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2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第18讲同角三角函数基本关系与诱导公式


? 第十八讲 同角三角函数基本关系与诱导公式

回归课本 1.同角三角函数关系式是由三角函数的定义推导出来的,各 恒等式“恒等”的含义是使各三角函数及各式有意义. 2.同角三角函数关系式 平方关系 sin2α+cos2α=1 倒数关系 tanα·cotα=1 sinα 商数关系 tanα= cosα

? 3.诱导公式产生的背景:将角的范围扩展到实 数集,又给予三角函数的定义后,由于在0°~ 90°间的角的三角函数值可以通过查表的方式 求得,因此需要用公式将任意角转化为0°~ 90°间的角. ? 设0°≤α≤90°,那么90°~180°间的角用α写 成180°-α或90°+α,180°~270°间的夹 角 用 α 写 成 180° + α 或 270° - α , 270° ~ 360°间的角用α写成360°-α或270°+α,以 上写成的这些角的终边与α的终边可能不同,但 它们的同名三角函数值只是符号上的差异,这 给我们解决问题带来了许多方便.

4. 记忆诱导公式常用口诀为“奇变偶不变, 符号看象限”. 其 kπ 中,“奇、偶”是指“ ±α”(k∈R)中 k 的奇偶性,“符号”是 2 把任意角 α 看成锐角时原函数值的符号. 5.角 α 的终边与角 180°+α 的终边关于原点对称,角 α 的终 边与角-α 的终边关于 x 轴对称. 6.诱导公式的应用:求值、化简、证明.

考点陪练 5 1.α 是第四象限角,tanα=- ,则 sinα=( 12 A. 1 5 B.- 1 5 C. 5 13 D.- 5 13 )

sinα 5 解析:由 tanα= =- ,sin2α+cos2α=1,及 α 是第四象 12 cosα

?sinα=- 5 , ? 13 限角,解得? 12 ?cosα= . 13 ?

? 答案:D

2.以下各式中可能成立的是( A.sinα=cosα= 1 2

) 1 B.cosα= 且 tanα=2 3 1 D.tanα=2 且 cotα=- 2

1 3 C.sinα= 且 tanα= 2 3

解析:由 sin2α+cos2α≠1 知 A 错. 由 tanα·cotα≠1,∴D 错. 2 1 由 tanα=2 知 sinα= ,又 cosα= , 3 5 ∵sin2α+cos2α≠1,∴B 错. 1 3 3 由 sinα= 得 cosα=± ,∴tanα=± , 2 2 3 当 α 为第一象限角时有 tanα= 3 ,故选 C. 3

? 答案:C

cot(α-4π)·cos(α+π)·sin2(α-3π) 3.化简 的结果是( tan(π+α)·cos3(-α-π) A.1 B.0 C.-1 1 D. 2

)

cotα(-cosα)(-sinα) 2 cotα 2 解析:原式= = tan α=1. tanα tanα(-cosα)3

? 答案:A

? 79 ? 4.cos?- π?的值为( 6 ? ?

) 3 C.- 2 3 D. 2

1 A.- 2

1 B. 2

? 79 ? ? 79 π? π 解析:cos?- π?=cos π=cos?13π+ ?=-cos =- 6 ? 6 6? 6 ? ?

3 ,故 2

选 C.

? 答案:C

? 5.(2011·天津十二区县重点学校联考)下列各 选项中,与cos2008°最接近的数是( )
3 A. 2 2 B. 2 3 C.- 2 2 D.- 2

解析:cos2008°=cos(360°×6-152°)=cos152°, 3 故 cos2008°≈cos150°=- . 2

? 答案:C

? 类型一 利用同角三角函数的基本关系式化简、 求值 ? 解题准备:所谓化简就是使表达式经过某种变 形,使结果尽可能的简单,也就是使项数尽可 能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能 1-cos4α-sin4α 【典例 1】 化简 . 的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值 1-cos6α-sin6α 的一定要求值.

[解析]

由于表达式中涉及到的函数都是同一个角 α 的三角

函数,故考虑采用同角三角函数基本关系式进行化简,又注意到 次数比较高,故考虑到降次. (sin2α+cos2α)2-cos4α-sin4α 原式= (sin2α+cos2α)3-cos6α-sin6α 2cos2α·sin2α 2 = = . 3cos2α·sin2α(cos2α+sin2α) 3

? [点评] 利用同角三角函数的基本关系式化简三 角表达式除从正面直接利用公式外,还要特别 注意公式的逆用以及变形应用,常用到的两个 技巧为:一是“1”的代换:平方关系的代换即1 =sin2α+cos2α;倒数关系的代换即1= tanα·cotα;二是“弦切互化”:把三角表达式 中的弦函数化为切函数或者把切函数化为弦函 数,究竟用哪种变化,由具体问题决定.

tanα 探究:已知 =-1,求下列各式的值: tanα-6 (1)sin2α-3sinαcosα+4cos2α; 2cosα-3sinα (2) . 3cosα+4sinα

tanα 解析:由 =-1?tanα=-tanα+6?tanα=3. tanα-6 (1)sin2α-3sinαcosα+4cos2α sin2α-3sinαcosα+4cos2α = sin2α+cos2α tan2α-3tanα+4 = tan2α+1 2 = . 5 2cosα-3sinα 2-3tanα 7 (2) = =- . 15 3cosα+4sinα 3+4tanα

? 类型二 利用同角三角函数的基本关系式证明 恒等式 ? 解题准备:三角恒等式的证明方法灵活多样, 可总结如下: ? ①从一边开始直接推证等于另一边,一般地, 如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时, 左边 ③比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“ =1”. 多采用此法即由繁到简. 右边 ? ②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同 ④分析法,从被证的等式出发,逐步地探求使等式成立的充 时推导变形,直接推得左右两边等于同一个式 分条件,一直到已知条件或显然成立的结论为止,就可以判断原 子.
等式成立.

