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2014年广州市高二数学竞赛试题



2014 年广州市高二数学竞赛试题
2014. 5. 10
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ?

i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z 的值是 3 ?i
B.

A.

1 4



1 2

C. 2

D. 4

2.已知向量 a ? ? x ?

? ?

2 ? , x ? 与向量 b ? ? ?3, 2x ? 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围是 3 ?
B. ? ??, ? ? ? ? 2, ?? ? D. ? 0, 2 ?

A. ? ?

? 1 ? ,2? ? 2 ?

? ?

1? 2?

C. ? ?

? 1 ? , 0 ? ? ? 0, 2 ? ? 2 ?

3. 已知函数 f ? x ? ? 2x sin 2x ? cos2x ,则下列不等式中恒成立的是 A. f ?

?3? ? ?? ? ? f ?1? ? f ? ? ? ?2? ? 4?

B. f ?1? ? f ? ?

? ?? ?3? ?? f ? ? ? 4? ? 2?

C. f ? ?

? ?? ?3? ? ? f ? ? ? f ?1? ? 4? ? 2?

D. f ? ?

? ?? ?3? ? ? f ?1? ? f ? ? ? 4? ? 2?

x y x y x y 4. 若实数 x , y 满足 9 ? 9 ? 2 3 ? 3 ,则 t ? 3 ? 3 的取值范围是

?

?

A. 0 ? t ? 2

B. 2 ? t ? 4

C. 0 ? t ? 4

D. t ? 4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5. 已知 n ?N , an ? 3 ? 5 ? 7 ??? ? 2n ?1? ,则数列 ?
*

?1? ? 的前 n 项和 Sn ? ? an ?

.

6.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A ,“骰子向上 的点数是 5 ”为事件 B ,则事件 A 、 B 中至多有一件发生的概率是 . 7. 函数 f ? x ? ?

x ?1 的最大值是 2x ? 3

.

1

? x ? 1, ? 8. 设不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 所表示的平面区域为 ?1 ,平面区域 ? 2 与 ?1 关于直线 ?y ? x ?
2 x ? y ? 4 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ? 2 中的任意一点 B , AB 的最小值等
于 .

9. 已知 A, B, C 是表面积为 64? 的球面上三点, AB ? 2, ?ACB ? 30? , O 为球心,则直 线 OA 与平面 ABC 所成角的余弦值是 .
2 3 4

10. 若将函数 f ? x ? ? x4 表示为 f ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? a3 ?1 ? x ? ? a4 ?1 ? x ? 其中 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 为实数,则 a3 的值为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 11. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2x ? a cos2 x (a ? R, a 为常数 ) ,且 (1)求 a 的值; (2)若 x ? ? ?

? 是函数 y ? f ? x ? 的零点. 6

? ? ?? ,求 f ? x ? 的最大值和最小值. , ? 12 2 ? ?

12. (本小题满分 15 分)

ABC 是正三角形, D 是 AC 的中点. 已知直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面
(1)证明: AB1 ∥平面 BC1D ; (2)若 BC ? 2 , AB1 ? BC1 ,求三棱锥 D ? BC1C 的体积.
2

A1

A D C1 C

B1

B

x2 y 2 13.(本小题满分 20 分) 已知椭圆 P : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F 1 ? ?c,0? 、 a b

F2 ? c,0? ,点 M 、 N 是直线 x ?

a2 上的两个动点,且 F 1M ? F2 N . c

(1)设圆 C 是以线段 MN 为直径的圆,试判断原点 O 与圆 C 的位置关系; (2)若椭圆 P 的离心率为

1 , MN 的最小值为 2 15 ,求椭圆 P 的方程. 2

3

14. (本小题满分 20 分) 设 x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为 i 、 j ,O 为坐标原点. 坐

i ? j; 标平面上点 An 、 Bn (n ?N * ) 分别满足下列两个条件:① OA 1 ? 2 j ,且 A nA n ?1 ?

????

???????

???? ??????? ? 2 ?n ② OB1 ? 3 i , 且 Bn Bn ?1 ? ? ? ? 3 i . ?3? ???? ? ???? ? (1)求向量 OAn 及 OBn 的坐标;
(2)若四边形 An Bn Bn?1 An?1 的面积是 an ,求 an 的表达式; (3)对于(2)中的 an ,是否存在最小的自然数 M ,对一切 n ?N ,都有 an ? M 成立?
*

若存在,求 M 的值;若不存在,说明理由.

x 15. (本小题满分 20 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? ) ( x ? 0) , e 为自然对数的底数.

1 x

(1)证明: f ( x) ? e ;

ea ?1 ?a?k ? (2)若 n ?N ,且 a ? n ,证明: ? ? . ? ? n ? e ?1 k ?1 ?
*

n

n

4



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