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三角函数与平面向量.解三角形综合训练习



三角函数与解三角形、平面向量 3/3
一、选择题
2 1.在△ABC 中,C=120° ,tan A+tan B= 3,则 tan A· tan B 的值为( 3 1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 5 D. 3 ) D.16 )

→ → 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB· AC等于( A.-16 B.-8

C.8

3.设向量 a=(cos 55° ,sin 55° ),b=(cos 25° ,sin 25° ),若 t 是实数,则|a-tb|的最小值为 A. 2 2 1 B. 2 C.1 D. 2 )

→ → 4.平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积等于( A. |a|2|b|2-(a· b)2 B. |a|2|b|2+(a· b)2

1 1 C. |a|2|b|2-(a· b)2 D. |a|2|b|2+(a· b)2 2 2

3π ? π 5.已知函数 f(x)=Asin (x+φ)(A>0)在 x= 时取最小值,则函数 y=f? ? 4 -x?是 4 π A.奇函数且在 x= 时取得最大值 2 π C.奇函数且在 x= 时取得最小值 2 B.偶函数且图象关于点(π,0)对称 1 ? D.偶函数且图象关于点? ?2π,0?对称

π ? 12 cos 2α ? π? 6.已知 cos ? ?4-α?=13,α∈?0,4?,则 ?π ?等于 sin ?4+α? 19 A. 65 7 B. 13 16 C. 65 10 D. 13 )

7.在△ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 60°,如果△ABC 两组解,则 x 的取值范围是(

A . x ? 2 B. x ? 2

C. 2 ? x ?

4 3 3

D. 2 ? x ?
2 2 2

4 3 3


8 . 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小 (

1 1 D. ? 2 2 uuu r uuu r 3? 9.在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 后,得向量 OQ 则点 4
A.

3 2

B.

2 2

C.

Q 的坐标是 (
A. (?7 2, ? 2)

) B. (?7 2, 2) C. (?4 6, ?2) D. (?4 6, 2)

10 、 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2 , P 、 Q 分 别 为 边 AB 、 DA 上 的 点 。 设

?BCP ? ? , ?DCQ ? ? , 若 ?APQ 的周长为 4,则 ? ? ? ? (
A. 15 ? C. 45 ? 二、填空题 11、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 已知 a ? 5 2, c ? 10, A ? B. 30 ? D. 60 ? Q D

) C

?
6

, 则 C=______________.
A P B

12.、函数 y ? sin 2x ? 2sin x 的对称轴方程为 x=______________.

2

13 . 如图 , 在矩形 ABCD 中 , AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点 , 点 F 在边 CD 上 , 若

uu u r uuu r uuu r uuu r AB g AF ? 2 ,则 AE g BF 的值是 ____.
14、如图,一艘轮船 B 在海上以 40 n mile / h 的速度沿着方位角(从指北 方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 165? 的方向航行,此时轮船 B 的正南方有一座灯塔 A。已知 AB ? 800 n mile ,则轮船 B 航行 时距离灯塔 A 最近。 15.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,给出下列结论: ①由已知条件,这个三角形被唯一确定;②△ABC 一定是钝角三角形; ③sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3;④若 b+c=8,则△ABC 的面积是 其中正确结论的序号是______.

h
B

15 3 . 2
A

三、解答题
2 ? 2x 16.设函数 f(x)=cos? ?x+3π?+2cos 2,x∈R. (1)求 f(x)的值域;

(2)记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 f(B)=1,b=1,c= 3,求 a 的 值.

17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 p=(sin A,b+c),q=(a-c, sin C-sin B),满足|p+q|=|p-q|. (1)求角 B 的大小; π 1 C+ ? ? (2)设 m=?sin ? n 有最大值为 3,求 k 的值. ? ? 3?,2?,n=(2k,cos 2A)(k>1),m·

18.已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosC+ (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

1 c=b. 2

π ? 19. 设△ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长, 并且 sin2A=sin? ?3+B? π 2 ? sin? ?3-B?+sin B. (1)求角 A 的值; → → (2)若AB· AC=12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c).

20.某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m).如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α ,∠ADE=β .

(1)该小组已测得一组 α ,β 的值,tan α =1.24,tan β =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时, α -β 最大?

21 . ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 向 量 m ? (?1,1) ,

?

? ? ? 3 n ? (cosB cosC , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2
(1)求 A 的大小; (2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45 ,试从中再
?

选择两个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积. (注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分)



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