【典例 2】

1+sinα cosα 求证: = . cosα 1-sinα

[证明]

cos2α 证法一:左边= cosα(1-sinα)

1-sin2α (1-sinα)(1+sinα) 1+sinα = = = =右边. cosα cosα(1-sinα) cosα(1-sinα) (1+sinα)(1-sinα) 1-sin2α 证法二:右边= = cosα(1-sinα) cosα(1-sinα) cos2α cosα = = =左边. 1-sinα cosα(1-sinα)

cos2α 证法三:左边= , cosα(1-sinα) (1+sinα)(1-sinα) 1-sin2α = 右边= cosα(1-sinα) cosα(1-sinα) cos 2α = , cosα(1-sinα) ∴左边=右边,∴等式成立.

1+sinα cosα 证法四:∵ - cosα 1-sinα cos2α-(1+sinα)(1-sinα) = cosα(1-sinα) cos2α-(1-sin2α) cos2α-cos2α = = =0, cosα(1-sinα) cosα(1-sinα) 1+sinα cosα ∴ = . cosα 1-sinα

cosα(1+sinα) cosα 证法五:左边= = 1-sinα (1-sinα)(1+sinα) cosα(1+sinα) 1+sinα = = =右边. cosα 1-sin2α 证法六:∵(1-sinα)(1+sinα)=1-sin2α=cos2α, 1+sinα cosα ∴ = . cosα 1-sinα
1+sinα cosα 证法七:若证 = 成立,只需证 cosα·cosα=(1- cosα 1-sinα sinα)(1+sinα),即证 cos2α=1-sin2α,此式成立, ∴原等式成立.

? [点评] 同角三角函数的基本关系式的两种关系 中平方关系应用最多,变化也最多,在证明同 角的三角恒等式时,往往方法众多,要注意合 理运用相关公式与结论,选择恰当的方法及变 形证明.

? 类型三 利用诱导公式化简求值 ? 解题准备:三角函数的诱导公式为我们进行三角函数 的求值提供了有利的方法及依据,在做题过程中,应 熟练掌握“奇变偶不变,符号看象限”的原则.利用 诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的 基本步骤是: ? 任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→ ? 0°~360°的角的三角函数→锐角三角函数

【典例 3】

求值:(1)sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1;

sin[(k+1)π+θ]cos[(k+1)π-θ] (2) (k∈Z). sin(kπ-θ)cos(kπ+θ)

[解析] =2.

(1)原式=sin2α-(-cosα)·cosα+1=sin2α+ cos2α+1

(2)当 k=2n(n∈Z)时, sin[(2n+1)π+θ]cos[(2n+1)π-θ] 原式= sin(2nπ-θ)cos(2nπ+θ) (-sinθ)(-cosθ) = =-1. (-sinθ)cosθ 当 k=2n+1(n∈Z)时,

sin[(2n+2)π+θ]cos[(2n+2)π-θ] 原式= sin(2nπ+π-θ)cos(2nπ+π+θ) = sinθcosθ =-1. sinθ(-cosθ)

总之对任意 k∈Z,原式=-1.

? [点评] (1)掌握诱导公式,关键掌握函数名及 符号,口诀“奇变偶不变,符号看象限”. ? (2)k是奇数还是偶数,直接影响到用哪组诱导公 式.

? 类型四 同角三角函数基本关系式与诱导公式 的综合应用 ? 解题准备:已知角α的三角函数值求角α的一般 步骤是:①由三角函数值的符号确定角α所在的 象限;②据角α所在的象限求出角α的最小正角; ③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达 式.

【典例 4】

已知 sin(3π-α)=

?3π ? ? +β ?和 2cos ?2 ?

3cos(-α)=- 2

cos(π+β),且 0<α<π,0<β<π,求 α 和 β 的值.
[解析] 已知条件可转化为 ① ②

?sinα= 2sinβ ? ? ? 3cosα= 2cosβ ?

由① 2+② 2,得 sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β)=2 即 sin2α+3(1-sin2α)=2 1 ∴sin α= 2
2

2 sinα=± 2

2 ∵0<α<π∴sinα= 2 π 3π ∴α= 或 4 4 π 3π 把 α= ,α= 分别代入②,得 4 4 3 cosβ= 2 3 cosβ=- 2

π 5π 又 0<β<π∴β= 或 β= 6 6 π π 3π 5π 因此 α= ,β= 或 α= ,β= . 4 6 4 6

? 快速解题 ? 技法 已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是方程 25x2-5x-12=0的两个根,求sin3θ+cos3θ和 tanθ-cotθ的值.

4 3 快解:方程 25x -5x-12=0 的两根分别为 和- , 5 5
2

∵θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0, 4 3 则 sinθ= ,cosθ=- , 5 5 ∴sin θ+cos
3 3

?4?3 ? 3?3 64 27 37 ? ? + ?- ? = θ= - = . 125 125 125 ?5? ? 5?

3 - sinθ cosθ 5 tanθ-cotθ= - = - 3 4 cosθ sinθ - 5 5 4 3 7 =- + =- . 3 4 12

4 5



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