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1.1.2


1.1.2 集合的表示方法

学习目标
1、知识目标:使学生掌握常用的集合表示方法,能选择自 然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题; 2、能力目标:提高学生运用数学语言的能力,感受集合语

言的意义和作用,学习从数学的角度认识世界;
3、情感目标:通过合作学习,培养学生的合作精神.

引入新课
前面我们学过,可以用自然语言
描述一个集合,也可以用一个 “{ }”来表示一个集合,元素

之间用逗号隔开,那表示一个集
合具体有哪些方法呢?这一节课 我们就来研究!

思考1

怎样表示“方程x2-5x=0 在实数内解的全体”

组成的集合C? 解答:可以这样表示:C={0,5}.

像这样把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{
括起来表示集合的方法叫做列举法.(其中“{
“整体”的含义.)

}”

}”含有“所有”、

? ? ? ? ? ? ?

例题:用列举法表示下列集合 (1)方程X2=X的所有实数根组成的集合 (2)由1到20以内的所有素数组成的集合 (3)不大于100的自然数构成的集合 (4)整数集 (5)偶数集 (6)正奇数集

列举法的优点与适应范围: (1)优点:可以明确集合中具体的元素 及元素的个数.缺点是不能反映集合元素满足的特征 (2)使用列举法必须注意:

①元素间用“,”分隔.
②集合中的元素必须满足三个特性. ③元素不能遗漏. ④适用范围: ⅰ.含有有限个元素且个数较少的集合.

ⅱ.有些集合的元素较多,元素的排列又呈现

一定的规律,在不致于发生误解的情况下,也可以列出 几个元素作为代表,其他元素用省略号表示. ⅲ.无限集有时也可用上述的列举法表示.

思考3:能不能用列举法表示“由大于3小于10的整数组成 的集合”? 思考4:能不能用列举法表示“由大于3小于10的实数组成

的集合”?
解答:我们不能用列举法来表示大于3小于10的实数组成

的集合,因为这个集合的元素是列举不完的,而元素的排
列又不呈现明显的规律.

对于元素较多的集合或者根本就不能将元素一一列举的 集合用“描述法”来表示就显得简洁明了。

大于3小于10的实数组成的集合可表示为:

{ x∈R 3< x<10 }
所有元素所共有 代表元素 的“特征性质”

什么是描述法呢? 一般地,如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x都 具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p (x), 则性质p (x)叫做集合A的一个特征性质.于是,集合A可以 用它的特征性质p (x)描述为 {x∈I|p (x)}

它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.
这种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.

描述法的一般形式为: { x∈I|p(x)}

x为该集合 的代表元素

p(x)表示该集

合中的元素x
所具有的性质

例如:正偶数所构成的集合可以写成

或{x| x=2n, n??+}


使用描述法必须注意: ①写清该集合中元素的代表符号; ②准确说明该集合中元素的特征; ③应对代表元素进行说明;

④多层描述时,应当准确使用“且”与“或”;
⑤所有描述的内容都要写在“{ ⑥集合符号“{ }”内;

}”已包含“所有”的意思,

因而大括号内的文字描述,不应该再用“全体”, “全部”,“所有”或“集”等词语.

? 描述法的优缺点: ? 能反映集合元素的特征但不能直观表示集 合中具体元素及元素的个数

例2 用描述法表示下列集合:

(1){-1,1};
(2)大于3的全体偶数构成的集合;

(3)在平面 a 内,线段AB的垂直平分线. (4)由x2-9=0方程的所有实数根组成的集合 (5)由x2-9=0方程的所有正整数根组成的集合. (6)由大于10小于20的所有整数组成的集合
分析:对于用描述法表示的集合,要从本质上去认识它, 看清集合的“代表元素”,判断出我们要研究的集合元 素所共有的“特征性质”.

练习:用特征性质描述法分别表示:

{(x,y)| y = x 2} ⑵抛物线y = x 2上点的横坐标. {x| y = x 2}
⑴抛物线y = x 2上的点.

⑶抛物线y = x

2

2} { y | y = x 上点的纵坐标.

⑷数轴上离开原点的距离大于6的点的集合.

{x||x|>6 且x∈R}
(5)直角坐标系中坐标轴上的点.

{(x,y)| xy=0}

? (6)方程 x+y=0和x-y=2的公共解组成的 集合

技巧点拨:使用描述法时,还应注意以下几点:
①写清集合中代表元素的符号,如实数或实数对或点的坐 标表示; ②说明该集合中元素具有的特征性质,如方程、不等式、 函数或几何图形等;

③描述法的语言形式主要有两种:文字语言和符号语言,
如表示直角坐标轴上的点的集合. 文字语言:{点P|P是直角坐标轴上的点}; 符号语言:{(x,y)|xy=0}.

? 练习:P5的练习题

规律总结:用什么方法表示集合,要具体问题具体分析: (1)列举法对于元素较少的集合可以一目了然,方便快 捷,但元素较多时就不太方便了. (2)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的类型,是

数集、点集还是其他的类型.描述法多用于元素个数无
限的集合.

1、用列举法表示集合的注意事项及适用范围:适合有限 集,元素逐一列举在“{ }”内.

2、用描述法表示集合的注意事项及适应范围:适合无限
集,{x|x的特征性质}. 关注两方面:代表元素(是点还是数还是其他). 所有元素所共有的特征性质如何表示.


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