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2013年全国高考新课标1卷理科数学试题及答案



2013 年全国新课标 1 卷高考理科数学试题,本试题适用于河南、河北、山西几个省份。

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷 满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的一项。 1、已知集合 A={x|x -2x>0} ,B={x|- 5<x< 5},则 A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B 2、若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 A、-4 4 (B)- 5 (C)4 4 (D) 5
2

(

) ( )

3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该 地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽 样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样

x2 y2 5 4、已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 a b 2
1 A、y=± x 4 1 (B)y=± x 3 1 (C)y=± x 2 (D)y=±x ( )

(

)

5、执行右面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于 A、[-3,4] B、[-5,2] C、[-4,3] D、[-2,5]

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开始 输入 t 是 否

t<1

s=3t

s = 4t- t2
输出 s 结束

6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) 500π 3 A、 cm 3 866π 3 B、 cm 3 1372π 3 C、 cm 3 2048π 3 D、 cm 3

7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m= ( A、3 B、4 C、5 D、6 8、某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( A、18+8π B、8+8π C、16+16π D、8+16π )

)

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2 2 4 2 4 主视图 侧视图

4

4 2

俯视图 2m 2m+1 9、设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m= ( ) A、5 B、6 C、7 D、8

x2 y2 10、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为 a b
(1,-1),则 E 的方程为 A、 + =1 45 36 ( )

x

2

y

2

B、 + =1 36 27
2

x

2

y

2

C、 + =1 27 18

x2

y2

D、 + =1 18 9

x2

y2

? ?-x +2x 11、已知函数 f(x)=? ? ?ln(x+1)

x≤0 x>0

,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ) C、[-2,1] D、[-2,0]

A、 (-∞,0]

B、 (-∞,1]

12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,… 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=

cn+an
2

,cn+1=

bn+an
2

,则(

)

A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题 -第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b?c=0,则t=_____. 2 1 14、若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列{an}的通项公式是 an=______. 3 3 15、设当x=θ 时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ =______ 2 2 16、若函数f(x)=(1-x )(x +ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______.
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三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA

C

P A B

18、 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。

C

C1

B A

B1

A1

19、 (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的 件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都 不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互 独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需 的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

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(20)(本小题满分 12 分) 2 2 2 2 已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

(21)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2 (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时,f(x)≤kgf(x),求 k 的取值范围。 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做 、 、 的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆 上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。
2

x

(Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径。

(23) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为?
? ?x=4+5cost ? ?y=5+5sint

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐

标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sinθ 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π )

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
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(Ⅰ)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集;

a 1 (Ⅱ)设 a>-1,且当 x∈[- , )时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. 2 2

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