; (II)

也是分段函数, 而且可以说明在各段内是单调的, 如图, “对任意给定的非零实数 存在惟一的非零实数 内存在对应的 、 ( ) ,使得 成立”,意味着函数

在各段 在各段内相

,使得其函数值相等,从而转化为函数

应值域间的关系。

解: (I)∵ ∴ ,



∵ 由

在区间 得

上不单调,∴



上有实数解,且无重根,





,有

,记

,则



上单调递减,在

上单

调递增,所以有 时, 则 ( II 在 )

,于是 上有两个相等的实根 当

,得 , 故舍去, 所以 时 ,

,而当 。 则

。 ∵ 当 ∵ 因为当 时,则 ,∴ 在 ,∴ 在 上单调递减,其值域记为 , 上单调递增,其值域记为 ,下面讨论 ,则 。 ,则 。

时不合题意,因此

的情形:



时,



上单调递增,所以要使

成立,只能



,因此有





时,



上单调递减,所以要使

成立,只能



,因此



综合①②, 当 时,

。 ,则 成立,因为 在 ,即 ,使得 的值是唯一的; 成立。 ( ) ,使得

上单调递增,所以 ,要使

同理, 所以存在

,即存在唯一的非零实数 ,对任意给定的非零实数 成立。

,存在惟一的非零实数

案例 3: (2009 北京· 18)设函数 理 (2)求函数 (3)若函数 的单调区间; 在区间 内单调递增,求 的取值范围。

答案:(2)

,递增区间

,递减区间

;

,递增区间 分析:(2)本题的函数

,递减区间

; (3)

。 含

是超越函数,用导数法研究并求函数的单调区间,函数 在区间

参数 k,注意参数 k 的分类讨论;(3)“函数 增区间 是函数

内单调递增”,就是说单调递

单调递增区间的子区间。

解: (2)由 ①若 ,则

,得





时,

,函数

单调递减,



时,

,函数

单调递增。

②若

,则当

时,

,函数

单调递增,



时,

,函数

单调递减。

(3) 若 函数

, 函数



上单调递增, 则当且仅当

, 即

时,

内单调递增。



,函数



上单调递增,则当且仅当

,即

时,函

数 综上可知,函数

内单调递增, 在 内单调递增时, 的取值范围是 。

案例 4:已知 (1)求 a、b 的值;

在 x=-1,

处取得极值。

(2)若对 x∈[

,4]时,f(x)>c 恒成立,求 c 的取值范围。 。

答案:(1)a=1,b=-1;(2)

分 析 : (1) 用 待 定 系 数 法 , 函 数





处取得极值,即

,从而求得

的值;(2)“对 x∈[

,4]时,f(x)>c 恒成立”

转化为用导数法求函数 可。



上的最小值

,只要



解:(1)∵

,∴





在 x=-1 与

处取得极值,∴





解得

所以所求

的值分别为 1、-1,其函数



(2) ∵

, 零点为





∴当 x∈[ 函数

,

]时,

,函数

递减;当 x∈[

,4]时,



递递增。



是函数

在[

,4]上的极小值。

又∵只有一个极小值, ∴





恒成立转化为 。



所以所求 c 的取值范围是

案例 5: 某乡政府计划按 100 元/担的价格收购一种农产品 1 到 2 万担,同时以 10%的税率征 税,若将税率降低 x 个百分点,预测收购量会增加 4x2 个百分点,问如何调整税率,可使总税收 最高. 答案:不调整税率或税率调整为 5%,可使总税收最高。 分析:⑴根据总税收=收购量×每担的价格×税率,求出总税收函数;⑵利用导数求出总税收函 数的极值点;⑶比较极值与区间端点处的函数值,得总税收的最值。 解: 因税率降低 x 个百分点, 收购量会增加 4x2 个百分点, 故降低税率后的税率为(10-x)%, 农产品的收购量为 104 (1+4x2 %)担,所以总税收 f(x)=106 (1+4x2 %)(10-x)% =102 (100+4x2 )(10-x)=102 (1000-100x+40x2 -4x3 ),(0≤x<10) 。

由 f′(x)=0,即 3x2 -20x+25=0,得 x= 列表: x f′(x) f(x)

或 5。

(0, ↘

) 0 极小值

( + ↗

,5)

5 0 极大值

(5,10) ↘

由表知,f(x)极大值 =f(5)=105 。 ∵f(0)=105 ,∴f(x)max =f(0)=f(5),且 x=0 或 5 时收购量分别为 1 或 2 万担,故不调整税率 或税率调整为 5%,可使总税收最高。 评注:一般地,求实际问题的最值,可转化为求函数的最值,当函数的次数较高时,利用导 数求得最值。 四、总评 (1)f(x)在某个区间内可导,若 f′(x)>0,则 f(x)是增函数;若 f′(x)<0,则 f(x)?是减函数。 (2)求函数的极值点应先求导,然后令 y′=0 得出全部导数为 0 的点,导数为 0 的点是否是极值 点,取决于这个点左、 右两边的增减性,即两边的 y′的符号,若改变符号,则该点为极值点;若不 改变符号,则非极值点。 一个函数的极值点不一定是导数为 0 的点,也可能是不可导点,但可导 函数的极值点一定是导数为 0 的点。 (3)可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得,但不可导函数的极值有时 可能在函数的不可导点处取得,因此,一般的连续函数还必须和函数的不可导点的函数值进行 比较,如函数 y=|x|,在点 x=0 处不可导,但它是最小值点。


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